dengan
4
8 c
G k
π =
sehingga persamaan gravitasi Einstein menjadi:
µν µν
µν
π
T c
G R
g R
4
8 2
1 −
= −
2.15
Persamaan medan Einstein menghubungkan kelengkungan ruang waktu dan distribusi massa-energi. Persamaan ini berbentuk:
µν µν
µν µν
π T
c G
g R
g R
4
8 2
1 −
= Λ
− −
2.16
dengan : =
Λ G R
, ,
merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak memiliki indeks
=
µν µν
µν
T g
R ,
,
tensor kovarian rank 2
Λ adalah konstanta kosmologi. Konstanta kosmologi dapat bernilai positif dan negatif yang mendekati nol. Jika konstanta kosmologi bernilai negatif mendekati nol maka
gravitasi akan bersifat menarik secara kuat dan seluruh alam semesta luasnya bisa menjadi beberapa kaki, sedngkan jika konstanta kosmologi bernilai positif mendekati
nol maka gravitasi akan bersifat menolak dan segala sesuatu akan beterbangan menjauh dari kita begitu cepatnya sehingga cahayanya tidak pernah akan mencapai
kita. Nilai konstanta kosmologi sangat berkaitan dengan model kosmologi alam semesta.
2.3 Solusi Schwarzschild
Titik dalam ruang waktu 4 dimensi sering disebut sebagai peristiwa dicirikan oleh koordinat yang terdiri dari 1 koordinat waktu dan 3 koordinat ruang. Sebagai
contoh ruang Minskowski dicirikan oleh koordinat ,
, ,
, ,
,
3 2
1
φ θ
r t
x x
x x
x
a
= =
. Metrik ruang-waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh
2 2
2 2
2 2
2 2
sin φ
θ θ
d d
r dr
dt c
ds +
+ +
− =
2.17
Universitas Sumatera Utara
Mengikuti penulisan Weinberg 1972, nilai c sama dengan 1 sehingga metrik diatas menjadi
2 2
2 2
2 2
2
sin φ
θ θ
d d
r dr
dt ds
+ +
+ −
= 2.18
Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini komponen
11
g dan
22
g hanya merupakan fungsi radial r. Bentuk metriknya menjadi
2 2
2 2
2 2
2
sin φ
θ θ
d d
r dr
r A
dt r
B ds
+ +
+ −
= 2.19
dimana metrik di atas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi diabaikan. Dari metrik di atas, komponen tensor metrik kovarian menjadi:
r B
g −
=
11
, r
A g
=
22
,
2 33
r g
=
, θ
2 2
44
sin r
g =
2.20
Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk ∞
→ r
, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali ke bentuk metrik Minkowski dalam koordinat
bola. Dengan syarat batas ini hubungan antara r
A dan
r B
dapat dituliskan secara lebih eksplisit dalam bentuk
r B
r A
1 =
2.21
Untuk jarak yang cukup jauh dari pusat massa m yang terletak di pusat koordinat O, komponen
B g
− =
11
harus bernilai mendekati U
2 1
+ −
dengan U adalah potensial Newtonian benda bermassa M pada jarak r yang bernilai
r M
G U
− =
. Jadi nilai tetapan integrasi di atas adalah
M G
2 −
, sehingga
− =
r M
G r
B 2
1 2.22
dan
1
2 1
−
−
= r
M G
r A
2.23
Universitas Sumatera Utara
Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang-waktu 4 dimensi berkoordinat bola adalah:
2 2
2 2
2 1
2 2
sin 2
1 2
1
φ θ
θ
d d
r dr
r M
G dt
r M
G ds
+ +
−
+
− −
=
−
2.24
Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K. Schwarzschild pada tahun 1916. Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Schwarzschild. Bentuk metrik tersebut
masih mengisi nilai c=1. Apabila nilai c diisikan, bentuk metrik Schwarzschild menjadi:
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2
sin 2
1 2
1
φ θ
θ
d d
r dr
r c
M G
dt c
r c
M G
ds +
+
− +
−
− =
−
2.25
Dengan
2
c M
G m
=
maka metrik di atas menjadi:
2 2
2 2
2 1
2 2
2
sin 2
1 2
1
φ θ
θ
d d
r dr
r m
dt c
r m
ds +
+
− +
−
− =
−
2.26
Dari persamaan 2.27 tampak bahwa metrik tersebut tidak valid untuk
2
2 2
c M
G m
r =
=
2.27
dengan: =
ds Jarak terdekat antara peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski.
= r
Radius Schwarzschild =
G Tetapan gravitasi
2 2
11
10 673
. 6
s m
Newton x
−
= c
Kecepatan cahaya s
m x
8
10 3
= M
Massa Benda
Jari-jari Schwarzschild tersebut membentuk horizon peristiwa yang memisahkan dua daerah:
I.
∞ r
m 2
II.
m r
2
Universitas Sumatera Utara
Wilayah I disebut wilayah lubang hitam sedangkan titik
= r
disebut titik singularitas intrinsik.
Beberapa karakteristik penting dari solusi Schwarzschild adalah: 1.
Partikel yang bergerak menuju titik singularitas akan merasakan tarikan gravitasi yang sangat kuat.
2. Partikel termasuk cahaya tidak ada yang mampu keluar dari wilayah I batas
horizon peristiwa. Partikelcahaya yang bergerak radial keluar tidak akan pernah menembus horizon peristiwa.
3. Cahaya atau sinyal yang dipancarkan dari dekat horizon peristiwa wilayah II
akan mengalami pergeseran ketika diterima oleh pengamat yang jauh. Anugraha, R, 2005
Dari persamaan 2.27 didapat geometri dari suatu vakum bola simetris, yaitu vakum ruang-waktu diluar bola lubang hitam adalah geometri Schwarzschild yang
digambarkan dalam bentuk metrik Schwarzschild
2 2
2 1
2 2
2 1
2 1
Ω +
−
+
− −
=
−
d r
dr r
m dt
r m
ds
2.28
dengan
2 2
2 2
sin φ
θ θ
d d
d +
= Ω
. Metrik Schwarzschild merupakan sebuah medan gravitasi yang memiliki singularitas di permukaan r = 2m . Permukaan lubang hitam
merupakan horizon peristiwa yang pada kenyataannya tidak bisa dilihat di luarnya. Hanya diwilayah dan di luar wilayah permukaan lubang hitam dimana
m r
2 ≥
adalah observasional relevan. Metrik Schwarzschild memerlukan asimtotik datar untuk r
yang besar yaitu
2 2
2 1
2 2
2 1
2 1
Ω +
−
+
− −
≈
−
d r
dr r
m dt
r m
ds 2.29
dan selain itu Persamaan 2.29 dapat menunjukkan bahwa gravitasi Newton hanya membatasi kasus relativitas umum.
Universitas Sumatera Utara
Penggambaran radius Schwarzschild dalam lubang hitam dapat dilihat pada gambar dibawah ini :
Gambar 2.3. Lubang hitam Schwarzschild bermassa M beradius r
s.
Sejauh ini, lubang hitam Schwarzschild hanya bergantung pada massa. Lubang hitam yang sederhana ini astronomis yaitu jatuhnya sebuah bintang berputar tidak
bermuatan dengan simetri bola . Keruntuhan gravitasi dari bintang tidak bulat dengan muatan total tidak nol menghasilkan lubang hitam yang agak berbeda yang dapat
ditandai oleh m massa, momentum sudut intrinsik atau spin J dan muatan listrik Q. Hal ini ditemukan bahwa struktur dari sebuah lubang hitam ditentukan secara unik
dengan hanya tiga parameter, yaitu m, J dan Q setelah berada dalam keadaan akhir. Lubang hitam dalam keadaan akhir hanya dengan m dan Q, memiliki medan gravitasi
yang diberikan oleh metrik Reissner-Nordstrom dengan bentuk:
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
Ω +
+ −
+
+
− −
=
−
d r
dr r
Q r
m dt
r Q
r m
ds 2.30
dimana masing-masing m dan Q adalah massa total dan muatan yang diukur oleh pengamat. Untuk muatan lubang hitam berputar, yaitu lubang hitam yang hanya
ditandai oleh m dan J geometri yang diberikan oleh metrik Kerr biasanya diwakili
Universitas Sumatera Utara
dalam koordinat Boyer-Lindquist menggunakan m
J a
= . Pentingnya nilai ekstrim
suatu kasus dengan menganggap bahwa
⇒ = 0
m a
Tidak ada spin, maka dikurangi dengan kasus Schwarzchild.
⇒ = 1
m a
Lubang hitam Kerr ekstrim tercapai.
Gambar 2.4: Lubang hitam Schwarzschild di koordinat Kruskal-Szekeres tidak memiliki koordinat singularitas maka merupakan ruang-waktu
nyata dimana r = 0 adalah singularitas yang garis tebal putus- putus dalam gambar.
Metrik Kerr mengambil bentuk: ϕ
ρ θ
ρ θ
dtd r
m a
dt a
ds
2 2
2 2
2 2
2
sin 2
2 sin
− −
∆ −
= 2.31
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
sin sin
θ ρ
ρ ϕ
θ ρ
θ d
dr d
a a
r +
∆ +
∆ −
+ +
Dimana
2 2
2 a
r m
r +
− =
∆ 2.32
θ ρ
2 2
2 2
cos a
r +
= 2.33
Inilah horizon peristiwa diasumsi bahwa
2 2
m a
2 2
a m
m r
− ±
=
±
2.34
Universitas Sumatera Utara
Solusi metrik Kerr atau solusi Kerr bersifat stasioner dan simetrik aksial, dan telah mempunyai permukaan ganda, yaitu permukaan luar dan dalam. Di antara horizon
peristiwa dan batasan statis terletak Ergosphere yang di dalam tidak stasioner.
Untuk muatan lubang hitam berputar disebut Kerr-Newman lubang hitam, geometri diperoleh dari metrik Kerr-Newman dalam bentuk yang sama dengan
Persamaan. 2.32 tetapi dengan
2 2
2
2 Q
a r
m r
+ +
− =
∆ 2.35
Horizon peristiwa dari lubang hitam Kerr-Newman adalah
2 2
2
a Q
m m
r −
− ±
=
±
2.36
Untuk
2 2
2
Q m
a +
. Lubang hitam Kerr-Newman ekstrim diperoleh bila
2 2
2
Q m
a +
= .
Gambar 2.5: Sebuah sketsa kasar dari lubang hitam Kerr yang dikelilingi oleh sebuah ergosphere. Ergosphere adalah wilayah di dalam yang tidak stasioner.
Momentum sudut lubang hitam Kerr dilambangkan oleh J. Schutz, B,F., 2001
Universitas Sumatera Utara
2.4 Orbit-orbit dalam ruang-waktu Schwarzschild
