16
kolom pivot maka selanjutnya dicari nilai rasio
i
R untuk setiap baris,
yaitu
i
b dibagi unsur-unsur pada kolom pivot yang bernilai positif. Tidak
berbeda untuk pola maksimum dan pola minimum, dipilih nilai
i
R terkecil
atau ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
ik i
i
a b
R min
. Baris dengan
i
R terkecil kemudian menjadi baris
pivot. Setelah baris pivot dan kolom pivot terpilih, maka perpotongan antara baris pivot dan kolom pivot
rs
a disebut sebagai elemen pivot dimana
variabelnya akan menjadi variabel basis baru yang akan menggantikan variabel basis lama dan selanjutnya menuju ke Langkah 5.
Langkah 5 :
Pada tabel selanjutnya elemen
rs
a diubah supaya bernilai satu dan semua elemen pada kolom yang bersesuaian diubah menjadi nol dengan melakukan
operasi baris elementer. Variabel basis baru dan koefisien ongkos menyesuaikan dengan variabel basis baru tersebut. Selanjutnya kembali ke
langkah 3.
D. Metode Simpleks Dual
Masalah program linear memiliki dua macam metode simpleks, yaitu metode simpleks primal dan metode simpleks dual. Untuk setiap masalah program
linear dapat diubah ke bentuk dual dimana kendala dan variabelnya adalah kebalikan dari primal, yakni koefisien variabel dalam masalah primal menjadi
koefisien kendala dalam masalah dual. Jika dalam masalah primal mempunyai n
17
variabel dan m kendala maka masalah dualnya akan menjadi m variabel dan n kendala. Dapat dikatakan bahwa jumlah kendala dalam masalah primal sama
dengan jumlah variabel dalam masalah dual. Bila masalah primal memaksimumkan fungsi sasaran maka masalah dualnya pasti meminimumkan
fungsi sasaran, dan begitu sebaliknya. Berikut akan diberikan contoh bentuk dual dari bentuk primal pada
masalah program linear
Contoh 2.2
Masalah primal Minimumkan
4 3
2 1
2 2
6 x
x x
x z
+ −
+ =
dengan kendala 10
2 2
3 4
4 3
2 1
≥ +
− +
x x
x x
18 4
2 8
4 3
2 1
≥ +
+ +
x x
x x
dan ,
, ,
4 3
2 1
≥ x
x x
x
Penyelesaian :
Masalah dual Maksimumkan
2 1
18 10
y y
g +
= dengan kendala
6 8
4
2 1
≤ + y
y 2
3
2 1
≤ + y
y 1
2 2
2 1
− ≤
+ −
y y
2 4
2
2 1
≤ + y
y dan
,
2 1
≥ y
y
18
Dalam metode simpleks dual penyelesaiannya dimulai dari penyelesaian basis yang tidak layak dan memenuhi ciri optimum sedangkan metode simpleks
primal penyelesaiannya dimulai dari penyelesaian layak basis tetapi tidak harus optimum.
Masalah program linear yang akan dicari dualnya harus berpola maksimum baku atau minimum baku yang memiliki bentuk baku sebagai berikut :
Pola maksimum baku : Maksimumkan
cx
= z
memenuhi
b Ax
≤ semua berbentuk ≤
Pola minimum baku : Minimumkan
cx
= z
memenuhi b
Ax
≥ semua berbentuk ≥
Untuk dapat menyusun suatu masalah primal kedalam bentuk dual maka harus dibuat kedalam bentuk kanonik sebagai berikut :
Pola maksimum atau pola minimum: Maksimumkan atau minimumkan
cx
= z
2.12 yang memenuhi
b Ax
= 2.13
19
Langkah-langkah metode simpleks dual adalah sebagai berikut :
Langkah 1 :
Membentuk masalah program linear menjadi bentuk kanonik, yaitu kendalanya harus berbentuk persamaan, dengan menambahkan variabel
pengetat, variabel semu dan ≥
i
b sehingga memenuhi bentuk baku program
linear.
Langkah 2 :
Menyusun tabel awal dual simpleks yang disajikan sebagai berikut
Tabel 2.2 Tabel Awal Simpleks Dual
i
c
n
c c
c K
2 1
j
c
j i
x x \
n
x x
x K
2 1
i
b
m
c c
c M
2 1
m
x x
x M
2 1
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a
K M
O M
K K
2 1
2 22
21 1
12 11
m
b b
b M
2 1
j
z
n
z z
z K
2 1
z
j j
c z
− z
i
R
n
R R
R K
2 1
Keterangan :
ij j
j i
a c
z R
− =
, hanya untuk
ij
a
n n
c z
c z
c z
− −
− K
2 2
1 1
20
Langkah 3 :
Memilih baris pivot, yakni dengan memilih baris i yang mempunyai nilai
i
b paling minimum dengan
i
b Jika ada nilai
i
b yang sama maka dipilih sembarang
i
b .
Langkah 4 :
Memilih kolom pivot, yakni mencari nilai rasio. Nilai rasio
i
R diperoleh dengan membagi
j j
c z
− dan nilai mutlak dari koefisien teknis yang
berkoefisien negatif atau
i
R ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
=
ij j
j
a c
z dengan
ij
a
. Untuk masalah
yang berpola minimum dipilih nilai rasio yang terkecil atau
i
R
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− =
ij j
j
a c
z min
, sedangkan masalah yang berpola maksimum dipilih nilai
rasio
ij
a
yang terkecil atau
i
R ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
=
ij j
j
a c
z min
. Jika koefisien teknis
ij
a
bernilai positif atau nol maka masalah program linear tersebut tidak ada penyelesaian yang layak.
Langkah 5 :
Melakukan operasi baris elementer agar perpotongan antara baris pivot dan kolom pivot
rs
a yang disebut elemen pivot ini bernilai 1 dan yang lainnya bernilai 0.
21
Langkah 6 :
Menguji keoptimuman. Jika semua ≥
i
b maka penyelesaian sudah
optimum, jadi iterasi harus dihentikan. Jika belum optimum maka harus dilanjutkan ke Langkah 2.
Perbedaan masalah program linear dengan menggunakan metode simpleks primal dan metode simpleks dual adalah sebagai berikut :
1. Jika masalah program linear dalam primal memiliki pola maksimum maka
dalam dualnya masalah program linear tersebut akan memiliki pola minimum.
2. Jumlah variabel primal sama dengan jumlah kendala pada bentuk dualnya.
3. Dalam masalah primal, matriks koefisien teknis adalah
ij
a tetapi dalam
masalah dualnya berbentuk tranpose dari matriks tersebut, yakni .
t ij
a 4.
i
b dalam masalah program linear yang berbentuk primal disebut suku tetap
tetapi dalam bentuk dualnya
i
b menjadi koefisien ongkos.
5.
j
c dalam masalah program linear yang berbentuk primal disebut koefisien ongkos tetapi dalam bentuk dualnya
j
c menjadi suku tetap. 6.
Dalam masalah dual, koefisien kendala ke-i berasal dari koefisien variabel ke-i masalah primal.
7. Dalam masalah dual, koefisien variabel ke-j berasal dari koefisien kendala
ke-j masalah primal.
22
D. Program Linear Bilangan Bulat
