Energi regangan akibat puntir untuk penampang elemen dz adalah :
φ d
T dU
SV TSV
2 1
=
2.6.8 Subtitusikan nilai d dari persamaan 2.6.7 akan menghasilkan :
dz GJ
T dU
SV TSV
2
2 1
=
Subtitusikan nilai T
SV
dari persamaan 2.6.6 diperoleh:
dz dc
d GJ
dU
TSV 2
2 1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= φ
Untuk seluruh bentang diperoleh energi regangan balaok akibat puntir murni:
dz dc
d GJ
U
TSV 2
1
2 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∫
φ
2.6.9 Dimana :
G = modulus elastis geser J = Konstanta puntir
II.6.2. Energi regangan pada balok akibat Puntir Terpilin
Balok memikul torsi M
z
seperti gambar 2.11, maka sayap tekan balok akan melengkung kesalah satu arah lateral dan sayap tariknya melengkung ke
arah lateral lainnya. Bila penampang lintang berentuk sedemikian rupa dapat terpilin penampang tidak datar lagi jka tidak dikekang, maka sistem yang
dikekang akan mengalami tegangan.
Gambar 2.11 Torsi pada penampang profil I
Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009
Keadaan terpuntir pada gambar menunjukkan balok yang puntirnya dicegah di ujung – ujung tetapi sayap atasnya melendut ke arah samping
sebesar di lenturan sayap ke samping sebesar U
f
. lenturan sayap ke samping ini menimbulkan tegangan normal lentur tarik dan tekan serta tegangan geser
sepanjang lebar sayap. Jadi puntir dapat dianggap terdiri dari dua bagian : 1 rotasi elemen,
yakni akibat puntir murni, dan 2 translasi yang menimbulkan lenturan lateral, yakni akibat pemilinan.
Tinjau posisi sumbu pusat sayap yang melendut pada gambar 2.11 U
r
adalah lendutan lateral di salah satu sayap di penampang sejarak z dari ujung batang; adalah sudut puntir di panampang yang sama, dan V
f
gambar 2.12 adalah gaya geser horizontal yang timbul di sayap penampang tersebut akibat
lenturan lateral. Perhatikan bahwa anggapan yang penting ialah badan tetap datar selama rotasi, sehingga kedua sayap melendut ke samping dalam jarak
yang sama. Jadi, badan dianggap cukup tebal rtelatif terhadap sayap sehingga badan tidak melentur selama terpuntir karena sayap memilki penahan puntir
yang besar.
Gambar 2.12 Gaya geser akibat pemilinan
Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009
Dari geometri, untuk harga Ø yang kecil,
2 H
u
f
φ =
2.6.10 Sudut puntir berbanding langsung dengan lendutan. Syarat batas torsi analog
dengan syarat batsa lenturan lateral. Difrensial persamaan 2.6.10 dua kali terhadap z menjadikan:
2 2
2 2
2 dz
d H
dz u
d
f
φ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
2.6.11 Untuk satu sayap, persamaan momen lentur lateral ke arah U
f
adalah:
f f
f
EI M
dz u
d =
2 2
2.6.12 Atau bila dituliskan dalam sudut lendutan sayap
f
didapat
f f
f
EI M
dz d
= φ
2.6.13 Dengan M
f
adalah momen lentur pada satu sayap, I
f
adalah momen inersia untuk satu sayap terhadap sumbu y, I
f
=I
y
2 Dengan menyamakan
2 2
dz u
d
f
pada persamaan 2.6.11 dan persamaan 2.6.12 akan dihasilkan:
f f
EI dz
d H
M
2 2
2 φ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
2.6.14 Energi regangan akibat puntir terpilin ditulisakan sebagai:
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
f f
TW
d M
dU φ
2 1
2
2.6.15 Subtitusikan persamaan 2.5.13 ke persamaan 2.5.15 diperoleh:
Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009
dz EI
M dU
dz EI
M dU
y f
TW f
f TW
2 2
2 =
=
2.6.16
Subtitusikan persamaan 2.6.14 ke persamaan 2.6.16 diperoleh:
dz EI
dz d
H dU
f TW
2 2
2 2
4 ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
φ
2.6.17
dz dz
d EC
dU
w TW
2 2
2
2 ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
φ
2.6.18 dimana C
w
adalah konstanta terpilin,
2
2
H I
C
f w
=
maka untuk seluruh struktur akan diperoleh persamaan integral energi regangan akibat puntir terpilin:
dz dz
d EC
U
W TW
2 1
2 2
2
∫
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= φ
2.6.20 Total energi regangan pada balok I yang mengalami lentur, puntir murni dan
puntir terpilin adalah jumlah persamaan 2.5.7, persamaan 2.6.9 dan persamaan 2.6.19 yaitu:
∫ ∫
∫
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 dz
dz d
EC dz
dz d
GJ dz
dz d
EI U
W
φ φ
φ
2.6.20
II.7. Energi potensial gaya luar dengan Titik Tangkap Beban sejauh a dari perletakan dan sejauh c di atas Garis Netral
Beban yang ekerja pada gelagar jembatan terjadi di atas sayap gelagar, berarti bukan pada garis barat gelagar, maka akan terapat tambahan atau pengukuran
energi potesial. Penambahan terjadi bila gaya bekerja dibawah garis netral atau
Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009
W bertanda positif + dan berkurang atau bertanda negatif - bila gaya bekera diatas garis netral. Besarnya nilai penambahan atau pengurangan ini adalah :
2
2
o
c W
φ =
Δ
2.7.1 Dimana c pada kasus ini sebesar H2
Persamaan 2.7.1 dapat dijelaskan sebagai berikut:
Untuk sudut Ø
D
yang kecil akan berlaku: c’ = c cos Ø
D
W = c – c’ = c 1 – cos Ø
D 2
2
D
c W
φ =
Δ
Untuk menguraikan momen-momen yang semula bekerja pada sumbu- sumbu x, y dan z menjadi momen-momen yang sumbu putarnya searah , , dan
, maka perlu diperhatikan tabel berikut: Gambar 2.13 Beban P bekerja sejauh c dari garis netral
X C
D
P P
D P
D Y
D
o
C’ ∆W
C
D
Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009
Tabel 2.7.1 Kosinus Arah X
Y Z
1 Ø
-dudz -Ø
1 -dvdz
dudz dvdz
1
Persamaan differensial untuk momrn menurut sumbu , , dan adalah:
ξ ξ
M dz
v d
EI =
=
2 2
2.7.2
η η
M dz
v d
EI =
=
2 2
2.7.3 Persamaan differensial untuk torsi menurut sumbu , , dan adalah:
ζ φ
φ M
dz d
EC dz
d GJ
W
= −
3 3
2.7.4
Beban Terpusat
Penyelesaian energi regangan akibat beban luar terpusat diselesaikan satu persatu untuk masng-masing P dengan nilai a yang bervariasi sesuai letak P
yang menentukan nilai momen maksimum.
L A
a2 a3
P1 a1
P2 P3
B
Gambar 2.14 Posisi beban terpusat pada gelagar memanjang
Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009
Untuk batas 0za
z L
a L
P M
x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
=
: untuk batas 0za 2.7.5
z L
L a
P M
x
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
: untuk batas azL 2.7.6 Uraian momen di atas ke sumbu , , dan sebagai berikut:
M = M
x
z L
a L
P M
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
=
ξ
: untuk batas 0za 2.7.7
z L
L a
P M
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
ξ
: untuk batas azL 2.7.8 M = ØM
x
z L
a L
P M
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
= φ
η
: untuk batas 0za 2.7.9
z L
L a
P M
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
φ
η
: untuk batas azL 2.7.10 Robahan lentur elemen dz memberi robahan ke arah u sebesar:
dz z
dz u
d
2 2
: untuk batas 0za 2.7.11
dz z
L dz
u d
2 2
−
: untuk batas azL 2.7.12 Yang urainnya di arah v adalah :
dz z
dz u
d
2 2
φ
: untuk batas 0za 2.7.13
dz z
L dz
u d
2 2
− φ
: untuk batas 0za 2.7.14
Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009
Besarnya kerja yang dihasilkan P adalah:
dz z
dz u
d P
T
a
∫
= Δ
2 2
1
φ
: Untuk batas 0za 2.7.15
dz z
L dz
u d
P T
a
− =
Δ
∫
1 2
2 1
φ
: Untuk batas azL 2.7. 16
Substitusikan
η
φ EI
M dz
u d
x
=
2 2
akan diperoleh:
2 2
2 1
2 2
2 2
1
2 φ
φ φ
η η
c P
dz z
L L
A EI
P dz
z L
a L
EI P
T
a a
− −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − −
= Δ
∫ ∫
2.7.17
Beban Merata
L A
B z
q
2
2 1
2 qz
z qL
M
x
− =
2
2 z
Lz q
− =
Dengan cara yang sama dengan pembebanan terpusat, diperoleh:
Gambar 2.15 Posisi beban merata pada gelagar memanjang
Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009
2 2
1 3
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2
φ φ
φ φ
φ φ
η η
c qL
dz z
Lz EI
L q
T c
qL dz
z z
Lz q
EI qL
c qL
dz z
dz u
d qL
T
− −
− =
Δ −
− −
= −
= Δ
∫ ∫
∫
2.6.18
Maka total energi luar akibat beban terpusat dan beban merata adalah:
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
− −
− =
− ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − −
= −
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
− =
− ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − −
=
1 2
2 3
2 2
3 1
2 2
3 2
3 2
2 3
2 3
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
3 3
2 2
1 1
φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
φ
η η
η η
c qL
dz z
Lz EI
L q
c P
dz z
L L
a P
dz z
L a
L P
EI c
P dz
z L
L a
P dz
z L
a L
P EI
c P
dz z
L L
a P
dz z
L a
L P
EI T
a a
a a
a a
2.6.19
II.8. Energi Regangan Dalam
