22
BAB III FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK
A. Himpunan Cantor
1. Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor lahir pada tahun 1845 dan
merupakan anak tertua dari enam besaudara. Keluarganya bertempat
tinggal di Saint Petersburg, Rusia. Pada tahun 1856, ketika Georg Cantor berusia
11 tahun, ayahnya sakit dan keluarganya pindah ke Wiesbaden,
Jerman. Kemudian ia belajar di Realschule di Darmstadt dekat
Frankfurt, Jerman. Dia lulus pada tahun 1860 dengan ketrampilan khusus dalam matematika yaitu trigonometri.
Dengan persetujuan ayahnya, ia masuk Politeknik Zurich pada tahun 1862. Karena kematian ayahnya pada bulan Juni tahun 1863,
Georg Cantor pindah ke Universitas Berlin. Ketika di sana, Georg
Gambar 3.1 Georg Cantor
23
Cantor memiliki beberapa dosen terkenal seperti Kronecker dan Karl Weierstrass. Georg Cantor bukanlah seorang yang pendiam, selama
belajar di Berlin ia banyak bergaul dengan matematikawan lainnya. Georg menghabiskan musim panas tahun 1866 di Universitas
Göttingen, pusat matematika Eropa. Pada tahun 1867, ia menerima gelar Doktor dari Universitas Berlin dengan disertasi tentang Teori
Himpunan. Georg Cantor memplubikasikan artikel tentang teori bilangan
antara tahun 1867 sampai dengan tahun 1871. Pada tahun 1868, dia bergabung dengan Seminar Schellbach sebagai guru matematika. Dan
pada tahun 1869, dia diangkat sebagai pengajar di Universitas Halle. Pada tahun itu juga Georg Cantor mendapatkan penghargaan untuk
disertasinya tentang Teori Himpunan. Pada tahun 1915, Philip Jourdain menerbitkan terjemahan
makalah Georg Cantor dalam bahasa Inggris. Georg Cantor meninggal dunia pada tanggal 6 Januari 1918 di sanatorium dimana ia
menghabiskan masa hidupnya.
24
2. Konstruksi Himpunan Cantor
Konstruksi himpunan Cantor dimulai dengan interval , .
Interval tersebut dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang sehingga setiap bagian mempunyai panjang .
Gambar 3.2 Interval
, Hilangkan bagian tengah dari ketiga interval pada
, itu, sehingga tinggal interval
, dan , dengan panjang untuk setiap interval.
3 1
3 2
Gambar 3.3 Langkah kedua konstruksi himpunan Cantor
Ulangi langkah di atas untuk interval yang tersisa, yaitu , dan
, . Interval-interval tersebut dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang. Dengan menghilangkan bagian tengah dari dua interval yang
tersisa, maka interval-interval yang tersisa masing-masing mempunyai panjang .
25
9 1
9 2
9 3
9 6
9 7
9 8
1
Gambar 3.4 Langkah ketiga konstruksi himpunan Cantor
Lanjutkan langkah tersebut, sehingga diperoleh
himpunan Cantor seperti ini
s
s
1
s
j
S
2
Gambar 3.5 Konstruksi Himpunan Cantor
. Himpunan Cantor adalah himpunan
.
Teorema 3.1. Himpunan Cantor mempunyai panjang nol.
26
Bukti :
Dalam konstruksi , kita mengambil dari satu satuan interval
dengan panjang . Dalam konstruksi
, kita mengambil dua interval dengan panjang
. Dan dalam konstruksi , kita mengambil
interval dengan panjang . Maka total panjang
interval yang diambil dari unit interval adalah .
∞
.
.
.
.
27
.
Jadi panjang himpunan Cantor yang adalah . ∎
Konstruksi himpunan Cantor dimulai dari interval tertutup
, , yang dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang. Kemudian sepertiga-tengah
, dihapus, sehingga diperoleh
, ∪ , . Setiap interval pada dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang dan dihilangkan bagian tengahnya,
sehingga diperoleh , ∪ , ∪ , ∪ , . Himpunan yang
berikutnya diperoleh dengan membagi tiga interval yang tersisa dan menghilangkan ruas garis yang berada di tengah. Proses tersebut
diulang terus sehingga menghasilkan proses rekursif dan himpunan Cantor adalah himpunan titik titik yang tersisa pada interval [0,1]
setelah dilakukan tak hingga banyak proses.
28
B. Segitiga Sierpinski
Kategori