9
Masalah program linear biasanya diselesaikan dengan dua metode penyelesaian, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Masalah program linear dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode grafik bila masalah tersebut hanya memiliki dua variabel keputusan. Tetapi untuk masalah yang memiliki variabel
keputusan lebih dari dua tidak mungkin menggunakan metode grafik. Lalu pada tahun 1947 George Dantzig dan pakar-pakar lainnya mengembangkan metode
simpleks yang dapat menyelesaikan masalah program linear yang memuat tiga variabel keputusan atau lebih.
B. Metode Grafik
Masalah program linear dengan dua variabel dapat diselesaikan menggunakan metode grafik. Meskipun masalah program linear jarang yang
hanya memuat dua variabel tetapi metode grafik memudahkan dalam penyelesaian masalah tersebut. Masalah program linear dapat diilustrasikan dengan melihat
Gambar 2.1, yakni Pasangan
2 1
, x x
yang memenuhi semua kendala disebut penyelesaian layak
feasible solution. Titik-titik dalam daerah layak disebut titik layak. Himpunan titik layak yang terlihat dalam Gambar 2.1, yakni daerah
OABCD adalah daerah layak yang diperoleh dari perpotongan kendala-kendala
utama. Grafik fungsi sasaran ini berupa garis lurus z dan disebut garis selidik
karena menggambarkan pasangan-pasangan
2 1
, x x
yang memberikan nilai z yang
sama. Pada masalah program linear yang memaksimumkan fungsi sasaran z maka
akan ditemukan penyelesaian optimum titik B, yakni titik yang memaksimumkan
fungsi sasaran.
10
1
x
2
x
A
B
D C
z
Gambar 2.1. Ilustrasi Penyelesaian Masalah Program Linear dengan metode grafik
C. Metode simpleks
Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan metode simpleks, kendala yang masih berbentuk pertidaksamaan ini harus diubah dahulu ke bentuk
persamaan dengan penambahan variabel slack atau variabel pengetat yang
mempunyai koefisien ongkos nol. Jika kendala berpola kurang dari ≤ , yakni
kendala berbentuk pertidaksamaan :
k n
kn k
k
b x
a x
a x
a ≤
+ +
+ K
2 2
1 1
maka kendala tersebut dapat diubah ke bentuk persamaan dengan menambah variabel pengetat
1 +
n
x dengan 0
1 +
n
x . Dengan demikian , persamaan untuk
kendala tersebut adalah ,
1 1
2 2
1 1
= +
+ +
+
+ +
n k
n n
kn k
k
x b
x x
a x
a x
a K
.
11
Dengan cara yang sama, kendala berpola lebih besar dari ≥ , yakni kendala
berbentuk pertidaksamaan :
k n
kn k
k
b x
a x
a x
a ≥
+ +
+ K
2 2
1 1
dapat diubah ke bentuk persamaan dengan mengurangi pertidaksamaan tersebut dengan variabel pengetat
1 +
n
x dengan
1 +
n
x
k n
n kn
k k
b x
x a
x a
x a
= −
+ +
+
+1 2
2 1
1
K ,
1 +
n
x Untuk menyesuaikan dengan bentuk kendala baru, fungsi sasaran yang
semula berbentuk
n n
x c
x c
x c
z +
+ +
= K
2 2
1 1
diubah menjadi p
n n
j x
x c
x c
x c
x c
z
p n
j n
n
, ,
2 ,
1 ,
1 2
2 1
1
K K
K +
+ =
+ +
+ +
+ +
=
+
dengan 0
2 1
= =
= =
+ +
p n
n
c c
c K
dan p
n n
i x
i
, ,
2 ,
1 ,
K +
+ =
adalah variabel pengetat.
Dengan demikian masalah yang telah diubah kedalam bentuk kanonik akan menjadi seperti ini :
Minimumkan atau maksimumkan :
∑
=
=
n j
j j
x c
z
1
2.9 dengan kendala
∑
=
= =
n j
i j
ij
m i
b x
a
1
, ,
2 ,
1 ,
K 2.10
n j
x
j
, ,
2 ,
1 ,
K =
≥ 2.11
12
Definisi 2.8 Bentuk kanonik
Bentuk pertidaksamaan yang sudah diubah dalam bentuk persamaan disebut
bentuk kanonik dari masalah program linear.
Berikut ini akan diberikan contoh masalah program linear yang diubah ke bentuk kanonik
Contoh 2.1
Ubah soal dibawah ini ke bentuk kanonik. Maksimumkan :
3 2
1
5 20
10 x
x x
z +
− =
dengan kendala 10
2 8
3 2
1 3
2 1
≤ +
− ≤
+ −
x x
x x
x x
Penyelesaian :
Pada masing-masing kendala yang masih berbentuk pertidaksamaan ditambahkan satu variabel pengetat, misalkan
4
x dan
5
x sehingga masala program linear di atas menjadi :
Maksimumkan :
5 4
3 2
1
5 20
10 x
x x
x x
z +
+ +
− =
Dengan kendala
: 10
2 8
5 3
2 1
4 3
2 1
= +
+ −
= +
+ −
x x
x x
x x
x x
Soal ini sudah berbentuk kanonik dan berpola maksimum, dengan
3 2
1
, ,
x x
x variabel asli dan
5 4
, x x
adalah variabel pengetat.
13
Jika masalah program linear yang telah diubah ke dalam bentuk persamaan berpola maksimum maka masalah sudah dapat diselesaikan dengan metode
simpleks. Bila masalah program linear berpola maksimum atau berpola minimum dan mempunyai penyelesaian basis yang tidak layak, karena memuat nilai negatif
untuk variabel pengetat, maka masalah program linear tersebut belum bisa diselesaikan dengan metode simpleks.
Masalah program linear yang masih memuat nilai negatif pada variabel pengetatnya memerlukan variabel semu, yaitu variabel yang ditambahkan
kedalam persamaan kendala-kendala. Jika a adalah variabel semu yang disisipkan pada persamaan yang memuat variabel pengetat bernilai negatif maka masalah
program linear tersebut sudah memuat suatu penyelesaian layak basis. Variabel semu ini bersifat sebagai katalisator penghubung dan mempunyai nilai nol
supaya masalah semula mempunyai penyelesaian optimum. Bila ada variabel semu yang dipakai maka fungsi sasaran yang baru untuk pola maksimum
berbentuk Ma
z z
− =
, sedangkan fungsi sasaran yang baru untuk pola minimum berbentuk
Ma z
z +
= dengan M bilangan positif yang cukup besar.
Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode simpleks adalah melalui tabel simpleks.
Langkah-langkah penyelesaian masalah program linear dengan menggunakan metode simpleks melalui tabel simpleks adalah sebagai berikut :
14
Langkah 1:
Membentuk masalah program linear menjadi bentuk kanonik yaitu kendalanya harus berbentuk persamaan, dengan menambahkan variabel pengetat, variabel
semu dan ≥
i
b sehingga memenuhi bentuk baku program linear.
Langkah 2 :
Menyusun tabel awal seperti dalam tabel berikut Tabel 2.1
Tabel 2.1 Tabel Awal Simpleks
j
c
n
c c
c K
2 1
i
c
j i
x x \
n
x x
x K
2 1
i
b
i
R
m
c c
c M
2 1
m
x x
x M
2 1
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a
K M
O M
K K
2 1
2 22
21 1
12 11
m
b b
b M
2 1
m
R R
R M
2 1
j
z
n
z z
z K
2 1
z
j j
c z
− z
Keterangan :
j
x : variabel-variabel keputusan
ij
a : koefisien teknis
i
b : suku tetap tak negatif
j
c : koefisien ongkos
i
x : variabel yang menjadi basis dalam tabel yang ditinjau
n n
c z
c z
c z
− −
− K
2 2
1 1
15
i
c : koefisien ongkos milik variabel basis
i
x
j
z :
∑
= m
i ij
i
a c
1
z :
∑
= m
i i
i
b c
1 j
j
c z
− : selisih
j
z dengan
j
c
i
R :
ik i
a b
hanya untuk
≥
i
a
Langkah 3 :
Menguji keoptimuman, dengan memperhatikan nilai
j j
c z
− . Untuk masalah dengan pola maksimum, tabel dikatakan optimum bila nilai
≥ −
j j
c z
untuk semua j. Sedangkan untuk masalah dengan pola minimum tabel dikatakan optimum bila nilai
≤ −
j j
c z
untuk semua j. Bila sudah optimum berarti sudah didapatkan penyelesaiannya. Jika belum optimum maka
dilanjutkan ke Langkah 4.
Langkah 4 :
Memperbaiki tabel. Dalam hal ini artinya memilih variabel baru yang masuk menjadi variabel basis. Untuk masalah yang berpola maksimum adalah
dengan memilih kolom pivot, yaitu kolom dengan nilai
j j
c z
− terkecil atau paling minimum. Untuk masalah yang berpola maksimum adalah dengan
memilih nilai
j j
c z
− terbesar atau paling maksimum. Setelah ditemukan
16
kolom pivot maka selanjutnya dicari nilai rasio
i
R untuk setiap baris,
yaitu
i
b dibagi unsur-unsur pada kolom pivot yang bernilai positif. Tidak
berbeda untuk pola maksimum dan pola minimum, dipilih nilai
i
R terkecil
atau ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
ik i
i
a b
R min
. Baris dengan
i
R terkecil kemudian menjadi baris
pivot. Setelah baris pivot dan kolom pivot terpilih, maka perpotongan antara baris pivot dan kolom pivot
rs
a disebut sebagai elemen pivot dimana
variabelnya akan menjadi variabel basis baru yang akan menggantikan variabel basis lama dan selanjutnya menuju ke Langkah 5.
Langkah 5 :
Pada tabel selanjutnya elemen
rs
a diubah supaya bernilai satu dan semua elemen pada kolom yang bersesuaian diubah menjadi nol dengan melakukan
operasi baris elementer. Variabel basis baru dan koefisien ongkos menyesuaikan dengan variabel basis baru tersebut. Selanjutnya kembali ke
langkah 3.
D. Metode Simpleks Dual
