Segitiga Sierpinski Konstruksi fraktal dalam matematika klasik.

28

B. Segitiga Sierpinski

1. Waclaw Sierpinski

Waclaw Sierpinski Franciszek lahir pada tanggal 14 Maret 1882 di Warsawa, Polandia. Pada saat dia bersekolah, bakat matematikanya sudah dilihat oleh gurunya. Masa ini adalah masa-masa yang sulit untuk Waclaw Sierpinski karena pada waktu itu sedang terjadi pendudukan Rusia di Polandia. Meskipun berada dalam kesulitan, Waclaw Sierpinski mampu menyelesaikan studinya. Waclaw Sierpinski kemudian masuk ke jurusan Matematika dan Fisika di Universitas Warsawa. Pada saat belajar di Universitas Warsawa tersebut, dia berhasil mendapatkan medali emas karena memenangkan lomba karya tulis yang diadakan Universitas tersebut. Selesai belajar di Universitas Warsawa, ia menjadi dosen di almamaternya itu dan mengampu mata kuliah dalam bidang matematika dan fisika. Kemudian ia mengejar gelar doktor dari Universitas Gambar 3.6 Waclaw Sierpinski 29 Jagiellonian di Krakow sambil belajar astronomi dan filsafat. Ia menerima gelar doktor pada tahun 1908. Setelah Perang Dunia I, Waclaw Sierpinski kembali ke Universitas Warsawa dan menghabiskan sisa karirnya di sana. Waclaw Sierpinski belajar Teori Himpunan dan tahun 1909 dia memberikan kuliah pertama tentang teori itu. Waclaw Sierpinski memiliki sejumlah prestasi dalam karirnya. Dia menerima gelar doktor Honoris Causa dari sepuluh universitas, terpilih sebagai wakil presiden Akademi Ilmu Pengetahuan Polandia. Ia berhasil menerbitkan lebih dari 700 makalah dan 50 buku. Dia pensiun dari Universitas Warsawa pada tahun 1960 dan meninggal dunia pada tanggal 14 Mei 1969.

2. Konstruksi Segitiga Sierpinski

Langkah yang paling umum untuk membuat segitiga Sierpinski diawali dengan membuat suatu segitiga sama sisi, misalkan ∆ . 30 Gambar 3.7 Segitiga samasisi sebagai dasar Misalkan , , dan adalah titik-titik tengah dari sisi , dan berturut-turut. Ketiga titik tersebut dihubungkan sehingga diperoleh ∆ dan segitiga tersebut kita hilangkan. A B C L N M Gambar 3.8 Langkah pertama konstruksi segitiga Sierpinski 31 Akan dibuktikan bahwa ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ ~∆ . Untuk ∆ ≅ ∆ . Diketahui bahwa ≅ karena adalah titik tengah . Karena ∆ merupakan segitiga samasisi, maka ∠ ∠ dan ≅ karena dan merupakan titik tengah dan . Dengan menggunakan maka terbukti bahwa ∆ ≅ ∆ . Untuk ∆ ≅ ∆ . Diketahui ≅ karena merupakan titik tengah . Karena ∆ merupakan segitiga samasisi maka ∠ ∠ dan ≅ karena dan titik tengah dan . Dengan menggunakan , terbukti bahwa ∆ ≅ ∆ . Akan dibuktikan bahwa ∆ ≅ ∆ . Sisi ≅ karena berimpit. Titik dan merupakan titik tengah dan , sehingga sejajar . Karena sejajar , maka ∠ ≅ ∠ . Titik dan merupakan titik tengah dan sehingga sejajar . Karena sejajar , maka ∠ ≅ ∠ . Dengan menggunakan terbukti bahwa kedua segitiga tersebut kongruen. 32 Akan dibuktikan ∆ ~∆ . Diketahui bahwa ∠ ∠ dan sejajar . Karena sejajar , maka . Jadi terbukti kedua segitiga tersebut sebangun. Gambar 3.9 Langkah kedua konstruksi segitiga Sierpinski Kita ulangi proses tersebut untuk ketiga sub-segitiga yang tersisa, sehingga masing-masing memiliki lubang di tengah. 33 Gambar 3.10 Langkah ketiga konstruksi segitiga Sierpinski Kita dapat membuat gambar kesebangunan diri dari segitiga tersebut dengan melanjutkan proses pengambilan segitiga yang berada di tengah untuk sub-segitiga yang selanjutnya. Gambar 3.11 Segitiga Sierpinski 34 Kita akan menghitung luas daerah bangun terakhir. Teorema 3.2 Segitiga Sierpinski mempunyai luas daerah nol. Bukti : Pada langkah ke nol kita memiliki sebuah segitiga, yaitu ∆ . Pada langkah pertama kita mengambil bagian tengah dari segitiga itu sehingga tersisa tiga segitiga. Pada langkah kedua kita mengambil bagian tengah segitiga-segitiga yang tersisa pada bagian pertama, dan langkah tersebut kita ulangi terus sehingga diperoleh bangun terakhir dari segitiga Sierpinski. Kita asumsikan luas ∆ adalah 1. Pada langkah yang pertama luas daerah bangun yang tersisa adalah karena keempat sub-segitiga adalah kongruen sehingga luas masing- masing sub-segitiga adalah luas segitiga semula. Pada langkah kedua kita mengambil tiga segitiga yang berada di tengah sub-segitiga-sub-segitiga pada langkah pertama dan setiap sub- segitiga pada langkah ini mempunyai luas daerah . Jadi 35 . Pada langkah ketiga kita menghilangkan sembilan sub-segitiga dan setiap sub-segitiga pada langkah ini mempunyai luas daerah . Maka . Dengan melihat pola di atas kita dapat menghitung luas daerah pada langkah ke- , jika → ∞ maka akan menjadi sebuah deret geometri suku awal dan rasio , sehingga lim →∞ . ∎ Dengan satu segitiga samasisi sebagai dasar, kita dapat membuat 3, 9, 27, 81,… segitiga samasisi yang sebangun dengan skala yang semakin kecil. Jika mengamati hasil segitiga di atas, maka diperoleh 36 , , , , … buah segitiga. Jadi seandainya kita membuat segitiga Sierpinski dengan n langkah maka jumlah segitiga yang diperoleh adalah , dengan n , , , , … . Konstruksi segitiga Sierpinski dimulai dengan membuat segitiga samasisi. Tiap sisi segitiga dicari titik tengahnya dan tiap titik tengah dihubungkan, sehingga empat segitiga samasisi yang kongruen kemudian segitiga tengah dihilangkan. Tersisa tiga segitiga samasisi yang sebangun dengan segitiga semula. Segitiga-segitiga ini merupakan contoh kesebangunan diri dari segitiga Sierpinski. Proses ini diulang- ulang untuk setiap segitiga yang tersisa. Dari proses tersebut akan terbentuk sebuah proses rekursif. 37

C. Segitiga Pascal