BY : SRI ESTI
S = {1, 2, 2, 1, 3, 3} T = {1, 2, 2, 3, 1, 3}
Tentukan yang mana relasi refleksif, simetris, antisimetris dan transitif?
3. Tiap pernyataan berikut mendefinisikan suatu relasi pada himpunan bilangan
positif N R : x lebih besar dari y
S : x + y = 10 T : x + 4y = 10
Tentukan manakah relasi yang refleksif, simetri, transitif, antisimetris. 4.
Misalkan PX adalah kumpulan semua subset dari himpunan X dengan paling sedikit terdiri dari 3 elemen. Setiap pernyataan berikut mendefinisikan sebuah
relasi pada PX R : A
⊆ B S : A saling asing dengan B T : A U B = X
Tentukan manakah relasi di atas yang refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif.
6. Partisi
Sebuah partisi dari S adalah suatu koleksi P ={A
i
} dari subset-subset S yang tidak
kosong sedemikian hingga : i
Setiap elemen a dalam S anggota dari salah satu A
i
ii Himpunan-himpunan dari P adalah saling asing, yaitu jika A
i
≠ A
j
maka A
i
∩A
j
=Ø
Subset-subset dalam sebuah partisi disebut sel. Gambar berikut adalah diagram venn dari suatu partisi dari himpunan titik-titik dalam 5 sel.
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
BY : SRI ESTI
Contoh :
1. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tunjukkan apakah setiap pernyataan berikut
adalah sebuah partisi dari S : a.
P
1
= {1, 2, 3, 1, 4, 5, 6} c. P
3
= {1, 3, 5, 2, 4, 6} b.
P
2
= {1, 2, 3, 5, 6} d. P
4
= {1, 3, 5, 2, 4, 6, 7 Penyelesaian :
a. Bukan, karena 1
Є S anggota dari 2 sel b.
Bukan, karena 4 Є S bukan anggota sel manapun
c. P
3
adalah sebuah partisi dari S d.
Bukan, karena 2, 4, 6, 7 bukan subset dari S
2. Misalkan S = merah, biru, hijau, kuning. Tunjukkan apakah setiap pernyataan
berikut adalah sebuah partisi dari S : a.
P
1
= {merah, biru, hijau} b.
P
2
= {merah, biru, hijau, kuning} c.
P
3
= { Ø, merah, biru, hijau, kuning} Penyelesaian :
a. Bukan, karena kuning bukan anggota sel manapun
b. P
2
adalah partisi dari S yang hanya memiliki satu elemen yaitu S sendiri c.
Bukan, karena Ø tidak bisa menjadi anggota sebuah partisi
Latihan soal :
1. Misalkan S = {1, 2, ..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah
sebuah partisi dari S. a.
{1, 3, 5, 2, 6, 5, 7, 9} b.
{1, 3, 9, 2, 4, 6, 8, 5, 7, 9} c.
{1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7,9} d.
{S} 2.
Misalkan X = {1, 2, ..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari X.
BY : SRI ESTI
a. {1, 3, 6, 2, 8, 5, 7, 9}
b. {1, 5, 7, 2, 4, 8, 9, 3, 5, 6}
c. {2, 4, 5, 8, 1, 9, 3, 6, 7}
d. {1, 2, 7, 3, 5, 4, 6, 8, 9, 3, 5}
3. Tentukan semua partisi dari S = {1, 2, 3}
4. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d}
5. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari himpunan
bilangan bulat positif N : a.
{n : b 5, n : x 5} b.
{n : x 5, 0, n : x 0} c.
{n : x
2
11, n : x
2
11}
7. Relasi Ekuivalen
Sebuah relasi R pada suatu himpunan A disebut relasi ekuivalen jika refleksif,
simetris dan transitif persamaan biasa adalah bentuk relasi ekuivalen
Contoh :
1. Misalkan L adalah himpunan garis dalam bidang euclid, sedangkan R adalah
relasi pada L yang didefinisikan oleh sejajar dengan II. Tunjukkan bahwa R adalah relasi ekuivalen.
Penyelesaian : Karena a = a untuk sembarang garis di L maka R adalah refleksif. Jika a II b dan
b II c maka a II c; sehingga R adalah transitif, maka R adalah sebuah relasi ekuivalen.
2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan N yang didefinisikan oleh = {a, b : a +
b genap}. Apakah R adalah relasi ekuivalen? Penyelesaian :
BY : SRI ESTI
Ya. Untuk a Є N, a + a adalah genap; dan jika a + b genap maka b + a genap.
Sehingga refleksif dan simetris. a R b jika dan hanya jika keduanya a dan b mempunyai jenis yang sama yaitu a dan b genap atau a dan b ganjil
3. Misalkan R = {1, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 3}. Apakah R adalah suatu relasi
ekuivalen pada A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3} ?
Penyelesaian : R adalah simetris dan transitif; tetapi R tidak ekuivalen pada A karena 2 R 2
sehingga R tidak refleksif pada A. Sebaliknya, R refleksif pada B sehingga R adalah relasi ekuivalen pada B
Latihan Soal :
1. Misalkan S = {1, 2, 3}. Tuliskan relasi ekuivalen dari R pada S.
2. Misalkan R = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 3, 3}. Apakah R adalah
suatu relasi ekuivalen pada A = {1, 2, 3, 4}. 3.
Misalkan R = {1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2}. Apakah R adalah suatu relasi ekuivalen pada
A = {1, 2}
8. Relasi N-Ary
