Tekuk lateral balok Energi Regangan Pada Balok Akibat Lentur

II.3. Tekuk lateral balok

Tekuk lateral adalah tekuk arah tegak lurus bidang kerja gaya luar, terjadi pada balok-balok langsing dimana ly lx. Seperti pada kolom dengan beban aksial, balok tidak mungkin mengalami pembebanan yang sempurna, tidak homogen seluruhnya, dan biasanya tidak dibebani tepat pada bidang yang dianggap dalam perencanaan dan analisis. Tinjau gambar 2.5 di bawah ini. Menurut teori balok yang umum, pembebanan pada bidang badan balok akan menimbulkan tegangan yang sama besar di titik A dan B. Namun ketidak sempurnaan pada balok dan eksentrisitas tak terduga pada pembebanan akan menyebabkan tegangan di A dan B berlainan. Sayap segi empat yang berlaku sebagai kolom biasanya akan tertekuk dalam arah lemah akibat lentur terhadap suatu sumbu seperti seumbu 1-1 pada gambar 2.5b, namun, badan memberi sokongan menerus untuk mencegah tekuk ini. Bila beban tekan diperbesar, sayap segi empat cenderung akan tertekuk oleh lentur terhadap sumbu 2-2 pada gambar 2.5b tekuk lateral lateral buckling . Analogi antara sayap tekan balok dan kolom ditujukan hanya untuk menjabarkan kelakuan umum tekuk lateral. Untuk memahami kelakuan ini secara lebih tepat, harus disadari bahwa sayap tekan tidak saja ditopang braced dalam arah lemah oleh badan yang menghubungkan ke sayap tarik yang stabil, tetapi badan juga memberikan pengekangan momen dan geser yang menerus sepanjang pertemuan sayap dan badan. Jadi, kekakuan lentur badan menyebabkan seluruh penampang ikut bekerja bila pergerakan lateral atau ke samping terjadi. Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009

II.4. Konsep Dasar Metode Energi

Pada struktur yang dibebani gaya luar akan terjadi perubahan bentuk struktur tersebut sebagai reaksinya. Selama terjadi robahan bangun ini, dikatakan gaya luar melakukan suatu kerja. Dalam hal ini energi akan diserap oleh struktur pada saat gaya melewati balok untuk melakukan kerja. Berbeda halnya dengan kesetimbangan klasik, yang dapat ditinjau pada elemen kecil yang merupakan bagian dari struktur, metode energi didasarkan pada konsep kesamaan anatara energi regangan dengan kerja gaya luar untuk seluruh struktur yang ditinjau. Oleh karena dalam menyelesaikan persoalan dibutuhkan penyamaan antara energi dan kerja, maka perlu diperhatikan apakah struktur tersebut konservatif atau tidak. Suatu system dikatakan konservatif apabila system berdeformasi akibat pembebanan dan apabila beban ditiadakan non konservatof apabila terdapat kehilangan energi misalnya dalam bentuk gesekan, deformasi inelastic dan lain-lain. Jadi dalam suatu system konservatif akan berada dalam keseimbangan netral apabila energi yang dilakukan gaya luar terhadap system. Perhatikan gambar 2.6 berikut: A B B A B A B A 1 1 2 2 Tampak atas Lendutan lateral Tampak samping b Tampak samping a Gambar 2.5 Tekuk punter lateral pada balok Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009 Kerja yang dilakukan gaya luar didefenisikan sebagai hasil kali scalar antara vector gaya P dengan vector perpindahan s. Nilai scalar ini positif bila arah kedua vector itu sama. Apabila gaya yang bekerja konstan maka kerja yang dilakukan adalah W = P + s. Dengan kata lain, bila gaya bervariasi selama terjadi perpindahan, maka kerja dapat dihitung sebagai : ∫ = α cos ds x P W 2.4.1 Selama terjadinya deformasi suatu struktur elastis, maka gaya luar W e akan senantiasa diimbangi oleh kerja gaya dalam W i . Apabila struktur memenuhi hulum Hooke, maka gaya-gaya dalam tersebut merupakan gaya-gaya konservatif, dimana setelah beban luar ditiadakan struktur elastis tersebut akan kembali ke bentuk dan posisi semula dan kerja dalam akan nol. Apabila kita defenisikan energi sebagai kemampuan untuk melakukan kerja dalam hokum kekekalan energi menghendaki bahwa kerja gaya dalam akan sama dan berlawanan arah dengan kerja gaya luar, maka dapat dituliskan: = + i e W W 2.4.2 Energi potensial didefenisikan sebagai kemampuan suatu gaya dalam disebut energi regangan atau strain energi U, yang merupakan gaya dalam U = W i . Energi potensial gaya luar V didefenisikan sebagai negative kerja gaya luar. Total potensial suatu system struktur adalah jumlah dari energi regangan U dan energi potensial gaya luar V. Jadi dapat ditulis: = U + V 2.4.3 Gambar 2.6 Hubungan kerja, gaya, dan perpindahan s P A B Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009

II.4.1. Kerja Nyata dan Kerja Maya

Dalam mempelajari hubungan energi dengan perilaku struktur, biasanya dianggap gaya dan deformasi tidak nyata. Jadi peninjauan dilakukan terhadap deformasi virtual dan gaya virtual sehingga demikian kita harus membedakan kerja nyata dan kerja maya. Untuk membedakan kedua kerja tersebut, kita tinjau suatu system pegas elasis dengan derajat kebebasan tunggal system satu massa seperti tampak pada gambar 2.6 Untuk menimbulkan kesetimbangan elastis suatu system, maka gaya luar harus bekerja secara perlahan-lahan. Sebab bila gaya bekerja secara sembarangan maka timbul vibrasi. Beban yang bekerja pada system pegas dilukiskan dalam gambar 2.4.1b. Kerja akibat meregangnya pegas digambarkan oleh luasan segitiga OAB, jadi: max max 2 1 . 2 1 2 x P kx dx kx W i xl i = = = ∫ 2.4.4 Sehingga kita dapat mengatakan bahwa kerja nyata gaya dalam, pada suatu system elastis sama dengan setengah dari hasil kali harga akhir gaya dalam denan deformasinya. Sesuai dengan hal tersebut di atas, maka kerja nyata gaya luar yang bekerja pada suatu system elastis dapat ditulis: mak x c x P W . 2 1 = 2.4.5 Untuk menjelaskan konsep potensial V gaya luar, kita tinjau gambar 2.7c. Bila struktur tersebut berada pada suatu ketinggian H dari permukaan tanah, maka gaya luar akan dapat menimbulkan kerja total P w .H, apabila penopang ditiadakan. Maka bila deformasi akhir adalh x max maka potensial gaya luar menjadi: V = - P e . x max 2.4.6 Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009 Tanda negative berarti energi potensial berkurang sampai habis bila gaya berpindah dari posisi awal ke posisi akhir. Dalam hal kerja virtual, dalam kesetimbangan gaya luar yang bekerja suadh maksimum, harganya konstan dan deformasinya juga sudah konstan. Sekarang kita ganggu kesetimbangan ini dengan suatu perpindahan kecil yang sesuai dengan syarat batas x. Selama terjadinya perpindahan virtual, seluruh gaya tetap kosntan. Perubahan keja pada pegas adalah: x P x kx W i xl i δ δ . max max = = ∫ 2.4.7 Dan pertambahan kerja virtual gaya luar adalah: W e = P e . x 2.4.8

II.4.2. Prinsip Energi Potensial Minimum

Dalam kalkulus diferensial, apabila y = fz dimana z adalah variable bebas, maka turunan pertama y terhadap z merupakan kecepatan perubahan seimbang Posisi H X c Potensial Gaya Luar x max d Kerja Virtuil Pe X x Pe X Posisi awal x1 a Pegas Linier Pe = Pw Posisi seimbang Pe b Diagram Gaya Displacement kx max Posisi awal dx x x1 Perpindahan Gaya Pegas kx1 kx Gambar 2.7 Ilustrasi beberapa konsep gaya Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009 relative y terhadap z. Apabila turunan pertama adalah nol, maka fungsi akan ekstrim maximum atau minimum. dydx = 0 y q y = f z Misalkan y adalah kurva deformasi elastis suatu batang yang dibebani gaya luar, maka kita dapat mengatakan bahwa seluruh nilai z yang mungkin 0z1 akan terdapat nilai z = z 1 , sehingga y = fz atau defleksi balok akan maksimum. Prinsip diatas dapat diterapkan pada energi potensial struktur. Apabila total potensial struktur adalah , maka keadaan ekstrim maksimum dan minimum akan dipenuhi bila = 0, jadi dapat dituliskan = 0 2.4.9 atau U + V = 0 2.4.10 Keadaan ekstrim tersebut, pada umumnya di dalam mekanika struktur kita sebut dalam keadaan setimbang netral. Persamaan 2.4.9 adalah interpretasi matematis dari prinsip energi potensial minimum. Secara teoritis dapat dikatakan bahwa untuk seluruh deformasi yang mungkin sesuai dengan syarat bebas, akan terdapat suatu bentuk deformasi yang membuat totall potensial menjadi minimum. Gambar 2.8 Nilai ekstrim suatu fungsi dydx= 0 Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009 y d0 Y M du dz Elemen kecil yang ditinjau L a d0 dz z P d0 d M

II.5. Energi Regangan Pada Balok Akibat Lentur

Energi regangan balok dengan penampang I yang memikul lentur dapat diturunkan pada balok yang mengalami pembebanan lentur seperti gambar 2.9 Dari gambar 2.10 sudut lentur balok adalah d , y du d = θ 2.5.1 Perhatikan perubahan kecil du terhadap bagian dz diperoleh bahwa: ε = dz du 2.5.2 Gambar 2.9 Balok yang mengalami lentur Arfan Jamal Asikin Zalukhu : Analisi Pengaruh Diafragma Terhadap Tekuk Lateral Pada Gelagar Memanjang Jembatan, 2007. USU Repository © 2009 Tegangan yang bekerja pada potongan dz adalah: dz EI My = σ 2.5.3 Dari hokum Hooke diketahui bahaw = E atau E σ ε = maka : dz EI My du = 2.5.4 Substitusikan persamaan 2.5.4 ke persamaan 2.5.1 diperoleh : dz EI My d = θ 2.5.5 Untuk elemen dz, energi regangan yang diserap selama deformasi adalah dz EI M d M du 2 2 1 2 1 = = θ Subtitusikan EI dz y d M ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = 2 2 akan diperoleh: dz dz y d EI dU 2 1 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ == Untuk keseluruhan struktur diperoleh persamaan integral untuk energi regangan: dz dz y d EI dU 2 1 2 1 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ∫ 2.5.7

II.6. Puntir