14
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
2. Pengertian Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral dengan batas-batas integrasi yang telah ditentukan. Pada pembahasan sebelumnya, kita telah
mempelajari bahwa integral dapat diartikan sebagai limit suatu jumlah, yaitu jika f suatu fungsi integrable dapat diintegralkan
pada interval [a, b] = {x | a x b, x D bilangan real} dan F
merupakan antiturunan dari f maka
b a
dx x
f =
b a
x F
] [
= Fb – Fa
Notasi
b a
dx x
f disebut notasi integral tertentu dari f karena
ditentukan pada batas-batas integrasi a dan b. Untuk batas-batas integrasi itu, a disebut batas bawah integrasi dan b disebut batas
atas integrasi.
Informasi Lebih Lanjut
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Coba kalian cari tahu tentang ”Teorema
Dasar Kalkulus”. Apa isi teorema tersebut?
Siapa tokoh yang berada di balik teo-
rema tersebut?
Contoh:
1. Tentukan nilai dari
dx x
x
4 1
3 4
.
Penyelesaian:
4 1
4 5
4 1
3 4
4 1
5 1
µ
³
= x
x dx
x x
= ´
¦ ¥
² ¤
£ ´
¦ ¥
² ¤
£
4 5
4 5
1 4
1 1
5 1
4 4
1 4
5 1
= 141
1 4
2. Tentukan nilai a yang memenuhi
=
a
dx x
1
6 1
2 .
Penyelesaian:
=
a a
x x
dx x
1 1
2
] [
1 2
6 = a
2
– a – 1 – 1
6 = a
2
– a – 0
a
2
– a – 6 = 0
a – 3a + 2 = 0
a – 3 = 0 atau a + 2 = 0
a = 3 atau a = –2
Jadi, nilai a yang dimaksud adalah a = –2 atau a = 3.
Di unduh dari : Bukupaket.com
15
Integral
3. Sifat-Sifat Integral Tertentu
Sifat-sifat integral tertentu adalah sebagai berikut. a.
dx x
f c
dx x
f c
b a
b a
= , dengan c = konstanta
b. dx
x g
dx x
f dx
x g
x f
b a
b a
b a
+ =
+
c. dx
x f
dx x
f dx
x f
b a
b c
c a
= +
, a c b, dengan a, b, dan c bilangan real
d. dx
x f
dx x
f
a b
b a
=
e. dt
t f
dx x
f
b a
b a
=
Bukti: Sifat-sifat di atas mudah untuk kalian buktikan. Oleh karenanya,
di sini hanya akan dibuktikan sifat c saja. Misalkan F adalah antiturunan dari f.
f x dx f x dx
a c
c b
+ =
F x F x
a c
c b
[ ]
[ ]
+ =
F c F a
F b F c
[ ]
+
[ ]
= a
F b
F =
b a
dx x
f ................................. terbukti
Coba kalian buktikan sifat-sifat lainnya. Sifat-sifat ini dapat memudahkan kalian dalam menentukan
nilai-nilai integral pada suatu interval. Agar kalian dapat memahami sifat-sifat integral di atas, perhatikan contoh berikut.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Nilai
6 2 4
1 2
x x
+ adalah ....
a. 44 d. –17
b. 37 e. –51
c. 27
Soal Ebtanas SMA, 1995
Contoh:
Dengan sifat-sifat integral tertentu, carilah hasil dari dx
x x
dx x
x 1
1
5 3
2 2
3 1
2 2
+ .
Penyelesaian:
dx x
x dx
x x
1 1
5 3
2 2
3 1
2 2
+ =
dx x
x 1
5 1
2 2
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas 3
2 4
2 2
1
x x
dx +
+ =
.... a. –14
d. 10 b. –6
e. 18 c. –2
Soal UAN SMK, 2003
Di unduh dari : Bukupaket.com
16
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Dengan demikian, diperoleh dx
x x
1
5 1
2 2
=
5 1
3
1 3
1 µ
³
+
x x
= µ
³
+
µ
³
+ 1
1 1
3 1
5 1
5 3
1
3 3
= 40
8 15
1. Dengan sifat-sifat integral tertentu, selesaikanlah soal-soal berikut.
a.
5 1
8 dx
d.
2 3
2
dx x
x b.
4 2
3
2 dx
x e.
3 1
2 4
1 dx
x x
c.
3 2
dx x
x f.
+
5 2
2 15
2 dx
x x
2. Hitunglah nilai dari integral berikut.
a. +
2
3 5
2 dx
x x
+ +
4 2
3 5
2 dx
x x
b. +
3 1
1 2
3 dx
x x
– +
3 4
1 2
3 dx
x x
c. +
2 2
3
8 6
dx x
x x
– +
4 2
2 3
8 6
dx x
x x
d.
2 1
2
2 8
dx x
x
–
2 1
4 2
2 8
dx x
x
3. Tentukan nilai a dari integral berikut.
a.
1 3
2
2 dx
x x
+
a
dx x
x
3 2
2 =
3 4
b. dx
x dx
x
a
1 2
1 2
4
= 2
Uji Kompetensi 3
Kerjakan di buku tugas
Di unduh dari : Bukupaket.com
17
Integral
D. Pengintegralan dengan Substitusi
Beberapa bentuk integral yang rumit dapat dikerjakan secara sederhana dengan melakukan substitusi tertentu ke dalam fungsi yang
diintegralkan tersebut. Di antara bentuk integral yang dapat dikerjakan dengan substitusi adalah bentuk
x f
d x
f
n
. Coba perhatikan bentuk
dx x
n
. Bentuk ini telah kalian pelajari sebelumnya. Bagaimana jika variabelnya diganti dengan fungsi,
misalnya fx? Bentuk ini akan menjadi x
f d
x f
n
. Untuk menyelesaikan suatu integral yang dapat disederhanakan
menjadi bentuk f x
d f x
n
, dapat dilakukan substitusi u = fx.
Dengan substitusi u = fx, diperoleh bentuk integral berikut. x
f d
x f
n
=
+
+ =
1
1 1
n n
u n
du u
+ c dengan u = fx dan n
–1. Perhatikan kembali bentuk
x f
d x
f
n
. Misalkan diambil gx = x
n
maka x
f d
x f
n
= x
f d
x f
g . Secara umum,
bentuk x
f d
x f
n
dapat ditulis sebagai x
f d
x f
g .
Jika diambil substitusi u = fx, diperoleh bentuk integral x
f d
x f
g =
du u
g .
Agar kalian dapat memahami pengintegralan bentuk ini, per- hatikan dengan saksama contoh-contoh berikut.
c. +
1 3
2
1 dx
x x
+ +
a
dx x
x
1 3
2
1 =
3 40
d.
a
dt t
t
1 3
+
2 3
a
dt t
t =
4 9
4. Jika x = 1 – 3y, tentukan nilai-nilai integral berikut.
a.
3
dy x
c.
1 1
dx y
b. +
1 2
dy x
x d.
1 2
dx y
y
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika
1 2
3 10
2 3
x dx
a
= ;
a 0 2
3 x
dx
b
= 4 ; b 0 maka nilai a + b
2
= .... a. 10
d. 25 b. 15
e. 30 c. 20
Soal UMPTN, 1993
Kreativitas
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Diberikan fungsi fx = x
2
– 5x + 6 dan gx = x
3
– 1. Buktikan bahwa
0fx gx dx = fx
0 gx dx – 0[fx 0gx dx] dx
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kategori