121
Barisan dan Deret
Pada pokok bahasan ini, kita akan mempelajari notasi sigma sebagai penyederhanaan bentuk penjumlahan yang memuat banyak
suku yang memiliki pola keteraturan tertentu. Kemudian, kita lanjutkan dengan membahas pengertian barisan dan deret bilangan
yang meliputi barisan dan deret aritmetika, barisan dan deret geometri, serta deret-deret khusus seperti deret bilangan asli dan deret kuadrat
bilangan asli.
Sebelum lebih jauh mempelajari bab ini, ada baiknya kalian jawab soal-soal berikut.
1. Apakah yang disebut barisan dan deret?
2. Tunjukkan, mana yang merupakan barisan? Berilah alasan.
a. 1, 2, 3, 4, 5, ....
b. 1, 1, 1, 1, 1, ....
c. 4, 3, 5, 2, 6, 7, 9, ....
3. Di SMP, kalian telah mempelajari bunga, baik bunga tunggal
maupun bunga majemuk. Apakah bunga itu? Apa pula bunga tunggal dan bunga majemuk itu? Berikan gambarannya.
Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkan ke materi berikut.
A. Notasi Sigma
Matematika sering disebut sebagai bahasa lambang atau bahasa simbol. Hal ini disebabkan di dalam matematika banyak digunakan
lambang-lambang atau simbol-simbol untuk menyatakan suatu pernyataan yang lebih singkat dan lebih jelas. Di antara penggunaan
lambang ini adalah pada bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki pola keteraturan tertentu. Lambang yang digunakan untuk
menuliskan bentuk penjumlahan suku-suku seperti ini adalah notasi
”
Y
” dibaca: sigma. Simbol ini diambil dari abjad Yunani ”S” yang merupakan huruf pertama kata ”Sum” yang berarti jumlah.
Dalam penggunaannya, notasi
Y
selalu diikuti dengan indeks atau variabel yang menentukan batas bawah dan batas atas penjumlah-
an tersebut. Indeks penjumlahan ini dapat dipilih sembarang huruf kecil. Daerah penjumlahan dapat berhingga terbatas dan dapat pula
tak terhingga tak terbatas.
1. Menyatakan Suatu Penjumlahan dengan Notasi Sigma
Misalkan terdapat penjumlahan bilangan asli dari 1 sampai dengan 100, yaitu 1 + 2 + 3 +…+ 100. Jika semua sukunya ditulis,
Uji Prasyarat
Kerjakan di buku tugas
Di unduh dari : Bukupaket.com
122
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
bentuk penjumlahan tersebut menjadi sangat panjang. Dengan menggunakan notasi sigma, penulisan ini dapat dipersingkat,
yaitu sebagai berikut.
1 + 2 + 3 + …+ 100 =
n
n 100
1 =
-
Dibaca: sigma n, untuk n = 1 sampai dengan 100.
Pada penulisan tersebut, variabel yang digunakan adalah n, sedangkan batas bawahnya n = 1 dan batas atasnya n = 100.
Contoh:
2. Nilai Penjumlahan dalam Notasi Sigma
Untuk menghitung nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma, bentuk penjumlahan tersebut dinyatakan
sebagai bentuk biasa terlebih dahulu, kemudian ditentukan hasilnya. Perhatikan contoh-contoh berikut.
Nyatakan penjumlahan berikut ini dengan notasi sigma. a.
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 b.
12 11
... 4
3 3
2 2
1 +
+ +
+ c.
xy
2
+ x
2
y
3
+ x
2
y
3
+ x
3
y
4
+ ... + x
11
y
12
Penyelesaian:
a. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 =
k
k
3
8 1
=
-
b. 1
12 11
... 4
3 3
2 2
1
11 1
+ -
= +
+ +
+
=
k k
k
c. xy
2
+ x
2
y
3
+ x
3
y
4
+ ... + x
11
y
12
=
1 11
1 +
=
-
k k
k
y x
Contoh:
Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma berikut. a.
2 15
5
z
z =
-
b. 3
2
5 1
+ -
=
p
p
Di unduh dari : Bukupaket.com
123
Barisan dan Deret
Penyelesaian:
a.
2 15
5
z
z =
-
= 5
2
+ 6
2
+ 7
2
+ 8
2
+ 9
2
+ 10
2
+ 11
2
+ 12
2
+ 13
2
+ 14
2
+ 15
2
= 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + 169 + 196 + 225 = 1.210
b. 3
2
5 1
+ -
=
p
p
= 21 + 3 + 22 + 3 + 23 + 3 + 24 + 3 + 25 + 3 = 5 + 7 + 9 + 11 + 13
= 45
1. Nyatakan bentuk penjumlahan berikut dengan menggunakan notasi sigma.
a. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100
b. 4 + 8 + 12 + 16 + … + 1.000
c. 1
×
3 + 4
×
6 + 9
×
11 + … + 100
×
102 d.
2
×
4 + 3
×
5 + 4
×
6 + ... + 101
×
103 e.
601 .
3 60
... 17
4 10
3 5
2 2
1 +
+ +
+ +
f. 86
83 ...
10 7
9 6
8 5
7 4
+ +
+ +
+ g.
3 100
3 3
3 2
3 1
... x
x x
x +
+ +
+
h. xy
n –1
+ x
2
y
n –2
+ ... + x
n
2. Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan biasa. Jika tidak
memungkinkan untuk menulis seluruhnya, gunakan titik-titik seperti pada soal nomor 1.
a. 5
8
8 1
+ -
=
k
k
f.
2 5
1
6 2
+ -
=
i
i
b. 8
100 1
+ -
=
k
k
g.
-
=
+ +
10 1
2
6 3
k
k k
k
c.
k k
6
12 3
=
-
h.
-
=
+
10 1
2
1
p
p p
d.
i i
3
6 1
=
-
i.
-
= 10
1 2
1
p
p
e. 6
2
2 8
l
+ +
-
=
k k
k
j.
-
=
+
10 1
2
1 2
n
n n
Uji Kompetensi 1
Kerjakan di buku tugas
Di unduh dari : Bukupaket.com
124
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
3. Hitunglah nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma berikut.
a. 5
2
6 1
+ -
=
k
k
f. 2
2 8
1
+ -
=
k k
k
b.
2 10
1
6 -
=
k
k
g.
-
=
+
3 1
2 2
2 3
p
p p
p
c. 1
5 2
2 5
1
+ +
-
=
p p
p
h.
-
=
+
10 1
2
1
p
p p
d.
3 8
2
1 -
=
p
p
i.
-
= 12
3 2
2
p
p p
e. 1
3 2
2 3
4 1
+ +
-
=
p p
p
p
j.
-
= 10
1
7 3
n
n n
3. Sifat-Sifat Notasi Sigma
