Masalah Program linear Bilangan Bulat Dual Dengan Metode Bidang

60

BAB IV PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL

A. Masalah Program linear Bilangan Bulat Dual Dengan Metode Bidang

Pemotong Untuk mencari penyelesaian pada masalah program linear bilangan bulat akan digunakan metode bidang pemotong, yakni dengan menambahkan kendala bidang pemotong. Berikut akan diuraikan bagaimana cara menentukan bentuk kendala bidang pemotong. Jika variabel basis i x pada sembarang persamaan ke-i yang merupakan bilangan bulat maka variabel tersebut dapat dinyatakan sebagai : n in i i i i x a x a x a a x − + + − + − + = K 2 2 1 1 atau ∑ = − + = n j j J ij i i x a a x 1 4.1 dengan j J adalah elemen ke j di dalam J =1,2,…,n, dan 0 i a maka baris tersebut disebut sebagai baris sumber. Jika tidak ada maka tabel simpleks sudah optimum. Misalkan a sembarang bilangan dan λ adalah sebuah bilangan positif. Bentuk ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = λ λ a a f 4.2 61 dengan ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ λ a adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan λ a maka 1 ≤ f . Didefinisikan f r λ = maka diperoleh ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = λ λ λ a a r atau r a a + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = λ λ . 4.3 Karena 1 ≤ f dan λ , maka λ λ ≤ f atau λ ≤ r . Dari persamaan 4.3 maka koefisien pada persamaan 4.1 dapat ditulis sebagai n j r a a ij ij ij ,... 1 , = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = λ λ 4.4 dan r + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = λ λ 1 1 4.5 dengan λ λ ≤ ij r , dan λ ≤ r . Substitusikan persamaan 4.4 dan 4.5 ke dalam persamaan 4.1 sehingga diperoleh j J n j ij ij i i x r a r a rx x − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∑ =1 1 λ λ λ λ λ λ ∑ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = n j j J ij j J ij i i x r x a r a 1 λ λ λ λ ∑ ∑ = = − + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = n j n j j J ij j J ij i i x r x a r a 1 1 λ λ λ λ atau ∑ ∑ = = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = + n j j J n j ij i i j J ij x x a a r rx x r 1 1 1 λ λ λ λ λ λ ∑ ∑ = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = + n j j J n j ij i i j J ij x x a a r rx x r 1 1 1 λ λ λ λ 4.6 62 Persamaan 4.6 dapat ditulis ∑ = ′ + = + n j i j J ij x r x r x r 1 λ 4.7 dengan x x a a x j J n j j − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ∑ = λ λ λ 1 1 4.8 Teorema 4.1 : Untuk sembarang penyelesaian yang berupa bilangan bulat yang memenuhi persamaan 4.1 dan persamaan 4.7, maka x haruslah sebuah bilangan bulat tak negatif. Bukti : x bilangan bulat karena semua koefisien dalam 4.8 adalah bilangan bulat. Selanjutnya akan ditunjukan x adalah tak negatif. Untuk sembarang penyelesaian layak maka ruas kiri persamaan 4.7 nilainya tak negatif. Andaikan x adalah bilangan bulat yang negatif. Karena λ i r maka ruas kanan pesamaan 4.7 yakni x r i ′ + λ adalah negatif. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa penyelesaian layak pada ruas kiri persamaan 4.7 nilainya tak negatif dengan demikian x adalah bilangan bulat yang tak negatif 63 Jika λ 1, maka 1 1 λ sehingga 1 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ λ . Bila nilai tersebut dimasukan pada persamaan 4.8 akan didapat 1 ≥ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ∑ = j J n j ij i x a a x λ λ 4.9 Karena i a berarti ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ λ i a . Tambahkan persamaan 4.9 pada tabel simpleks dan dapat dianggap sebagai baris sumber. Untuk λ yang cukup besar maka elemen pivot pada persamaan 4.9 yakni 1 − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ λ i a dengan 1 ≤ − λ i a . Metode yang digunakan dalam masalah program linear bilangan bulat dual hampir sama dengan yang digunakan dalam masalah program linear bilangan bulat fraksional dual. Prinsipnya adalah menggunakan metode simpleks dual lexicographic, yakni sebuah metode simpleks dual dengan menggunakan aturan lexicographic. Aturan lexicographic merupakan salah satu prosedur penyelesaian dalam masalah degenerasi, yakni iterasi-iterasinya tidak berulang dan banyaknya basis layak adalah berhingga, serta tidak ada basis yang berulang. Dengan demikian banyaknya iterasi pada metode simpleks adalah berhingga. Dalam aturan ini dibentuk kolom-kolom tabel yang positif secara lexicographic. 64 Definisi 4.1 Positif secara lexicographic Sebuah vektor v adalah positif secara lexicographic jika ≠ v dan elemen tak nol pertama dari v adalah positif dan sebaliknya disebut minimum secara lexicographic. Berikut ini akan diberikan contoh positif secara lexicographic Contoh 4.1 Misalkan tedapat vektor 10 4 1 = v 5 3 1 2 − − = v 1 3 3 = v 20 10 1 4 − = v Maka 1 v , 2 v dan 3 v adalah positif secara lexicographic, sedangkan 4 v bukan positif secara lexicographic melainkan minimum secara lexicographic. Langkah-langkah metode bidang pemotong pada masalah program linear bilangan bulat dual dengan menggunakan metode simpleks dual adalah sebagai berikut : 1. Mengubah bentuk baku ke dalam bentuk kanonik pada masalah program linear bilangan bulat. 2. Dimulai dengan menyusun tabel awal simpleks untuk bilangan bulat yang berisi penyelesaian layak dual lexicographic. Tabel awal tersebut disajikan sebagai berikut : 65 Tabel 4.1. Tabel Awal Program Linear Bilangan Bulat Kolom → n α α α K 1 Variabel = x = 1 x M = n x n x x − − K 1 1 n a a a 01 00 K 1 K − M O M M 1 − K = +1 n x M = +m n x n n n n a a a , 1 1 , 1 , 1 + + + K M O M M n m n m n m n a a a , 1 , , + + + K Keterangan : j α : komponen 1 + + m n pertama dalam kolom ke – j, yakni ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + j m n j j a a , M α . 3. Memilih baris sumber yang tidak layak v, yakni yang memenuhi . , ≠ v a v Jika tidak ada maka penyelesaian masalah program linear bilangan bulat sudah optimum, dengan demikian langkah dihentikan. Jika ada baris yang tidak layak v maka dilanjutkan ke Langkah 3. 4. Tandai kolom pivot p α n p , , 1 K = yang terkecil secara lexicographic diantara kolom-kolom yang mempunyai vj a dan elemen tak nol yang pertama adalah negatif. Jika tidak ada, yakni ≥ vj a ,untuk n j , , 1 K = , maka tidak ada penyelesaian layaknya. Jika ada maka dilanjutkan ke langkah berikutnya. ↓ 66 Sebelum menentukan bentuk kendala bidang pemotong harus ditemukan sebuah λ yang diperoleh dari baris sumber dan kolom pivot. Jika koefisien baris sumber ditunjukkan dengan n j b j , , 1 , 0 K = , maka kolom pivot p α dalam metode simpleks dual lexicographic memenuhi j j L p p b b − − α α p 4.10 setiap j j ≠ 0 dengan j b untuk setiap iterasi pada masalah program linear bilangan bulat. Dengan p b adalah koefisien kolom p α pada baris v, yakni 1 − = p b dan koefisien x pada baris v kolom ke-j adalah ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ ij a maka ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = λ ij j a b . Dengan demikian dari persamaan 4.10, kolom pivot haruslah memenuhi ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − λ ij j L p a α α p 4.11 untuk setiap j j ≠ 0 dengan ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ ij a . Karena ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − λ ij a adalah bilangan bulat positif maka didapat j L ij j L p a α α α p p ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − λ 4.12 67 Karena λ0, maka ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ ij a jika hanya jika ij a sehingga kolom pivot adalah kolom terkecil secara lexicographic yang memuat sebuah elemen negatif dalam baris sumber. Misalkan 1 = p u dan p j u j ≠ adalah bilangan bulat terbesar sehingga j j L p u α α p 4.13 Karena j u adalah bilangan bulat terbesar, persamaan 4.13 menunjukkan bahwa j ij u a ≤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − λ 4.14 Nilai positif terkecil λ yang memenuhi 4.14 adalah j ij ij u a − = λ 4.15 Maka untuk menjamin persamaan 4.11, atau dengan kata lain untuk mempertahankan kolom positif secara lexicographic n j j , , 1 K = α , maka haruslah memiliki ≥ λ maks ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = j ij ij u a λ . 5. Tentukan kendala bidang pemotong yang merupakan pertidaksamaan bilangan bulat dari baris v, yakni 68 1 ≥ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ∑ = j J n j ij i v x a a x λ λ Tambahkan kendala bidang pemotong dalam tabel, yakni pada baris paling bawah. Kemudian dilakukan operasi kolom agar elemen-elemen pada baris v x bernilai -1 untuk elemen pada kolom pivot dan yang lainnya bernilai 0. Kemudian lanjutkan ke Langkah 3.

B. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual