Matriks dan Sistem Persamaan Linear

7

BAB II KAJIAN PUSTAKA

A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear

Pada pembahasan untuk bab selanjutnya, akan digunakan beberapa teori tentang matriks. Berikut disajikan beberapa definisi tentang matriks dan sistem persamaan linear yang dibutuhkan. 1. Matriks Definisi 2.1. Matriks Ayres, 1989: 1 Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegipanjang yang diapit sepasang kurung siku. ■ Bilangan dalam susunan tersebut disebut entri, anggota atau elemen dari matriks. Suatu matriks biasanya dinyatakan dalam huruf kapital, seperti matriks A, matriks B, matriks C, dan seterusnya. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks disusun menurut baris dan kolom. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks disebut ukuran matriks. Misalkan, matriks A memiliki baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka matriks A tersebut memiliki ukuran atau ditulis . Sedangkan anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A dinyatakan sebagai . Bentuk umum suatu matriks A adalah: [ ] 2.1 Contoh 2.1 Misalkan terdapat matriks A yang disajikan sebagai berikut: [ ] Matriks A tersebut memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka dapat dikatakan bahwa matriks A berukuran 2 3, ditulis . Sedangkan anggota pada matriks A adalah Dua buah matriks, misalkan matriks A dan B, dikatakan berukuran sama jika banyaknya baris pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya kolom pada matriks B, sehingga jika matriks A berukuran maka matriks B juga berukuran , atau jika dinotasikan: dan . Contoh 2.2 Misalkan terdapat matriks A, B, dan C yang disajikan sebagai berikut: [ ] [ ] [ ] Matriks A berukuran , matriks B berukuran , dan matriks C berukuran . Matriks A dan B mempunyai ukuran yang sama yaitu , maka matriks A dan B dikatakan berukuran sama. Sedangkan matriks A dan C ukurannya tidak sama, maka matriks A dan matriks C bukan matriks yang berukuran sama, begitu pula dengan matriks B dan C. Matriks yang mempunyai ukuran atau disebut matriks persegi. Berikut bentuk umum matriks persegi: [ ] 2.2 Entri-entri disebut entri-entri diagonal utama. Matriks persegi dengan ukuran disebut matriks berordo n. Contoh matriks persegi ditunjukkan pada contoh 2.3 berikut: Contoh 2.3. Misalkan terdapat matriks A dan B sebagai berikut: [ ] dan [ ] Matriks A adalah matriks persegi berordo 2 dengan entri-entri pada diagonal utamanya adalah 2 dan 6. Matriks B adalah matriks persegi berordo 3 dengan entri-entri pada diagonal utamanya 4, 3, dan 3. Matriks persegi yang entri-entri di bawah diagonal utama adalah nol disebut matriks segitiga atas. Sedangkan matriks persegi yang entri-entri di atas diagonal utama adalah nol disebut matriks segitiga bawah. Berikut disajikan contoh dari matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah: Contoh 2.4 Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks [ ] dan [ ]. Matriks A merupakan matriks segitiga atas dan matriks B merupakan matriks segitiga bawah. Matriks yang hanya terdiri dari satu baris saja disebut matriks baris. Sedangkan matriks yang hanya terdiri dari satu kolom saja disebut matriks kolom. Untuk memperjelas pengertian matriks baris dan matriks kolom, berikut disajikan contoh dari matriks baris dan matriks kolom: Contoh 2.5 Misalkan diketahui matriks [ ] dan [ ]. A adalah matriks baris berukuran dan B adalah matriks kolom berukuran . Matriks yang semua entrinya nol disebut matriks nol. Berikut diberikan definisi matriks nol: Definisi 2.2. Matriks Nol Howard Anton, 2000: 62 Matriks nol adalah matriks berukuran yang semua entrinya adalah nol dan dinotasikan dengan atau 0. ■ Contoh 2.6 Berikut disajikan contoh dari matriks nol: [ ] [ ] [ ] Selain matriks nol, ada pula matriks diagonal. Definisi matriks diagonal adalah sebagai berikut: Definisi 2.3. Matriks Diagonal Jain Gunawardena, 2004: 42 Matriks diagonal adalah matriks persegi yang setiap entri, kecuali pada diagonal utamanya adalah nol. ■ Matriks diagonal dinotasikan sebagai berikut: [ ] 2.3 Contoh 2.7 Berikut adalah contoh matriks diagonal: [ ] [ ] Matriks diagonal yang setiap entri pada diagonalnya adalah 1 disebut matriks identitas. Berikut definisi dari matriks identitas: Definisi 2.4. Matriks Identitas Howard Anton, 2000: 63 Matriks identitas adalah matriks persegi dengan entri 1 pada diagonal utama dan 0 nol untuk anggota selain diagonal utamanya. ■ Matriks identitas dinyatakan dengan I. Contoh 2.8. Berikut adalah contoh matriks identitas: [ ] [ ] Pada sebarang matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu dengan menukarkan baris dengan kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini dinamakan transpose dari A dan dinyatakan dengan Definisi 2.5. Transpose suatu Matriks Jain Gunawardena, 2004: 49 Misalkan terdapat matriks yang berukuran . Transpose dari matriks A ditulis adalah matriks berukuran dimana entri adalah untuk semua i, j. ■ Dengan kata lain, jika A adalah sebarang matriks berukuran , maka adalah matriks berukuran yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A. Kolom pertama matriks adalah baris pertama matriks A, kolom kedua matriks adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh berikut: Contoh 2.9 Misalkan terdapat matriks [ ] dan [ ]. Maka [ ] dan [ ] [ ]. Jika matriks persegi A=A T maka matriks A merupakan matriks simetris. Matriks merupakan susunan bilangan yang berbentuk persegipanjang. Oleh karena itu, seperti halnya bilangan, matriks juga dapat dioperasikan. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Berikut disajikan definisi penjumlahan pada matriks. Definisi 2.6. Penjumlahan pada Matriks Jain Gunawardena, 2004: 34 Jika dan , A dan B matriks berukuran sama, maka adalah suatu matriks dimana untuk setiap i dan j. ■ Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh berikut: Contoh 2.10 Misalkan terdapat matriks [ ] dan [ ] maka [ ] [ ] [ ] [ ] Untuk pengurangan dua buah matriks disajikan definisi berikut: Definisi 2.7. Pengurangan pada Matriks Jain Gunawardena, 2004: 35 Jika dan , A dan B matriks berukuran sama, maka adalah suatu matriks dimana untuk setiap i dan j. ■ Contoh 2.11. Pengurangan dua buah matriks: Misalkan terdapat matriks [ ] dan [ ] maka [ ] [ ] [ ] [ ] Matriks dapat dikalikan, baik dengan skalar maupun dengan matriks lain. Berikut disajikan definisi perkalian matriks dengan skalar: Definisi 2.8. Perkalian Matriks dengan Skalar Howard Anton, 2000: 48 Jika adalah sebarang matriks dan c adalah sebarang skalar, maka ■ Contoh 2.12. Berikut contoh perkalian suatu matriks dengan skalar: Misalkan terdapat matriks [ ] . Jika matriks A dikalikan dengan 2, maka akan diperoleh [ ] dan jika matriks A dikalikan dengan akan diperoleh [ ]. Selain dengan skalar, matriks juga dapat dikalikan dengan matriks. perkalian dua matriks diberikan sebagai berikut: Definisi 2.9. Perkalian Matriks dengan Matriks Howard Anton, 2000: 49 Jika A adalah sebuah matriks berukuran dan B adalah matriks berukuan , maka hasil kali AB adalah matriks berukuran yang anggota-anggotanya disefinisikan sebagai berikut: Untuk mencari entri-entri dalam baris i dan kolom j pada matriks AB, pilih baris i pada matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. ■ Contoh 2.13. Perkalian dua buah matriks Misalkan terdapat matriks [ ] dan matriks [ ] . Jika matriks A dikalikan dengan matriks B, maka: [ ] [ ] [ ] [ ] Selain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, terdapat pula operasi baris elementer. Menurut Ayres 1989: 39 operasi baris elementer merupakan operasi pada sebuah matriks yang dilakukan dengan cara: a. mempertukarkan baris ke-i dan baris ke-j dan dinyatakan dengan , b. mengalikan baris ke-i dengan konstanta yang dinyatakan dengan , c. menjumlahkan entri-entri baris ke-i dengan k kali entri-entri padanannya dari baris ke-j, dimana k suatu skalar dan dinyatakan dengan . Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh dari operasi baris elementer, sebagai berikut: Contoh 2.14 Misalkan terdapat matriks [ ]. Operasi baris elementer yang dilakukan terhadap matriks A tersebut antara lain [ ], [ ] dan [ ]. Operasi baris elementer akan menghasilkan matriks baru yang disebut dengan matriks ekuivalen dan disimbolkan dengan “~”. Contoh 2.15 Misalkan terdapat matriks [ ]. Matriks ekuivalen yang dapat dibentuk dari matriks A adalah [ ] [ ] . Sehingga dapat dituliskan . Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan. Berikut disajikan definisi dari determinan: Definisi 2.10. Determinan suatu Matriks Howard Anton, 2000: 114 Misalkan A adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan dengan det , dan mendefinisikan det A sebagai jumlah semua hasil kali bertanda dari A. Angka det A disebut determinan A. ■ Determinan suatu matriks A dilambangkan dengan | | atau . Secara umum, determinan matriks A dengan ordo n dapat dituliskan sebagai berikut: | | ∑ ∑ dimana: |A| adalah determinan matriks A, adalah elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks dari determinan matriks A, adalah minor dari unsur yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari determinan matriks A, dan kofaktor dari unsur . Determinan untuk matriks berukuran misal, [ ], ditentukan dengan cara | | . Untuk matriks berukuran , misalkan [ ], determinannya ditentukan oleh | | Untuk lebih jelasnya disajikan contoh berikut: Contoh 2.16. Determinan dari matriks berukuran dan Misalkan terdapat matriks [ ] dan [ ] maka | | dan | | Berikut disajikan definisi dari minor dan kofaktor dari suatu matriks dalam definisi 2.11 dan definisi 2.12: Definisi 2.11. Minor Howard Anton, 2000: 135 Misakan A adalah matriks persegi. Minor anggota dinyatakan dengan dan didefinisikan sebagai determinan sub matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. ■ Berikut disajikan contoh mengenai minor dari suatu matriks: Contoh 2.17 Misalkan terdapat matriks A sebagai berikut: [ ]. Tentukan minor anggota dan Minor anggota dan adalah | | dan | | . Definisi 2.12. Kofaktor Howard Anton, 2000: 135 Jika minor dari dikalikan dengan hasilnya dinamakan kofaktor dari dan dinyatakan dengan . ■ Contoh 2.18 Misalkan terdapat matriks [ ]. Tentukan kofaktor anggota dan Minor anggota adalah | | , sehingga kofaktornya adalah | | Minor anggota adalah | | sehingga kofaktornya adalah | | Kofaktor-kofaktor anggota dari matriks A jika disusun menjadi sebuah matriks maka akan menghasilkan matriks kofaktor. Berikut definisi matriks kofaktor: Definisi 2.13. Matriks Kofaktor Howard Anton, 2000: 140 Jika A adalah sebarang matriks persegi berukuran maka adalah kofaktor dari , maka matriks [ ] disebut matriks kofaktor dari A. ■ Transpose dari matriks ini disebut adjoin A dan dinyatakan oleh adj A. Contoh 2.19 Misalkan terdapat matriks [ ]. Tentukan matriks kofaktor dari A dan adj A Kofaktor dari matriks A adalah: | | | | | | | | | | | | | | | | | | Matriks kofaktornya adalah [ ] dan [ ]. Jika suatu matriks mempunyai determinan nol maka disebut matriks singular. Sebaliknya, jika determinan matriks tidak nol maka disebut matriks taksingular. Determinan untuk matriks diagonal A atau diperoleh dari perkalian entri pada diagonal utama. Demikian pula jika A adalah matriks segitiga, diperoleh dengan mengalikan entri-entri pada diagonal utamanya. Untuk memperjelas, disajikan contoh berikut: Contoh 2.20 Misalkan terdapat matriks [ ] dan [ ]. dan . Ada sifat determinan yang terkait dengan operasi baris elementer. Misalkan terdapat matriks A, j ika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta , maka . Sifat yang lain adalah jika A’ diperoleh dari A dengan menukar dua baris, maka dan jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris yang lain, maka Perhitungan determinan dapat dipermudah menggunakan sifat-sifat tersebut. Metode ini disebut metode reduksi baris. Untuk lebih jelasnya, berikut disajikan contohnya: Contoh 2.21 Misalkan terdapat matriks [ ]. Carilah detA menggunakan metode reduksi baris Determinan dari matriks A lebih mudah dicari jika matriks tersebut diubah menjadi matriks segitiga. Sehingga nantinya merupakan perkalian dari entri-entri pada diagonal utamanya saja. Oleh karena itu untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga digunakan bantuan operasi baris elementer. Langkah pertama yang dilakukan adalah dengan mengubah salah satu entri pada kolom pertama menjadi bernilai 1. Perlakuan ini tidak mengubah tanda maupun nilai dari determinan. | | diperoleh | | . Setelah itu pertukarkan baris pertama dan ketiga sehingga determinan menjadi negatif, | | maka diperoleh | | . Selanjutnya, untuk mengubah matriks tersebut menjadi matriks segitiga dilakukan operasi baris elementer untuk membuat entri-entri pada menjadi nol. | | maka | | . | | maka | | . Jadi, Suatu matriks persegi akan mempunyai invers jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol. Berikut disajikan definisi invers dari sebuah matriks: Definisi 2.14. Invers sebuah Matriks Howard Anton, 2000: 65 Jika A dan B adalah matriks persegi berukuran sama dan bisa didapatkan sedemikian sehingga maka matriks A disebut bisa dibalik dan matriks B disebut invers dari matriks A. ■ Untuk selanjutnya, invers dari suatu matriks A dinyatakan dengan simbol A -1 . Sehingga dan . Untuk matriks persegi berukuran inversnya dapat ditentukan dengan menggunakan determinan dan adjoin. Misalkan untuk sebarang matriks A maka . Dengan syarat . Invers dari matriks berukuran misalkan [ ], dapat langsung dicari dengan aturan sebagai berikut: [ ]. Contoh 2.22 Misalkan terdapat matriks [ ] dan [ ]. Invers dari matriks A dapat diperoleh dengan [ ] [ ] [ ] . Invers dari matriks B dicari dengan menggunakan . Kofaktor dari matriks B adalah: | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | . [ ]. [ ] [ ] . Invers matriks juga dapat dicari dengan bantuan matriks identitas I. Langkah yang perlu ditempuh adalah membuat matriks gabungan [ | ] kemudian mereduksi matriks A pada ruas kiri menjadi matriks I dengan menggunakan operasi baris elementer. Operasi baris elementer yang sama juga dilakukan pada matriks identitas, sehingga matriks I pada ruas kanan akan tereduksi menjadi matriks B. Karena maka matriks B ini adalah matriks . Untuk lebih jelasnya disajikan contoh sebagai berikut: Contoh 2.23 Misalkan terdapat matriks [ ]. Invers dari matriks tersebut, diperoleh dengan bantuan matriks identitas I. Sehingga diperlukan matriks gabungan [ | ], sedemikian sehingga [ | ] [ | ], untuk mendapatkan matriks A direduksi menggunakan operasi baris elementer, sedemikian sehingga menghasilkan matriks identitas. Langkah yang perlu ditempuh adalah membuat elemen selain diagonal utama menjadi nol. [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] Sehingga [ ] . Invers matriks juga dapat dicari dengan menggunakan partisi. Misalkan terdapat matriks A berukuran , dengan dan inversnya yaitu matriks , yang dipartisi menjadi matriks berordo sebagai berikut: [ ] dan [ ] . Karena maka diperoleh persamaan berikut: [ ] [ ] [ ] Sehingga, Misalkan , maka dengan syarat det dan . Contoh 2.24: Tentukan invers dari [ ] menggunakan partisi. Partisi matriks [ ]. [ ] [ ] [ ] [ ]. [ ] [ ] , [ ] [ ] [ ] , [ ] [ ] [ ] , [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] , [ ], [ ] [ ] [ ][ ] [ ], [ ] [ ] [ ], [ ][ ] [ ], Maka [ ] [ ]. 2. Sistem Persamaan Linear Suatu persamaan linear dengan n variabel adalah persamaan dengan bentuk: 2.4 dimana dan b adalah bilangan real, adalah variabel. Dengan demikian, suatu sistem persamaan linear dari n persamaan dalam n variabel adalah 2.5 dengan dan adalah bilangan real. Berikut disajikan contoh dari sistem persamaan linear dalam variabel : Contoh 2.25 Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, ada beberapa cara yang bisa dipilih, misalnya dengan metode substitusi, eliminasi, dan campuran keduanya. Namun, untuk sistem persamaan linear dengan banyak variabel, cara tersebut dirasa tidak mudah dan cukup menyita banyak waktu. Oleh karena itu diperlukan cara lain untuk menyelesaikannya, yaitu dengan mengubah sistem persamaan tersebut menjadi bentuk matriks, yaitu: [ ] [ ] 2.6 atau jika diubah menjadi bentuk perkalian matriks [ ] [ ] [ ] 2.7 Misalkan [ ] adalah matriks koefisien, [ ] adalah matriks untuk variabel, dan [ ] adalah matriks untuk konstanta, matriks-matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai 2.8 Untuk mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut, dapat digunakan beberapa cara, antara lain: a. Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear menggunakan metode ini, persamaan linear terlebih dahulu diubah menjadi bentuk matriks yang diperbesar yaitu [ | ] [ || ] 2.9 Kemudian dilakukan operasi baris elementer pada matriks tersebut untuk mendapatkan matriks identitas pada matriks sebelah kiri dan penyelesaian pada matriks sebelah kanan. Contoh 2.26 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear: Sitem persamaan tersebut jika dituliskan dalam bentuk matriks yang diperbesar menjadi: [ | ]. Kemudian dilakukan operasi baris elementer sebagai berikut: [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] [ | ] Maka nilai dari masing-masing variabel adalah . b. Dengan menggunakan invers matriks Suatu sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk 2.10 Untuk mencari penyelesaiannya, dapat digunakan bantuan invers matriks, yaitu 2.11 Invers dari matriks A diperoleh dengan menggunakan metode partisi. Untuk lebih jelasnya berikut disajikan contoh. Contoh 2.27 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut: Bentuk perkalian matriks untuk sistem persamaan linear tersebut adalah [ ] [ ] [ ]. Dengan [ ], [ ], dan [ ]. maka dicari dengan menggunakan metode partisi. Partisi matriks [ ]. [ ] [ ] [ ] [ ]. [ ] [ ] , [ ] [ ] [ ] , [ ] [ ] [ ] , [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], [ ], [ ] [ ] [ ][ ] [ ], [ ] [ ] [ ], [ ] [ ] [ ] Maka [ ] [ ]. [ ] [ ] [ ]

B. Istilah-istilah pada Rangkaian Listrik