22
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Gambarlah luasan daerah yang dibatasi oleh kurva fx = x
2
dan fx = x pada interval x
1.
Penyelesaian:
Kalian tentu sudah dapat menggambar kedua kurva itu. Titik potong kedua kurva ada jika keduanya mempunyai titik persekutuan.
Dengan menyamakan kedua fungsi itu diperoleh x
2
= x x
2
– x = 0
1 O
4 Y
X f
x = x
2
f x = x
1
Gambar 1.5
x x – 1 = 0
x = 0 atau x = 1
Untuk x = 0 A
f0 = 0 boleh diambil dari kedua fungsi itu
Untuk x = 1 A
f1 = 1 Jadi, titik potong kedua fungsi adalah 0, 0 dan 1, 1.
Secara lengkap, luas daerah yang dimaksud dapat digambarkan sebagai daerah yang diarsir lihat gambar di samping.
Pada interval 0 x
1, tampak bahwa fungsi fx = x lebih besar daripada fungsi f
x = x
2
. Bagaimana cara menggambarkan luasan daerah yang dibatasi dua kurva itu pada inter-
val 1 x
2? Bagaimana pula pada interval –1 x
0? Coba kalian kerjakan.
1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu X antara Kurva y = fx, Sumbu X, Garis x = a,
dan Garis x = b
Kalian telah dapat menggambarkan daerah-daerah yang dibatasi kurva-kurva. Sekarang kita akan mencari luas daerah-
daerah itu.
X Y
O y
= fx
a b
Gambar 1.6
Di depan telah dibuktikan bahwa luas daerah di atas sumbu X yang dibatasi oleh kurva y = fx,
sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dapat ditentukan dengan rumus di atas, yaitu
L =
b a
dx x
f =
b a
x F
] [
= Fb – Fa dengan Fx adalah antiturunan dari fx. Untuk lebih jelasnya,
mari kita pelajari contoh berikut.
Contoh:
Di unduh dari : Bukupaket.com
23
Integral
Gambar 1.7
Y
X y
= 4x – x
2
O 1
2 3
4
Penyelesaian:
a. Dengan menggambarkan grafik kurva dan
garis-garis batas yang diberikan terlebih dahulu pada bidang koordinat, diperoleh
gambar di samping. Daerah yang diarsir adalah daerah yang dimaksud.
b. Luasnya dapat ditentukan dengan meng-
integralkan y = 4x – x
2
dengan batas-batas integralnya mulai dari x = 1 sampai x = 3.
L =
3 1
2
4 dx
x x
=
3 1
3 2
] 3
1 2
[ x
x =
µ
³
µ
³
3 2
3 2
1 3
1 1
2 3
3 1
3 2
= 18 – 9 – 2 –
3 1
= 7 1
3 satuan luas
Y
X O
1 2
3 4
5 3, 4
Y
X O
1 2
3 4
5 6
Y
X O
1 2
3 4
5 6
6, 3 0, 3
Y
X O
-1 2
3 -2
1 1
Gambar 1.8
Contoh:
Suatu daerah dibatasi oleh kurva y = 4x – x
2
, x = 1, x = 3, dan sumbu X. a.
Lukislah kurva tersebut dan arsir daerah yang dimaksud. b.
Hitunglah luas daerah itu.
Uji Kompetensi 6
Kerjakan di buku tugas
1. Lukislah sketsa grafiknya, kemudian arsir daerah yang disajikan oleh kurva dengan
notasi integral berikut.
a.
3
2 dx x
c. +
4 1
2 dx
x e.
3 2
4 dx
b. +
1 1
2
4 dx
x d.
1 4
2
dx x
f.
1 2
2
9 dx
x 2.
Tulislah notasi integral yang menyatakan luas daerah yang ditunjukkan oleh bagian yang diarsir di bawah ini.
a
b d
c
Di unduh dari : Bukupaket.com
24
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
X Y
O y
= fx a
b c
3. Tentukan luas daerah yang diarsir pada soal nomor 2.
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini.
a. y
= 6 – 3x, sumbu X, garis x = –3, dan garis x = 1 b.
y = 8 – 2x, sumbu X, garis x = –4, dan garis x = –1
c. y
= x
2
, sumbu X, dan garis x = 3 d.
y = x
2
+ 2, sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 4 e.
y = x
2
– 4x + 3, sumbu X, garis x = 4, dan garis x = 5 5.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dengan kurva-kurva berikut. a.
y = –3x – x
2
d. y
= 2 + x – x
2
b. y
= 6 – 3x
2
e. y
= –x
2
+ 6x – 8 c.
y = 2 – x
2
f. y
= 1 – xx – 3
2. Luas Daerah Gabungan: Di Atas dan di Bawah Sumbu X
