BY : SRI ESTI
R = {1, a, 2, d, 3, a, 3, b, 3, d} dan S = {b, x, b, z, c, y, d, z}. Tentukan relasi komposisi R ο S
2. Gunakan matriks untuk menentukan komposisi R ο S dari relasi R dan S pada
soal diatas
3. Misalkan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} dan C = {w, x, y, z}. Perhatikan relasi
dari R dari A ke B dan S dari B ke C yang didefinisikan : R = {a, 3, b, 3, c, 1, c, 3, d, 2} dan S = {1, x, 2, y, 2, z}.
a Gambarkan diagram panah untuk R dan S
b Tentukan relasi komposisi
R ο S
5. Sifat Relasi
Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan A, maka : 1.
R adalah Refleksif jika a R a untuk setiap a di A
2.
R adalah Simetris jika a R b maka b R a
3.
R adalah Antisimetris jika a R b dan b R a maka a = b
4.
R adalah Transitif jika a R b dan b R c maka a R c
Suatu himpunan A adalah : 1.
Tidak refleksif
jika ada a Є A sedemikian sehingga a, a bukan anggota R 2.
Tidak simetris jika ada a, b di R sedemikian sehingga b,a bukan anggota R
3.
Tidak transitif jika ada a, b dan b, c di R sedemikian sehingga a, c bukan
anggota R 4.
Tidak antisimetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga a,
b dan b, a anggota R
Contoh :
1. Perhatikan 5 relasi dari himpunan A = {1, 2, 3} berikut, tentukan yang
merupakan relasi refleksif, simetris, transitif, dan antisimetris : R = {1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 3}
Ø = relasi kosong S = {1, 1, 1, 2, 2, 1 2, 2, 3, 3}
A x A = relasi semesta
BY : SRI ESTI
T = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3} Penyelesaian :
R tidak refleksif karena 2 Є A tetapi 2, 2 ∉ R. T tidak refleksif karena 3, 3 ∉ T dan Ø tidak refleksif. Hanya S dan A x A yang refleksif.
R tidak simetris karena 1, 2 Є R tetapi 2, 1 ∉ R, dengan cara yang sama T tidak simetris. S, Ø dan A x A yang simetris.
T tidak transitif karena 1, 2 dan 2, 3 anggota T, tetapi 1, 3 bukan anggota T. Keempat relasi yang lain adalah transitif.
S tidak antisimetris karena 1 ≠ 2, dan 1, 2 dan 2, 1 anggota S. Dengan cara yang sama A x A tidak antisimetris. Ketiga relasi yang lain adalah
antisimetris.
2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} yang didefinisikan oleh :
R = {1, 1, 2, 2, 2, 3,3, 2,4, 2, 4, 4}. Tunjukkan bahwa R : a Tidak refleksif b Tidak transitif c Tidak simetris d Tidak antisimetris
Penyelesaian : a
R tidak refleksif karena 3 Є A tetapi 3 R 3, yaitu 3, 3 ∉ R
b R tidak transitif karena 4 R 2 dan 2 R 3 tetapi 4 R 3, yaitu 4, 2
Є R dan 2, 3
Є R tetapi 4, 3 ∉ R c
R tidak simetris karena 4 R 2 tetapi 2 R 4, yaitu 4, 2 Є R tetapi 2, 4 ∉ R
d R tidak antisimetris karena 2 R 3
dan 3 R 2 tetapi 2 ≠ 3
Latihan soal :
1. Berikan contoh dari relasi R pada A = {1, 2, 3} mempunyai sifat :
a. R kedua-duanya simetris dan antisimetris
b. R tidak kedua-duanya, simetris maupun antisimetris
c. R transitif tetapi R U R
-1
tidak transitif
2. Misalkan R, S, dan T adalah relasi pada A = {1, 2, 3} yang didefinisikan oleh :
R = {1, 1, 2, 2, 3, 3}
BY : SRI ESTI
S = {1, 2, 2, 1, 3, 3} T = {1, 2, 2, 3, 1, 3}
Tentukan yang mana relasi refleksif, simetris, antisimetris dan transitif?
3. Tiap pernyataan berikut mendefinisikan suatu relasi pada himpunan bilangan
positif N R : x lebih besar dari y
S : x + y = 10 T : x + 4y = 10
Tentukan manakah relasi yang refleksif, simetri, transitif, antisimetris. 4.
Misalkan PX adalah kumpulan semua subset dari himpunan X dengan paling sedikit terdiri dari 3 elemen. Setiap pernyataan berikut mendefinisikan sebuah
relasi pada PX R : A
⊆ B S : A saling asing dengan B T : A U B = X
Tentukan manakah relasi di atas yang refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif.
6. Partisi
