9
Integral
4. Menentukan Persamaan Kurva
Kalian tentu telah mengetahui bahwa interpretasi geometri dari fungsi turunan adalah gradien garis singgung pada kurva
tersebut. Misalkan diketahui fungsi turunan sebuah kurva y = f
x, yaitu
dx dy
= fx, untuk setiap titik x, y dan sebuah titik pada kurva itu. Jika fungsi turunan itu diintegralkan, akan
diperoleh y = fx = v
f = + .
x dx h x
c Persamaan ini merupakan persamaan keluarga kurva yang
mempunyai turunan dy
dx =
. v
f x Keluarga kurva adalah semua
kurva dengan persamaan yang dapat diperoleh dengan cara memberikan nilai tertentu pada konstanta persamaan itu. Dengan
menyubstitusikan satu titik yang diketahui ke persamaan keluarga kurva maka akan diperoleh nilai c sehingga persamaan kurva
yang dimaksud dapat ditentukan.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Ditentukan
dy dx
= 3x
2
– 10x + 2 dan kurva
melalui titik 1, 3 maka persamaan kurva
adalah .... a. y = x
3
– 5x – 2x – 5 b. y = x
3
– 5x
2
+ 2x – 5 c. y = x
3
– 5x
2
– 2x – 5 d. y = x
3
– 5x
2
+ 2x + 5 e. y = x
3
– 5x
2
+ 2x + 5
Soal Ebtanas SMA, 1993
Contoh:
Suatu kurva melalui titik 2, 1. Apabila gradien kurva itu pada setiap titik memenuhi hubungan
dx dy
= 2 1
2
x x
, tentukan persamaan kurva tersebut.
Penyelesaian:
dx dy
= 2 1
2
x x
y =
dx x
x 1
2
2
= dx
x x
2 2
2
= c
x x
2
2
+ +
Dengan demikian, persamaan keluarga kurva tersebut adalah y = c
x x
2
2
+ +
. Karena kurva yang dimaksud melalui titik 2, 1, kita tentukan nilai c terlebih dahulu dengan
cara menyubstitusikan titik tersebut ke persamaan keluarga kurva itu. y
= x
2
+
x 2
+ c
1 = c
+ +
2 2
2
2
c
= –4 Jadi, persamaan kurvanya adalah y = x
2
+
x 2
– 4.
Di unduh dari : Bukupaket.com
10
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
1. Tentukan Fx jika diketahui sebagai berikut.
a. F
x = 3x
2
dan F2 = –3 b.
F x = x
2
– 3 dan F–3 = 10 c.
F x = 6x
2
– 8x dan F3 = 6 d.
F x = 2x + 6x
2
dan F–1 = 8 e.
F x =
5 4
2
x
dan F2 = 11 f.
F x = m – 3x
2
, F–1 = –6, dan F2 = 3 2.
Tentukan persamaan kurva yang memiliki gradien berikut. a.
dx dy
= 10x + 3 dan melalui titik –1, 3 b.
dx dy
= 3x
2
– 4x dan melalui titik 3, 6 c.
dx dy
= –
2
1 x
dan melalui titik 1, 4
Problem Solving
Fungsi biaya marjinal dalam ratusan ribu rupiah untuk memproduksi satu unit barang per minggu adalah
M dC
dQ Q
C
= =
+ 4
10 5
. Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per minggu.
Penyelesaian: Biaya total dapat dicari dengan mengintegralkan biaya marjinalnya.
C Q =
4 10
5 Q
+ £
¤ ¥
¦
dQ =
1 5
4 10
Q dQ
+ =
1 5
2 10
2
Q k
+ +
= 2
5 2
2
Q Q
k +
+ Dari soal diketahui, C1 = 3.
3 = 2
5 1
2 1
2
+ + k
k =
3 5
Oleh karena itu, rumus fungsi biaya total per minggu adalah CQ = 2
5 Q
2
+ 2Q + 3
5 .
Uji Kompetensi 2
Kerjakan di buku tugas
Di unduh dari : Bukupaket.com
11
Integral
3. Suatu garis menyinggung kurva kuadratis px di titik 2, 0. Persamaan garis
singgung itu adalah 2ax – 2. Jika kurva itu melalui titik 1, 0, tentukan persamaan kurva itu.
4. Diketahui fungsi biaya untuk memproduksi Q unit barang adalah C = fQ. Biaya
marjinal didefinisikan sebagai
M dC
dQ
C
=
. Fungsi biaya marjinal untuk memproduksi Q
unit barang dirumuskan dengan M
C
= 6Q + 7 dalam puluhan ribu. Diketahui untuk memproduksi 2 unit barang diperlukan biaya 380.000 rupiah. Tentukan fungsi
biaya totalnya. Berapa biaya total yang diperlukan untuk memproduksi 5 barang? 5.
Misalnya biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk memproduksi Q unit barang dirumuskan dengan C = fQ. Fungsi biaya marjinal dalam jutaan
rupiah untuk memproduksi Q unit barang per periode adalah CQ = 4
5 Q
+ 3. Biaya total untuk memproduksi 1 unit barang adalah
11 15
juta rupiah. Tentukan fungsi biaya totalnya.
C. Integral Tertentu
Kategori