2.4 Orbit-orbit dalam ruang-waktu Schwarzschild
Untuk menemukan pergerakan orbit-orbit dan cahaya pada ruang-waktu Schwarzschild maka dicari persamaan geodesiknya. Hal pertama yang dilakukan
dengan memulai dari persamaan Lagrangian.
2 1
1
− =
τ τ
ν µ
µν
d dx
d dx
g c
L 2.37
dengan menganggap bahwa orbit-orbit tersebut tetap dalam bidang ekuatorial yaitu
2
π θ
=
, maka Lagrangian menjadi
2 1
2 2
2 1
2 2
2 2
2 1
1 2
1
+
−
−
− =
−
τ φ
τ τ
d d
r d
dr r
c M
G c
d dt
r c
M G
L 2.38
Dengan mengingat ε
= L
dengan
1 =
ε untuk orbit timelike waktu dan
=
ε untuk orbit nol null orbit, sehingga
+
− −
−
=
− 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1
τ φ
τ τ
ε
d d
r d
dr r
c M
G c
d dt
r c
M G
2.39
dari persamaan
2 1
2
, 2
1 r
h d
d k
r c
M G
d dt
=
− =
−
τ φ
τ 2.40
substitusi persamaan 2.42 kedalam persamaan 2.41
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
ε ε
φ
− =
−
− +
• •
k c
r M
G r
c M
G r
r
2.41
persamaan 2.41 adalah persamaan energi Newtonian dengan modifikasi untuk
•
φ dengan menggunakan
φ φ
d dr
r
• •
= dan ambil
r U
1 =
didapat
Universitas Sumatera Utara
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
1 ε
ε φ
− =
−
− +
k h
c U
h M
G U
c M
G U
d dU
2.42
dengan mendifferensialkan persamaan 2.42, maka didapat
2 2
2 2
2 2
3 2
U c
M G
h M
G U
d U
d +
= +
ε φ
2.43
untuk orbit timelike waktu
[ ]
1 =
ε merupakan persamaan Newton
2 2
2 2
2 h
M G
U d
U d
ε φ
= +
2.44
yang terpisah dari persamaan 2.43. Dimana persamaan 2.44 menjelaskan orbit dari sebuah bintang. Wald, R. M, 1998
2.5 Termodinamika Lubang Hitam
Lubang hitam memiliki sifat-sifat termodinamika yang dapat dicirikan dengan pendekatan klasik maupun kuantum. Sifat-sifat termodinamika lubang hitam
ditentukan oleh karakteristik horizon peristiwa. Secara klasik diketahui bahwa besaran-besaran tertentu pada lubang hitam memiliki analogi yang sangat erat dengan
hukum-hukum dasar termodinamika sesuai dengan tabel di bawah ini
Sistem termodinamika Lubang hitam
Temperatur, T Energi, E
Entropi, S Gravitasi permukaan, k
Massa lubang hitam, M Daerah horizon peristiwa, A
Tabel 2.1: Analogi antara parameter termodinamika dan parameter lubang hitam
Universitas Sumatera Utara
Mengacu pada hukum nol termodinamika berbunyi : ” temperatur T konstan pada benda yang berada pada keseimbangan termal ”. Analoginya adalah hukum nol
horizon peristiwa pada lubang hitam yang berbunyi : ”
k
bernilai konstan pada horizon peristiwa Lubang Hitam stasioner “.
k
merupakan gravitasi permukaan yang nilainya merupakan besar percepatan yang dialami sebuah benda pada horizon
peristiwa yang diukur dari daerah asimtotik.
Hukum pertama termodinamika berbentuk:
+ = TdS
dE
Suku Kerja 2.45
sedangkan hukum pertama pada lubang hitam berbentuk:
dQ dJ
kdA dM
H
Φ +
Ω +
=
π
8 1
2.46
dengan :
M
= massa lubang hitam
A
= luas area horizon peristiwa =
2
4 r
π
;
r
adalah jari-jari Schwarzschild
H
Ω = kecepatan sudut lubang hitam
J
= momentum sudut lubang hitam Φ
= potensial elektrostatik Q
= Muatan Listrik
Hukum ke dua termodinamika berbunyi : “ Dalam setiap proses total entropi selalu meningkat “.
≥ S
δ
2.47
sedangkan hukum ke dua pada horizon peristiwa berbunyi : “ Dalam setiap proses luas area horizon peristiwa selalu meningkat “.
≥ A
δ
2.48
Universitas Sumatera Utara
Hukum Sistem Termodinamika
Lubang hitam Hukum ke nol
Hukum pertama
Hukum ke dua Hukum ke tiga
T konstan dalam keseimbangan termal
pdV Tds
dE −
=
≥ S
δ
T=0 tidak bisa tercapai k konstan selama berada dalam
horizon peristiwa lubang hitam
dQ dJ
kdA dM
H
Φ +
Ω +
=
π
8 1
≥ A
δ
k=0 tidak bisa tercapai
Tabel 2.2: Analogi antara hukum-hukum termodinamika dan hukum-hukum mekanika lubang hitam.
Dengan memasukkan prinsip-prinsip mekanika kuantum, Hawking menemukan bahwa kemiripan sifat-sifat Lubang Hitam dengan hukum termodinamika
bukan sekedar analogi. Lubang Hitam memang memiliki sifat-sifat termodinamika seperti benda lainnya. Wald, R.M, 2001
Secara ringkas sifat-sifat termodinamika pada Lubang Hitam yang didapat dari prinsip mekanika kuantum dapat dijabarkan sebagai berikut :
1. Berdasarkan teorema “no hair”, Lubang Hitam yang terbentuk dari keruntuhan
gravitasi akan mencapai keadaan kuasistasioner dengan cepat yang dicirikan oleh ketiga parameter :
M
massa,
J
momentum sudut, Q muatan listrik. 2.
Fisika klasik tidak membatasi kemungkinan-kemungkinan nilai dan kombinasi dari ketiga besaran tersebut. Oleh karena itu terdapat tak hingga banyaknya
keadaan yang mungkin dari Lubang Hitam. 3.
Keadaan partikel pada mekanika kuantum digambarkan dengan fungsi gelombang. Fungsi gelombang Lubang Hitam yang memiliki batas horizon
peristiwa yang merupakan gelombang berdiri seperti fungsi gelombang pada potensial sumur tak hingga.
4. Fungsi keadaan gelombang berdiri yang dibatasi horizon peristiwa jumlahnya
berhingga sehingga keadaan Lubang Hitam dapat dicirikan dengan kombinasi berbagai fungsi gelombang berdiri.
Universitas Sumatera Utara
5. Hal tersebut berkaitan dengan entropi yang secara klasik dinyatakan dengan:
T dQ
dS =
2.49
sedangkan temperatur pada Lubang Hitam adalah π
2 k
T =
2.50
Termodinamika menyatakan bahwa benda yang memiliki temperatur diatas nol absolute akan memancarkan radiasi termal yang intensitasnya berbanding lurus
dengan temperatur pangkat 4 :
4
T I
σ =
2.51
Sehingga Lubang Hitam yang memiliki temperatur tidak nol tentu juga memancarkan radiasi termal keluar dari horizon peristiwa meski hal ini bertentangan
dengan perhitungan fisika klasik. Lubang Hitam memancarkan radiasi termal melalui mekanisme produksi pasangan maya virtual pair production.
Produksi pasangan maya berdasarkan asas ketidakpastian Heissenberg antara ketidakpastian energi dan ketidakpastian waktu :
≥
∆ ∆ t
E
2.52
Dalam selang waktu
t ∆
yang sangat kecil, asas kekekalan energi terlanggar dengan munculnya energi sebesar
E ∆
secara tiba-tiba. Sebagai contoh, salah satu elektron pada jumlah tak hingga, lautan elektron Dirac berenergi negatif secara
spontan melompat ke keadaan energi positif meninggalkan lubang yang ditafsirkan sebagai positron kemudian dengan cepat kembali ke lautan elektron Dirac berenergi
negatif positron kembali menghilang. Pasangan elektron-positron ini muncul selama kurang lebih 10
-35
sekon. Pasangan partikel-anti partikel lain pun dapat terbentuk seperti halnya pasangan elektron-positron.
Universitas Sumatera Utara
Di dalam Lubang Hitam terdapat partikel berenergi negatif terhadap pengamat luar. Ketika terjadi produksi pasangan maya di dekat horizon peristiwa, partikel yang
memiliki energi positif akan terpancar keluar sedangkan yang berenergi negatif akan jatuh ke Lubang Hitam. Peristiwa pemancaran partikel dari Lubang Hitam ini sering
disebut radiasi Hawking. Termodinamika Lubang Hitam pertama kali ditemukan oleh Hawking. Greiner, W, 1995
2.6 Supersimetri dan Supergravitasi
Kategori