Kongruensi dan Kesebangunan Segitiga

10

B. Kongruensi dan Kesebangunan Segitiga

Definisi 2.1. Dua buah ruas garis dikatakan kongruen jika keduanya mempunyai panjang yang sama. Definisi 2.2. Dua buah sudut dikatakan kongruen jika kedua sudut itu mempunyai ukuran besar sudut yang sama. Definisi 2.3. Dua segitiga dikatakan kongruen jika terdapat suatu cara untuk memasangkan titik-titik sudut segitiga yang satu ke titik-titik sudut segitiga yang lain sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian kongruen. Jika segitiga kongruen terhadap segitiga , maka digunakan notasi Δ ≅ Δ . Kita juga menggunakan simbol ≅ untuk menotasikan kongruensi secara umum untuk ruas garis, sudut, dan segitiga. Jadi Δ ≅ ΔXYZ jika dan hanya jika ≅ , ≅ , ≅ dan akibatnya ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ . Panjang ruas garis ditulis , dan besar ∠ ditulis ∠ . Teorema 2.1. SAS: Side-Angle-Side Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi sedemikian sehingga dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dari segitiga yang satu kongruen dengan dua sisi dan sudut antara kedua sisi dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen. 11 Bukti : Gambar 2.2 Dua segitiga kongruen SAS Misal diberikan dua buah segitiga, yaitu ∆ dan ∆ . Dan diketahui bahwa , dan sudut antara dua sisi tersebut, yaitu ∠ dan ∠ besarnya sama. Karena sisi-sisi segitiga tersebut merupakan ruas garis, maka sisi yang terletak di depan sudut ∠ dan ∠ , yaitu dan mempunyai panjang yang sama. Karena , , dan , maka menurut definisi kedua segitiga tersebut kongruen. ∎ Teorema 2.2. ASA: Angle-Side-Angle Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi dimana dua sudut dan sisi antara kedua sudut itu dari satu segitiga kongruen dengan dua sudut dan sisi antara kedua sudut dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen. 12 Bukti : Gambar 2.3 Dua segitiga kongruen ASA Misalkan diberikan dua segitiga yaitu ∆ dan ∆ , dan diketahui ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ dan ≅ . Karena sisi-sisi tersebut merupakan ruas garis, maka sisi yang terletak di depan sudut ∠ dan ∠ , yaitu dan mempunyai panjang yang sama. Dengan menggunakan Teorema 2.1 maka kedua segitiga tersebut kongruen. ∎ Teorema 2.3. AAS: Angle-Angle-Side Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi dimana dua sudut dan satu sisi yang terletak di depan salah satu sudut itu adalah kongruen dengan dua sudut dan sisi yang berada di depan salah satu sudut itu dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen. 13 Bukti : Gambar 2.4 Dua segitiga kongruen AAS Misalkan diberikan dua segitiga yaitu ∆ dan ∆ dan diketahui ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , dan ≅ . Karena ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ maka ∠ ° ∠ ∠ , ° ∠ ∠ ∠ . Dengan menggunakan Teorema 2.2 maka kedua segitga tersebut kongruen. ∎ Definisi 2.4. Segitiga samakaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang kongruen. Dua sisi yang kongruen itu disebut kaki dari segitiga dan sisi yang ketiga disebut alas. Sudut-sudut alas dari segitiga samakaki adalah sudut- sudut yang mempunyai alas sebagai sisi yang sama. Teorema 2.4. Dalam segitiga samakaki, kedua sudut alas adalah kongruen. 14 Bukti : A B C D Gambar 2.5 Segitiga samakaki dengan sudut-sudut alas yang kongruen Misalkan segitiga mempunyai dua sisi, yaitu dan yang kongruen, dan misalkan adalah garis bagi ∠ . Maka ≅ karena ≅ , ≅ dan ∠ ≅ ∠ . Jadi ∠ ≅ ∠ . ∎ Definisi 2.5. Dua segitiga dikatakan sebangun jika terdapat suatu cara untuk memasangkan titik-titik sudut segitiga yang satu dengan titik-titik sudut segitiga yang lain sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan sudut-sudut yang bersesuaian kongruen. Jika Δ sebangun dengan Δ , kita notasikan dengan Δ ∼ Δ . Maka Δ ∼ Δ jika dan hanya jika = = dan ∠ ≅ , ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ . 15 Teorema 2.5. Misalkan terdapat sebuah garis yang sejajar dengan salah satu sisi suatu segitiga dan memotong dua sisi yang lain pada dua titik yang berbeda. Maka garis tersebut membagi sisi-sisi yang dipotongnya menjadi ruas-ruas garis yang sebanding. Bukti : Gambar 2.6 Garis memotong segitiga 1 Misalkan garis sejajar dengan pada ∆ , dan andaikan memotong sisi dan berturut-turut di titik dan . Garis tegak lurus dari titik ke memotong di titik . Maka ∆ ∆ . Garis tegak lurus dari ke memotong di titik . Maka ∆ ∆ . 16 Segitiga dan Segitiga mempunyai alas berserikat dan tinggi yang sama, sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai luas yang sama, sehingga ∆ ∆ ∆ ∆ Gambar 2.7 Garis memotong segitiga 2 Maka . ∎ Korolari 2.6. Diberikan asumsi dari Teorema 2.5 maka Bukti : Karena dan , maka kita mempunyai 17 . ∎ Aksioma Playfair: Jika diberikan sebuah garis dan suatu titik yang tidak terletak pada garis itu, maka terdapat tepat satu garis yang melalui titik itu dan sejajar dengan garis tersebut. Teorema 2.7. Jika sebuah garis memotong dua sisi sebuah segitiga sedemikian sehingga ruas garis yang terpotong oleh garis itu sebanding dengan sisi yang asli dari segitiga tersebut, maka garis itu sejajar dengan sisi yang ketiga dari segitiga tersebut. Bukti : Misalkan garis memotong sisi dan dari ∆ berturut-turut di titik dan , dan . Gambar 2.8 Garis memotong segitiga 3 18 Dengan aksioma Playfair terdapat tunggal garis yang melalui dan sejajar dengan . Karena sejajar dengan dan memotong di sisi , maka garis tersebut juga memotong sisi , misalnya di titik . Dengan Korolari 2.6 maka Maka sehingga . Hal ini berarti bahwa titik dan berimpit dan garis dan juga berimpit. Jadi sejajar dengan . ∎ Teorema 2.8. Syarat Kesebangunan AAA. Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi sedemikian sehingga ketiga sudut dari segitiga yang satu kongruen dengan ketiga sudut segitiga yang lainnya, maka kedua segitiga tersebut sebangun. 19 Bukti : A B C D E F G H Gambar 2.9 Kesebangunan dua segitiga AAA Misalkan ∆ dan ∆ adalah dua segitiga dengan sudut , , dan berturut-turut kongruen dengan dengan sudut , , dan . Jika sisi dan kongruen, maka kedua segitiga itu kongruen dan juga sebangun. Jika dan tidak kongruen, misalkan lebih panjang dari . Terdapat titik diantara dan sedemikian sehingga ≅ , dan titik di antara D dan F sedemikian sehingga ≅ . Karena ∠ ≅ ∠ , maka dengan SAS ∆ ≅ ∆ , sehingga ∠ ≅ ∠ . Karena ∠ ≅ ∠ , maka ∠ ≅ ∠ , sehingga sejajar . Dengan Korolari 2.6 kita mendapatkan = . Karena ≅ dan ≅ , 20 kita mendapatkan = . Dengan cara yang sama dapat diperoleh = . Jadi kedua segitiga itu sebangun. ∎ Teorema 2.9. Syarat Kesebangunan SAS Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi sedemikian sehingga dua sisi dari satu segitiga sebanding dengan dua sisi segitiga yang lain dan sudut antara dua sisi tersebut kongruen, maka kedua segitiga tersebut sebangun. Bukti : Gambar 2.10 Kesebangunan dua segitiga SAS Misalkan ∆ dan ∆ adalah dua segitiga dengan = dan ∠ ≅ ∠ . Jika dan kongruen dengan dua sisi yang bersesuaian dari ∆ , maka kedua segitiga tersebut kongruen, jadi juga sebangun. Misalkan dan lebih panjang daripada dua sisi yang bersesuaian dari 21 ∆ . Pada dan terdapat titik dan sedemikian sehingga dan . Karena , dan ∠ ≅ ∠ , maka ∆ ≅ ∆ . Karena , , dan diketahui = maka = , jadi menurut teorema 2.7 dan sejajar. Jadi ∠ ≅ ∠ dan ∠ ≅ ∠ , sehingga ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ dan diketahui ∠ ≅ ∠ . Dengan menggunakan Teorema 2.8, ∆ dan ∆ tersebut sebangun. ∎

C. Kesebangunan Diri