atau . Jika digunakan rumus
∑ ∑
, maka .
Arus tersebut bertanda negatif, artinya arah arus yang sebenarnya berlawanan dengan arah loop.
Besarnya arus sudah diketahui, maka tegangan pada resistor dapat diketahui, yaitu tegangan pada
atau dan pada resistor
atau .
Ini berarti tegangan yang mengalir pada resistor berlawanan arah dengan arah loop.
B. Analisis Jaring Mesh Analysis pada Rangkaian yang Tidak
Mengandung Sumber Arus
Analisis jaring merupakan perluasan dari analisis loop, dimana rangkaian yang dianalisis terdiri lebih dari satu loop. Analisis jaring ini
berlaku pada rangkaian listrik yang tidak mengandung sumber arus atau dalam hal ini rangkaian yang tersusun atas sumber tegangan dan resistor saja.
Rangkaian yang dianalisis biasanya merupakan rangkaian paralel dengan lebih dari satu sumber tegangan dan resistor, dimana resistor-resistor ini sulit
direduksi menggunakan resistor pengganti. Contoh rangkaian yang dianalisis menggunakan metode analisis jaring
disajikan sebagai berikut:
Gambar 3.5. Rangkaian yang terdiri dari 2 sumber tegangan dan resistor
Untuk menganalisis rangkaian menggunakan analisis jaring, rangkaian disusun atas jaring atau loop-loop paling sederhana dimana loop tidak
mengandung loop lain di dalamnya. Arus-arus pada rangkaian diasumsikan mengalir mengelilingi jaring searah dengan jaring yang sudah ditentukan.
Jaring-jaring yang terbentuk ini disimbolkan dengan Arus-arus
yang mengalir mengelilingi jaring diasumsikan saling independen. Independen di sini maksudnya arus pertama tidak mempengaruhi arus kedua, arus kedua
tidak mempengaruhi arus pertama dan ketiga, dan seterusnya. Setelah itu, aplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff pada masing-
masing jaring. Dengan pengaplikasian Hukum Tegangan Kirchhoff akan diperoleh persamaan-persamaan tegangan dalam V. Untuk mencari besarnya
arus yang mengalir pada jaring, digunakan Hukum Ohm untuk tegangan- tegangan pada resistor, sehingga akan didapatkan persamaan-persamaan linear
dalam I. Jika terdapat elemen rangkaian yang dilalui oleh dua jaring, misalkan
, maka arus yang mengalir melalui elemen tersebut adalah sama dengan jumlah arus-arus yang melaluinya. Namun perlu diperhatikan pula
arah jaring yang melalui elemen rangkaian tersebut. Misalkan resistor R dilalui oleh dua buah jaring
yang berlawanan arah, maka arus yang melalui resistor tersebut adalah
atau tergantung dari jaring yang sedang
ditinjau. Sebagai contohnya disajikan gambar berikut:
Gambar 3.6. Rangkaian dengan dua jaring
Pada rangkaian tersebut dilalui oleh dua buah jaring
yang saling berlawanan arah. Jika ditinjau dari
maka arus yang mengalir melalui resistor tersebut adalah
, sedangkan jika ditinjau dari arus yang
mengalir melalui resistor tersebut adalah Jika terdapat n buah jaring pada rangkaian, maka akan diperoleh n buah
persamaan linear pula dalam n variabel. Persamaan linear untuk jaring pertama:
3.6 Jaring kedua:
3.7 Dan seterusnya, hingga didapat persamaan untuk jaring ke-n:
3.8 Jika persamaan-persamaan jaring tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks,
maka akan terlihat bentuk seperti berikut:
[ ] [
] 3.9
Atau jika dibentuk perkalian dua buah matriks adalah sebagai berikut:
[ ] [
] [ ]
3.10
adalah koefisien dari arus dan dinyatakan dengan matriks R. Koefisien ini merupakan besarnya resistansi dari resistor-resistor pada
rangkaian. Sedangkan adalah arus yang mengalir pada jaring,
dinyatakan dengan matriks kolom I, dan , adalah sumber-
sumber tegangan yang mengalir pada rangkaian, dinyatakan dengan matriks kolom Vs.
Matriks resistansi R merupakan matriks simetris yang tersusun atas resistansi-resistansi dari resistor. Secara langsung, matriks R dapat disusun
sebagai berikut: Jaring 1
Jaring 2 Jaring ke-n
Jaring 1 Jaring 2
Jaring ke-n
Entri-entri pada diagonal utama matriks ini merupakan jumlahan dari resistansi-resistansi resistor yang mengelilingi jaring. Misalkan, untuk
merupakan jumlahan dari nilai resistansi yang mengelilingi jaring 1, merupakan jumlahan dari nilai resistansi yang mengelilingi jaring 2, dan
seterusnya sampai jaring ke-n.
Entri-entri selain diagonal utama atau merupakan nilai-nilai negatif
dari resistansi yang terletak pada jaring ke-i dan ke-j. Misalkan, untuk merupakan nilai negatif dari resistansi yang dilalui oleh jaring 1 dan jaring 2.
merupakan nilai negatif dari resistansi yang dilalui oleh jaring 1 dan jaring 3, dan seterusnya.
Untuk entri pada matriks sumber Vs dikonstruksikan sedemikian sehingga untuk entri ke-j adalah jumlah sumber tegangan yang mengelilingi
jaring ke-j. Tegangan diberi tanda positif jika arah jaring menuju terminal negatif sumber tegangan, begitu pula sebaliknya.
Jika koefisien dari arus dinyatakan dengan matriks R, variabel tegangan
dinyatakan dengan matriks kolom I, dan sumber-sumber arus dengan matriks
kolom V
s
, maka bentuk perkalian matriks tersebut dapat dinyatakan dengan:
RI= Vs 3.11
Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan tersebut, yaitu nilai-
nilai dari I dapat digunakan beberapa cara, antara lain dengan menggunakan invers matriks R. Karena R merupakan suatu matriks, maka nilai-nilai dari I
dapat diketahui dengan
I=R
-1
Vs 3.12
Nilai dari R
-1
dapat dicari dengan menggunakan partisi matriks.
Selain itu, karena RI= Vs merupakan suatu sistem n persamaan linear dengan n variabel, maka nilai I dapat ditentukan dengan menggunakan
matriks-matriks yang diperbesar.
Jika arus yang dihasilkan positif, maka arah arus sama dengan arah jaring. Begitu sebaliknya, jika arus yang dihasilkan negatif maka arah arus
yang sebenarnya berlawanan dengan arah jaring. Setelah arus-arus pada jaring diketahui, maka arus yang mengalir
melalui masing-masing resistor dapat diketahui. Misalkan pada suatu resistor dikelilingi dua arus jaring, maka arus yang mengalir pada resistor tersebut
merupakan jumlah dari dua arus jaring tersebut dengan memperhatikan arah jaring yang melaluinya. Misalkan resistor R dilalui dua buah arus jaring
yang aranya berlawanan, maka arus pada resistor tersebut adalah 3.13
Jika arus pada masing-masing resistor diketahui, maka besarnya tegangan pada resistor tersebut dapat diketahui menggunakan Hukum Ohm,
sehingga tegangan pada resistor yang dilalui oleh dua jaring i dan j adalah 3.14
Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh 3.2 berikut: Contoh 3.2
Misalkan terdapat rangkaian listrik seperti ditunjukkan pada gambar 3.7 berikut. Tentukan arus dan tegangan yang mengalir pada masing-masing
resistor, jika diketahui .
Gambar 3.7. Rangkaian yang tersusun atas 2 sumber tegangan dan 9 resistor Arus dan tegangan yang mengalir dalam rangkaian dapat dicari dengan
menggunakan analisis jaring. Pada rangkaian tersebut terdapat 5 buah jaring. Jika diperjelas, rangkaian
tersebut akan tampak seperti pada gambar 3.8 berikut:
Gambar 3.8. Rangkaian yang sudah dilengkapi dengan arah jaring
Andaikan arah arus sama dengan arah jaring, beri simbol pada masing-masing jaring.
Secara langsung, entri-entri pada matriks resistansi dapat ditentukan sebagai berikut:
, ,
, ,
, resistor yang dilalui jaring 1 dan 2 yaitu
, tidak ada resistor yang dilalui jaring 1 dan 3,
resistor yang dilalui jaring 1dan 4 yaitu ,
tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 1dan 5, resistor yang dilalui oleh jaring 2 dan 3, yaitu
, resistor yang dilalui oleh jaring 2 dan 4, yaitu
, tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 2 dan 5,
tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 3 dan 4, resistor yang dilalui oleh jaring 3 dan 5, yaitu
, resistor yang dilalui oleh jaring 4 dan 5, yaitu
,
Sehingga, matriks resistansi, matriks arus jaring, dan matriks sumber tegangan dapat dinyatakan dengan:
5 -2 0 -1
143 -2
4 -1 -1 0 -1
6 0 -3
= -1 -1
3 -1 -43
0 -3 -1 5
Atau jika dilakukan langkah-langkah melalui Hukum Kirchhoff adalah sebagai berikut:
Misalkan arah arus sama dengan arah jaring, maka beri simbol pada masing-masing jaring.
Kemudian aplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff pada masing-masing jaring, maka didapat:
Pada jaring ke-1: Pada jaring ke-2:
Pada jaring ke-3: Pada jaring ke-4:
Pada jaring ke-5: Kemudian aplikasikan Hukum Ohm, dimana
, pada arus yang melewati resistor, akan diperoleh persamaan tiap simpul sebagai berikut:
Masukkan nilai-nilai dari sumber tegangan dan resistor pada masing-masing jaring, maka akan diperoleh persamaan-persamaan linear sebagai berikut:
Sederhanakan persamaan-persamaan di atas, menjadi:
Jika persamaan-persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh bentuk sebagai berikut:
5 -2 0 -1
143 -2
4 -1 -1 0 -1
6 0 -3
= -1 -1
3 -1 -43
0 -3 -1 5
Bentuk tersebut dapat disimbolkan dengan RI=Vs Untuk mencari nilai-nilai dari I digunakan cara sebagai berikut:
1. Dengan menggunakan matriks yang diperbesar 5
-2 0 -1 0
143 H
1
15 -2 4
-1 -1 0 0
-1 6 0 -3 0
~ -1
-1 0 3 -1
-43 0 0
-3 -1 5 0
1 -25
-15 1435
-2 4 -1 -1 0 H
21
2 0 -1 6 0 -3
~ -1 -1 0 3 -1 -43
H
41
1 0 0 -3 -1 5
1 -25
-15 1435
165 -1 -75
2865 H
2
516 0 -1 6 0
-3 ~
-75 145 -1
-435 0 0
-3 -1 5
1 -25
0 -15 0 1435
H
12
25 0 1
-516 -716 0 1438
~ 0 -1
6 -3
H
32
1 -75
145 -1 -725
H
42
75 0 0 -3 -1
5
1 0 -18
-38 1434
1 -516 -716
1368 9116 -716
-3 1438 H
3
1691 -716 3516
-1 858
~ 0 -3 -1 5
1 0 -18
-38 1434
H
13
18 1
-516 -716 1368 H
23
516 1
-113 -4891 227
~ -716 3516
-1 858 H
43
716 0 -3 -1
5 H
53
3
1 0 -513
-691 2527 1
0 -613 -1591 1327 1 -113 -4891
227 ~
2813 -1613 12
H
4
3812 -1613 31191
667
1 0 -513
-691 2537 H
14
513 1
0 -613 -1591 1327 H
24
613 1 -113 -4891
227 H
34
113 1 -47 397
-1613 31191 667 H
54
1613
1 0 -27
2687 1
0 -37 1507
1 0 -47
257 ~ 1 -47
397 0 197
1147 H
5
719
1 -27
2687 H
15
27 1
-37 1507 H
25
37 1
-47 257 H
35
47 1
-47 397 H
45
47 0 1
6
1 40
1 24
1 7
1 9
1 6
2. Dengan menggunakan invers dari matriks R R
-1
diperoleh dengan menggunakan partisi matriks R, sebagai berikut:
R= 5
-2 0 -1 0
-2 4 -1
-1 0 -1 6 0
-3 -1
-1 0 3 -1
0 0 -3
-1 5
[ ]
dan [
] .
[ ],
[ ],
[ ], [ ]
Kofaktor dari matriks adalah:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
[ ].
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
[ ] [
] [ ]
187532 69266 51532 127532 219
69266 66133 43266
81266 319 51532 43266 159532
83532 419 127532 81266
83532 311532 419 219
319 419
419 719 I=R
-1
V
S
, maka
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Jadi besarnya Besarnya arus yang mengalir melalui masing-masing resistor adalah
.
. Jadi, dapat disimpulkan bahwa arus yang mengalir melalui
sebesar 16 A searah dengan jaring pertama, arus yang mengalir melalui
sebesar 15 A dan arus yang mengalir melalui
sebesar 17 A searah dengan jaring kedua, arus yang mengalir melalui
sebesar 1 A dan yang melalui sebesar 7 A
searah dengan jaring ketiga. Arus yang mengalir melalui sebesar 31 A
searah dengan jaring pertama, arus yang mengalir melalui sebesar 3 A
searah dengan jaring keempat, arus yang mengalir melalui sebesar 40 A
searah dengan jaring pertama dan terakhir arus yang mengalir melalui sebesar 6 A searah dengan jaring kelima.
Tegangan yang mengalir pada masing-masing resistor dapat dicari, yaitu:
C. Analisis Simpul Nodal Analysis pada Rangkaian yang Tidak
