Pengaruh Temperatur Dan Sifat Supersimetri Lubang Hitam Sferis

(1)

PENGARUH TEMPERATUR DAN SIFAT SUPERSIMETRI LUBANG HITAM SFERIS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RAHMADANI 060801045

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

(2)

PERSETUJUAN

Judul : PENGARUH TEMPERATUR DAN SIFAT

SUPERSIMETRI LUBANG HITAM SFERIS Kategori : SKRIPSI

Nama : RAHMADANI

Nomor Induk Mahasiswa : 060801045

Program Studi : SARJANA (S1) FISIKA Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Maret 2011

Komisi Pembimbing

Pembimbing II, Pembimbing I,

Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si Drs. Mimpin Sitepu, M.Sc NIP. 197211152000121001 NIP. 194603251973021001

Diketahui/Disetujui oleh:

Departemen Fisika FMIPA USU

Ketua

Dr. Marhaposan Situmorang NIP. 195510301980031003

(3)

PERNYATAAN

PENGARUH TEMPERATUR DAN SIFAT SUPERSIMETRI LUBANG HITAM SFERIS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dari ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Maret 2011

RAHMADANI 060801045

(4)

PENGHARGAAN

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala rahmat dan karuniaNya yang telah memberikan hikmat dan kesehatan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

Skripsi berjudul “Pengaruh Temperatur Dan Sifat Supersimetri Lubang Hitam Sferis”, disusun untuk menyelesaikan Program Sarjana S-1 pada Departemen Fisika Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini penulis banyak mengucapkan terimakasih kepada Bapak Drs. Mimpin Sitepu, M.Sc dan Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi yang telah banyak memberikan bimbingan. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sutarman selaku Dekan FMIPA USU, ketua dan sekretaris Departemen Fisika FMIPA USU Bapak Dr. Marhaposan Situmorang dan Ibu Dra. Justinon, MS, serta Dosen, staff dan karyawan Departemen Fisika FMIPA USU .

Teristimewa juga saya ucapkan terimakasih yang begitu besar kepada kedua orang tua saya yang sangat saya cintai, Bapak Saidina Abbas dan Ibu S.M. Br Hutagaol untuk semua dukungan yang telah diberikan dalam penyelesaian tugas akhir saya ini baik dalam dukungan, moril dan dana. Tidak lupa juga saya berterimakasih kepada adik saya Fitri, Am.Pd dan kepada seluruh keluarga saya yang sudah banyak membantu saya ucapakan terimakasih.

Ucapan terima kasih juga saya sampaikan kepada seluruh rekan-rekan stambuk 2006 Fisika FMIPA USU terutama kepada Novianti, Anderson, Chandra, Hakim, Erikson, Deri, Indra, Handri, Roslina, Doddi, Fahri, Riri, Trisnopensia, Derlina yang telah banyak memberikan semangat dan motivasi serta membantu selama saya di Fisika. Dan Kepada adik-adik junior stambuk 2009 yang tidak bisa saya sebutkan namanya saya ucapkan terimakasih karena selama ini sering memberikan dukungan.

Akhir kata, Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini masih banyak kesalahan dan kekurangan disebabkan keterbatasan pengetahuan yang penulis miliki. Namun demikian, penulis telah berusaha semaksimal mungkin dengan harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi siapa saja yang membacanya. Dan penulis juga sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi penyempurnaan skripsi ini sehingga jadi lebih bermanfaat bagi semua pembaca.

(5)

PENGARUH TEMPERATUR DAN SIFAT SUPERSIMETRI LUBANG HITAM SFERIS

ABSTRAK

Dalam penyelesaian tugas akhir ini dibahas solusi Reissner-Nordstrom yang merupakan solusi lubang hitam sferis yang dihasilkan dari perluasan metrik Schwarzschild. Metrik Schwarzschild ini dihasilkan dari persamaan Medan Einstein yang dimiliki lubang hitam sesuai dengan relativitas dan sifat termodinamikanya. Berdasarkan sifat termodinamikanya lubang hitam diklasifikasikan menjadi lubang hitam dingin, lubang hitam hangat dan lubang hitam supersimetri. Pada lubang hitam supersimetri dimasukkan unsur supersimetri dalam konteks N=2 dan Supergravitasi dalam empat dimensi.

(6)

EFFECT OF TEMPERATURE AND THE PROPERTIES OF BLACK HOLES SPHERICAL SUPERSYMMETRY

ABSTRACT

In this final settlement discussed Reissner-Nordstrom solution which is a spherical black hole solutions resulting from the expansion of the Schwarzschild metric. Schwarzschild metric is derived from Einstein's field equations that have a black hole in accordance with the relativity and the nature termodinamikanya. Based on the nature of black holes termodinamikanya black holes are classified into cold, warm black hole and black hole supersymmetry. On the black hole supersymmetry inserted element in the context of supersymmetry N = 2 and supergravity in four dimensions. .

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak iv

Abstract v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

BAB I Pendahuluan

1.1. Latar Belakang Masalah 1

1.2. Batasan Masalah 3

1.3. Rumusan Masalah 3

1.4.Tujuan Penelitian 3

1.5. Manfaat Penelitian 3

1.6. Sistematika Penulisan 4

BAB II Tinjauan Pustaka

2.1. Pengertian Lubang Hitam 5

2.2. Persamaan Medan Einstein 8

2.3. Solusi Schwarzschild 12

2.4. Orbit-Orbit Dalam Ruang-Waktu Schwarzschild 19 2.5. Termodinamika Lubang Hitam 20 2.6. Supersimetri dan Supergravitasi 24

2.6.1. Supersimetri 24

2.6.2. Supergravitasi 26

BAB III Metode Penelitian

3.1. Rancangan penelitian 27

(8)

BAB IV Hasil dan Pembahasan

4.1. Ruang de Sitter 29

4.2. Solusi Reissner-Nordstrom 30

4.3. Klasifikasi Lubang Hitam berdasarkan sifat termodinamika 31 4.3.1. Lubang Hitam Dingin 31 4.3.2. Lubang Hitam Hangat 33

4.4. Lubang Hitam Supersimetri 34

4.5. Analisis 35

BAB V Kesimpulan dan Saran

5.1. Kesimpulan 38

5.2. Saran 39

Daftar Pustaka Lampiran

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1. Analogi antara parameter termodinamika dan parameter lubang

Hitam 20

Tabel 2.2. Analogi antara hukum-hukum termodinamika dan hukum-hukum

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1. Kelengkungan ruang di sekitar lubang hitam 5

Gambar 2.2. Diagram ruang-waktu 7

Gambar 2.3. Lubang hitam Schwarzschild bermassa M beradius rs. 16

Gambar 2.4. Lubang hitam Schwarzschild di koordinat Kruskal-Szekeres tidak memiliki "koordinat singularitas" maka merupakan ruang- waktu nyata dimana r = 0 adalah singularitas yang garis tebal

putus-putus dalam gambar 17

Gambar 2.5. Sebuah sketsa kasar dari lubang hitam Kerr yang dikelilingi oleh sebuah Ergosphere. Ergosphere adalah wilayah di dalam yang tidak stasioner. Momentum sudut lubang hitam Kerr dilambangkan

(11)

PENGARUH TEMPERATUR DAN SIFAT SUPERSIMETRI LUBANG HITAM SFERIS

ABSTRAK

(12)

EFFECT OF TEMPERATURE AND THE PROPERTIES OF BLACK HOLES SPHERICAL SUPERSYMMETRY

ABSTRACT

(13)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Permasalahan dalam fisika teori mencakup sistem mikroskopik dan makroskopik yang saling berkaitan. Secara mikroskopik, pertanyaan dasar yang mengemuka adalah bagaimana menyatukan empat interaksi dasar alam semesta yakni interaksi kuat, interaksi lemah, elektromagnet dan gravitasi kedalam satu rumusan tunggal ”theory of everything”. Fisika partikel berkembang sebagai usaha untuk menjawab pertanyaan dasar tersebut. Secara makroskopik, permasalahan utama yang ingin dipecahkan adalah memahami evolusi alam semesta. Untuk itulah fisikawan membangun model-model kosmologi yang menggambarkan bagaimana semesta berawal dan (mungkin) berakhir.

Teori Relativitas Umum merupakan teori fisika modern yang cukup besar peranannya dalam menerangkan struktur ruang-waktu dan jagad raya. Teori ini adalah teori yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang cukup menarik, namun memiliki persyaratan matematik berupa analisis tensor. ( Anugraha Rianto, 2005 )

Instrumen penting untuk mempelajari alam semesta adalah teori Relativitas Umum Einstein. Pemecahan persamaan medan Einstein menghasilkan solusi yang memperkaya khazanah kosmologi yaitu solusi lubang hitam yang ditemukan Schwarzschild. Solusi Schwarzschild kemudian diperluas dan menghasilkan solusi Reissner-Nordstrom (RN).

Teori adanya lubang hitam pertama kali diajukan pada abad ke-18 oleh

(14)

umum dar dialam semesta ini mengelilingi lubang hitam pada pusat galaksi.

Pada tahun Hitam" sehingga menjadi populer di dunia bahkan juga menjadi topik favorit para penulis fiksi ilmiah. Kita tidak dapat melihat lubang hitam akan tetapi kita bisa mendeteksi materi yang tertarik / tersedot ke arahnya. Dengan cara inilah, para astronom mempelajari dan mengidentifikasikan banyak lubang hitam di angkasa lewat observasi yang sangat hati-hati sehingga diperkirakan di angkasa dihiasi oleh jutaan lubang hitam.

Lubang hitam merupakan bagian dari alam semesta yang menempati ruang tertentu dan memiliki pemusatan massa yang sangat besar sehingga dapat mengakibatkan nilai percepatan gravitasi yang dihasilkan akan sangat besar pula. Besarnya nilai percepatan gravitasi yang dihasilkan ini dapat menarik radiasi elektromagnetik, menyebabkan cahaya terbengkokkan, bahkan membuat setiap sesuatu yang memasukinya tidak dapat keluar lagi. Hal tersebut dapat terjadi karena sifat pemusatan massa yang memicu percepatan pada titik kecepatan yang mendekati atau sama dengan kecepatan cahaya, yaitu 3×108 m/s. Sifat pemusatan massa tersebut dapat terbentuk karena obyek pembentuk lubang hitam tidak dapat bertahan dari kekuatan tekanan gaya gravitasinya sendiri.

Lubang hitam dibatasi oleh horizon peristiwa yang secara klasik ditafsirkan sebagai wilayah dimana tak ada apapun yang mampu keluar dari batas horizon peristiwa. Namun dengan memasukan unsur fisika kuantum, Hawking mengemukakan bahwa lubang hitam sesungguhnya mengeluarkan radiasi termal dari horizon peristiwa. Horizon peristiwa tidak hanya terdapat pada lubang hitam melainkan juga pada ruang de Sitter. Horizon peristiwa pada ruang–waktu ini disebut dengan horizon peristiwa kosmologi untuk membedakannya dengan horizon peristiwa lubang hitam. Horizon peristiwa kosmologi memiliki sifat–sifat termodinamika yang sama dengan horizon peristiwa pada lubang hitam.

(15)

1.2Batasan Masalah

Batasan masalah yang penulis ajukan dalam tugas akhir ini adalah :

1. Bagaimana karakteristik termodinamika pada horizon peristiwa Lubang Hitam yang muncul dari solusi Reissner-Nordstrom.

2. Dapatkah dilakukan klasifikasi Lubang Hitam sferis berdasarkan temperaturnya.

3. Bagaimana jika aspek supersimetri dimasukan dalam solusi Reissner-Nordstrom.

1.3Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang muncul dari penulisan tugas akhir ini adalah: 1. Lubang hitam memancarkan termal.

2. Lubang hitam memiliki sifat supersimetri.

1.4Tujuan Penelitian

Mempelajari sifat termodinamika serta supersimetri Lubang Hitam yang dihasilkan dari solusi Reissner-Nordstrom.

1.5Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian dari tugas akhir ini adalah: 1. Mengetahui karakteristik termal lubang hitam. 2. Mengetahui sifat simetri lubang hitam.

(16)

1.6Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut:

1. BAB I Pendahuluan

Bab ini mencakup latar belakang masalah, permasalahan, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan tugas akhir.

2. BAB II Tinjauan pustaka

Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian.

3. BAB III Metodologi Penelitian

Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan diagram alir penelitian.

4. BAB IV Hasil dan pembahasan

Bab ini membahas tentang hasil penelitian dan menganalisis data yang diperoleh dari penelitian.

5. BAB V Kesimpulan dan Saran

Menyimpulkan hasil-hasil yang didapat dari penelitian dan memberikan saran pada peneltian berikutnnya.

(17)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pengertian Lubang Hitam

Lubang hitam (black hole) adalah sebuah pemusatan sehingga menghasilkan gaya besar ini mencegah apa pun lolos darinya kecuali melalui perila melewatinya, dari sini diperoleh kata hitam. Istilah lubang hitam telah tersebar luas, meskipun tidak menunjuk ke sebuah lubang dalam arti biasa, tetapi merupakan sebuah wilayah di angkasa di mana semua tidak dapat kembali. Secara teoritis, lubang hitam dapat memiliki ukuran apa pun, dari mikroskopik sampai ke ukuran alam raya yang dapat diamati.

(18)

Lubang hitam merupakan fenomena alam yang paling eksotis ditemui dalam fisika saat ini. Sifat ruang-waktu dalam sebuah lubang hitam cukup membuat ilmu lubang hitam tampak lebih seperti fiksi ilmiah. Bahkan lebih mengejutkan adalah koneksi fisika lubang hitam dengan termodinamika. Secara klasik lubang hitam menjadi bintang mati sempurna, yaitu harus memiliki nol mutlak sebagai temperatur fisik. Tapi itu tidak begitu sejak Hawking telah menemukan penemuan yang mengejutkan bahwa lubang hitam memancarkan termal sedangkan Bekenstein menyarankan bahwa ada entropi terkait dengan lubang hitam, yaitu entropi lubang hitam. Namun, lubang hitam memiliki entropi yang pertama muncul dari kesadaran bahwa dalam horizon peristiwa luas permukaan cenderung luar biasa untuk meningkat ketika mengalami transformasi apapun diperhatikan oleh Floyd dan Penrose dan kemudian didukung oleh Christodoulou. Hawking adalah orang pertama yang memberikan bukti umum bahwa luas permukaan dari lubang hitam tidak dapat menurun dalam setiap proses dan selain itu ia menunjukkan bahwa ketika dua lubang hitam menyatu, area lubang hitam yang dihasilkan tidak bisa lebih kecil daripada jumlah daerah awal. Hal ini mengingatkan kita pada hukum kedua termodinamika biasa yang menyatakan bahwa perubahan dari suatu sistem termodinamika tertutup berlangsung di arah peningkatan entropi. Secara historis, fisikawan tidak yakin tentang validitas termodinamika lubang hitam sebelum radiasi Hawking ditemukan.

Lubang hitam dengan segala karakteristiknya seperti yang telah dijelaskan di atas merupakan hal yang tidak biasa ditemui dalam kerangka makroskopik kehidupan manusia sehari-hari, sehingga pada awal mulanya teori yang berdasarkan observasi ini tidak begitu menarik untuk dibahas. Akan tetapi, hal tersebut berubah setelah berkembangnya ilmu fisika modern, khususnya perkembangan teori relativitas yang membahas mengenai ruang dan waktu.

Kebanyakan orang berpikir tentang lubang hitam sebagai sebuah wilayah dimana semua yang ada disekitarnya akan masuk ke dalam dan tidak akan kembali lagi.Tapi hal tersebut tidak sepenuhnya benar. Sebuah lubang hitam adalah tempat di mana terdapat gravitasi yang sangat kuat sehingga kecepatannya lebih cepat daripada kecepatan cahaya.

(19)

Pada tidak dapat mempengaruhi pengamat yang berada di luar. Cahaya yang dipancarkan dari dalam horizon peristiwa tidak akan pernah bisa mencapai pengamat , dan apapun yang melewati horizon peristiwa dari sisi pengamat nampak diam ditempat, dengan citranya menjadi lebih bergeser ke arah merah seiring berjalannya waktu. (Wospakrik, H. J., 1987)

Lubang hitam dipahami sebagai suatu kawasan yang tidak memiliki kemungkinan untuk berkomunikasi dengan kawasan di luarnya. Batas kawasan ini dikenal sebagai horizon peristiwa. Lubang hitam adalah perwujudan dari singularitas.

Gambar 2.2. Diagram ruang-waktu

Diagram ruang-waktu yang menunjukkan suatu partikel yang dipercepat, P, dan suatu peristiwa E yang ada di luar horizon peristiwa partikel tersebut. partikel itu.

(20)

Jika suatu partikel bergerak dengan kecepatan tetap dalam alam semesta tak mengembang yang bebas dari medan gravitasi, peristiwa apapun yang terjadi dalam alam semesta itu akhirnya akan teramati oleh partikel tersebut, karen muka dari peristiwa-peristiwa ini berpotongan denga pihak lain, jika partikel tersebut dipercepat, pada beberapa situasi kerucut cahaya dari beberapa peristiwa tidak pernah memotong garis dunia partikel itu. Dalam keadaan ini, horizon peristiwa ada pada kerangka acuan (yang dipercepat) dari partikel tersebut, mewakili perbatasan yang diluarnya peristiwa-peristiwa tidak dapat diamati.

Contohnya, ini terjadi dengan partikel dipercepat secara seragam. Diagram ruang-waktu situasi ini ditunjukkan pada gambar 2.2. Saat partikel itu mengalami percepatan, ia mendekati, namun tidak pernah mencapai, kecepatan cahaya mengacu pada kerangka acuan asalnya. Pada diagram ruang-waktu, jalurnya adalah yang mendekati secar peristiwa yang tepian kerucut cahayanya merupakan asimtot ini atau lebih jauh dari asimtot ini tidak akan pernah teramati oleh partikel yang dipercepat itu. Pada kerangka acuan partikel itu, nampaknya merupakan perbatasan di baliknya dari mana tak satu sinyalpun yang dapat lolos (sebuah horizon peristiwa). (Russel, B., 1960)

2.2 Persamaan Medan Einstein

Untuk setiap sistem fisis, setiap hukum yang menghubungkan besaran fisis tidak akan bergantung kepada pemilihan sistem koordinat. Hal ini berarti, persamaan gerak sistem akan memiliki bentuk yang tetap di dalam semua sistem koordinat. Persamaan yang tidak berubah bentuknya terhadap transformasi koordinat dikatakan memiliki sifat invarian terhadap transformasi tersebut. Sifat inilah yang menyebabkan tensor banyak digunakan untuk menelaah suatu sistem fisis.

Lubang hitam pada awalnya hanya spekulasi sebagai hasil perhitungan oleh Laplace di tahun 1795 ketika membahas secara klasik dengan kecepatan lebih besar dari kecepatan cahaya, tetapi gagasannya tidak menarik banyak perhatian. Kemudian

(21)

di tahun 1916 Karl Schwarzschild mampu menyelesaikan persamaan medan Einstein dalam vakum untuk bermuatan sistem koordinat bola dan solusinya dikenal sebagai solusi Schwarzschild, yang menunjukkan jenis lubang hitam paling sederhana yaitu lubang hitam Schwarzschild yang hanya ditentukan oleh sebuah parameter tunggal, yaitu massa M. Lubang hitam sebagian besar didasarkan pada teori umum relativitas Einstein, yang merupakan teori gravitasi. Relativitas adalah teori geometri karena studi matematika dari ruang-waktu, baik melengkung atau datar, adalah geometri.

Tensor adalah besaran yang merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya vektor merupakan perluasan dari besaran skalar. Tensor memiliki komponen-komponen seperti halnya vektor. Besaran vektor sangat penting di dalam fisika karena dapat menyatakan objek dengan kaedah-kaedah yang tetap sama meskipun kerangka acuan yang dipilih berubah-ubah. Perubahan kerangka acuan memang menyebabkan nilai komponen tensor berubah pula, namun kaedah-kaedah yang berlaku bagi komponen tensor tetap tidak berubah.

Teori relativitas umum yang dicetuskan Albert Einstein berbicara tentang interaksi gravitasi. Relativitas umum yang dibangun berdasarkan persamaan medan Einstein mengambil sudut pandang yang berbeda dengan gravitasi Newton. Menurut teori relativitas umum, gravitasi bukanlah efek dari tarikan benda bermassa seperti anggapan Newton melainkan efek dari kelengkungan ruang waktu berdimensi 4. Kelengkungan ini ditentukan oleh distribusi materi dan energi. Relativitas umum dinyatakan dalam bentuk tensor. Setiap jenis ruang-waktu diberikan dengan waktu yang tepat dan interval ruang yang dijelaskan oleh elemen baris atau metrik yang merupakan interval invarian. (Bergmann, P. B, 1960)

Ditinjau dua buah titik x dan µ xµ +dxµ di dalam ruang sembarang berdimensi N. Kuadrat jarak antara kedua titik tersebut dinyatakan oleh

ν µ µνdx dx

ds2 = (2.1)

(22)

NN N

g g

  



1 11

det =

= µν (2.2)

ds disebut kuadrat elemen jarak dan g_µν adalah tensor metrik kovarian. Persamaan (2.1) dapat diubah bentuknya menjadi:

(

) (

)

[

]

µ ν

νµ µν νµ

µν g g g dx dx

ds = + + −

2 1

(2.3)

dengan mengambil

(

g_µν −g_νµ

)

dxµdxν =0 (2.4)

maka

νµ µν g

g = (2.5)

sehingga g_µν efektif merupakan suatu tensor simetri.

Vektor dalam ruang waktu memiliki panjang (kuadrat) A2 = g_µνAµAν. Berdasarkan nilai dari panjang vektor (kuadrat) ini, vektor dibagi tiga jenis:

1. Vektor timelike untuk A2 >0. 2. Vektor spacelike A2 <0. 3. Vektor null atau lightlike A2 =0

Turunan dari vektor kontravarian dan vektor kovarian dinyatakan dengan: α

µ αν µ ν µ

νA =∂ A +Γ A

∇ (2.6)

α α µν µ ν µ

νA =∂ A −Γ A

∇ (2.7)

Dengan Γ_µνα merupakan simbol christoffel yang berhubungan dengan transformasi basis dari satu koordinat ke koordinat lainnya.

(23)

Simbol christoffel dinyatakan dengan:

{

}

( )

2 1 ,

α µν µ

νβ ν

µβ αβ α

µν µν α _x

g x

g g

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =

Γ (2.8)

Kelengkungan ruang waktu 4 dimensi dicirikan oleh tensor Riemann-Christoffel. Hubungan antara tensor Riemann dengan simbol Christoffel adalah:

β µα η βν β µν η βα η µα ν η µν α η

µαν =∂ Γ −∂ Γ +Γ Γ −Γ Γ

R (2.9)

Ruang minkowski merupakan ruang datar yang memiliki tensor Riemann-Christoffel. Dari tensor Riemann-Christoffel kemudian dapat didefenisikan tensor Ricci dengan kontraksi dua indeks dari tensor Riemann-Christoffel

ν µαν µα R

R = (2.10)

Dari tensor Ricci kemudian didefenisikan Ricci skalar:

µα µα_R

R= (2.11)

Tensor Ricci dan Ricci skalar dapat digunakan untuk mendefenisikan tensor Einstein:

R g R

G_µν _µν _µν

2 1

−

= (2.12)

Jika tetapan kosmologi Λingin diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi µν

µν µν

µν R g R g

G = − −Λ

2 1

(2.13)

Adapun rapat massa yang menimbulkan potensial medan gravitasi diperluas menjadi tensor energi-momentum T_µν dengan rapat massa energi termasuk salah satu komponen didalamnya dan dapat dilakukan perluasan bahwa kelengkungan ruang-waktu sebanding pula dengan tensor energi-momentum yang dirumuskan sebagai

µν µν

µν g R kT

R − =−

2 1

(24)

dengan 8 ₄

c G

k = π sehingga persamaan gravitasi Einstein menjadi: µν

µν

µν π T

c G R

R 8 ₄

2 1

− =

− (2.15)

Persamaan medan Einstein menghubungkan kelengkungan ruang waktu dan distribusi massa-energi. Persamaan ini berbentuk:

µν µν

µν

µν π T

c G g

R g

R 8 ₄

2 1

− = Λ −

− (2.16)

dengan : R,Λ,G= merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak memiliki indeks

= µν µν µν g T

R , , tensor kovarian rank 2

Λ adalah konstanta kosmologi. Konstanta kosmologi dapat bernilai positif dan negatif yang mendekati nol. Jika konstanta kosmologi bernilai negatif mendekati nol maka gravitasi akan bersifat menarik secara kuat dan seluruh alam semesta luasnya bisa menjadi beberapa kaki, sedngkan jika konstanta kosmologi bernilai positif mendekati nol maka gravitasi akan bersifat menolak dan segala sesuatu akan beterbangan menjauh dari kita begitu cepatnya sehingga cahayanya tidak pernah akan mencapai kita. Nilai konstanta kosmologi sangat berkaitan dengan model kosmologi alam semesta.

2.3 Solusi Schwarzschild

Titik dalam ruang waktu 4 dimensi (sering disebut sebagai peristiwa) dicirikan oleh koordinat yang terdiri dari 1 koordinat waktu dan 3 koordinat ruang. Sebagai contoh ruang Minskowski dicirikan oleh koordinat xa =(x0,x1,x2,x3)=(t,r,θ,φ). Metrik ruang-waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh

(

2 2 2

)

2 2 2 2 2

sin θ φ

θ d

d r dr dt c

(25)

Mengikuti penulisan Weinberg (1972), nilai c sama dengan 1 sehingga metrik diatas menjadi

(

2 2 2

)

2 2 2 2

sin θ φ

θ d

d r dr dt

ds =− + + + (2.18)

Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini komponen g dan ₁₁ g hanya merupakan 22

fungsi radial r. Bentuk metriknya menjadi

( )

2 2

(

2 2 2

)

sin θ φ

θ d

d r dr r A dt r B

ds =− + + + (2.19)

dimana metrik di atas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi diabaikan. Dari metrik di atas, komponen tensor metrik kovarian menjadi:

( )

r B

g₁₁ =− , g₂₂ = A

( )

r , g₃₃ =r2, g₄₄ =r2sin2θ (2.20)

Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk r→∞, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali ke bentuk metrik Minkowski dalam koordinat bola. Dengan syarat batas ini hubungan antara A

( )

r dan B

( )

r dapat dituliskan secara lebih eksplisit dalam bentuk

( ) ( )

r B r

A = 1 (2.21)

Untuk jarak yang cukup jauh dari pusat massa m yang terletak di pusat koordinat O, komponen g₁₁=−B harus bernilai mendekati −

(

1+2U

)

dengan U adalah potensial Newtonian benda bermassa M pada jarak r yang bernilai

r M G

U =− . Jadi nilai tetapan integrasi di atas adalah −2GM , sehingga

( )



  

  − =

r M G r

B 1 2 (2.22)

dan

( )

2 1

−

   

  − =

r M G r

(26)

Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang-waktu 4 dimensi berkoordinat bola adalah:

(

2 2 2

)

2 2 1 2 2 sin 2 1 2

1 dr r dθ θdφ

r M G dt r M G

ds  + +

     − +       − −

= − (2.24)

Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K. Schwarzschild pada tahun 1916. Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Schwarzschild. Bentuk metrik tersebut masih mengisi nilai c=1. Apabila nilai c diisikan, bentuk metrik Schwarzschild menjadi:

(

2 2 2

)

2 2 1 2 2 2 2 2 sin 2 1 2

1 dr r dθ θdφ

r c M G dt c r c M G

ds  + +

     − +       − −

= − (2.25)

Dengan ₂

c M G

m= maka metrik di atas menjadi:

(

2 2 2

)

2 2 1 2 2 2 sin 2 1 2

1 dr r dθ θdφ

r m dt c r m

ds  + +

     − +       − −

= − (2.26)

Dari persamaan (2.27) tampak bahwa metrik tersebut tidak valid untuk

2 2 2 c M G m

r = = (2.27)

dengan: ds Jarak terdekat antara peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski. =

r Radius Schwarzschild

G Tetapan gravitasi

(

11 2 2

)

10 673 .

6 x − Newton m s

c Kecepatan cahaya 3x108m s

M Massa Benda

Jari-jari Schwarzschild tersebut membentuk horizon peristiwa yang memisahkan dua daerah:

I. 2m<r <∞

(27)

Wilayah I disebut wilayah lubang hitam sedangkan titik r =0 disebut titik singularitas intrinsik.

Beberapa karakteristik penting dari solusi Schwarzschild adalah:

1. Partikel yang bergerak menuju titik singularitas akan merasakan tarikan gravitasi yang sangat kuat.

2. Partikel (termasuk cahaya) tidak ada yang mampu keluar dari wilayah I (batas horizon peristiwa). Partikel/cahaya yang bergerak radial keluar tidak akan pernah menembus horizon peristiwa.

3. Cahaya atau sinyal yang dipancarkan dari dekat horizon peristiwa (wilayah II) akan mengalami pergeseran ketika diterima oleh pengamat yang jauh. (Anugraha, R, 2005)

Dari persamaan (2.27) didapat geometri dari suatu vakum bola simetris, yaitu vakum ruang-waktu diluar bola lubang hitam adalah geometri Schwarzschild yang digambarkan dalam bentuk metrik Schwarzschild

2 2 2 1 2

2 2

1 2

1  + Ω

  

  − +    

  − −

= − dr r d

r m dt

r m

ds (2.28)

dengan dΩ2 =dθ2 +sin2θdφ2 . Metrik Schwarzschild merupakan sebuah medan gravitasi yang memiliki singularitas di permukaan r = 2m . Permukaan lubang hitam merupakan horizon peristiwa yang pada kenyataannya tidak bisa dilihat di luarnya. Hanya diwilayah dan di luar wilayah permukaan lubang hitam dimana r≥2m adalah observasional relevan. Metrik Schwarzschild memerlukan asimtotik datar untuk r yang besar yaitu

2 2 2 1 2

2 2

1 2

1  + Ω

  

  − +    

  − −

≈ − dr r d

r m dt

r m

ds (2.29)

dan selain itu Persamaan (2.29) dapat menunjukkan bahwa gravitasi Newton hanya membatasi kasus relativitas umum.

(28)

Penggambaran radius Schwarzschild dalam lubang hitam dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Gambar 2.3. Lubang hitam Schwarzschild bermassa M beradius rs.

Sejauh ini, lubang hitam Schwarzschild hanya bergantung pada massa. Lubang hitam yang sederhana ini astronomis yaitu jatuhnya sebuah bintang berputar tidak bermuatan dengan simetri bola . Keruntuhan gravitasi dari bintang tidak bulat dengan muatan total tidak nol menghasilkan lubang hitam yang agak berbeda yang dapat ditandai oleh m massa, momentum sudut intrinsik atau spin J dan muatan listrik Q. Hal ini ditemukan bahwa struktur dari sebuah lubang hitam ditentukan secara unik dengan hanya tiga parameter, yaitu m, J dan Q setelah berada dalam keadaan akhir. Lubang hitam dalam keadaan akhir hanya dengan m dan Q, memiliki medan gravitasi yang diberikan oleh metrik Reissner-Nordstrom dengan bentuk:

2 2 2 1 2

2 2

1 2

1 + Ω

  

 ₋ ₊

+   

 ₋ ₊

− =

−

d r dr r

Q r

m dt

r Q r

ds (2.30)

dimana masing-masing m dan Q adalah massa total dan muatan yang diukur oleh pengamat. Untuk muatan lubang hitam berputar, (yaitu lubang hitam yang hanya ditandai oleh m dan J) geometri yang diberikan oleh metrik Kerr (biasanya diwakili

(29)

dalam koordinat Boyer-Lindquist) menggunakan

m J

a= . Pentingnya nilai ekstrim suatu kasus dengan menganggap bahwa

⇒ =0

m a

Tidak ada spin, maka dikurangi dengan kasus Schwarzchild.

⇒ =1

m a

Lubang hitam Kerr ekstrim tercapai.

Gambar 2.4: Lubang hitam Schwarzschild di koordinat Kruskal-Szekeres tidak memiliki "koordinat singularitas" maka merupakan ruang-waktu nyata dimana r = 0 adalah singularitas yang garis tebal putus-

putus dalam gambar.

Metrik Kerr mengambil bentuk:

ρ θ

ρ θ dtd

r m a dt a

ds ₂

2 2

2 2 2

2 2 sin

2 sin

− −

∆ − =

(2.31)

(

)

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

sin sin

θ ρ ρ

ϕ θ

ρ θ d dr d

a a r

+ ∆ + ∆

− + +

Dimana

2 2

2mr a

r − +

∆ _(2.32)

ρ2 2 2 2

cos

a r +

= _(2.33)

Inilah horizon peristiwa (diasumsi bahwa a2 <m2)

2 2

a m m

(30)

Solusi metrik Kerr atau solusi Kerr bersifat stasioner dan simetrik aksial, dan telah mempunyai permukaan ganda, yaitu permukaan luar dan dalam. Di antara horizon peristiwa dan batasan statis terletak Ergosphere yang di dalam tidak stasioner.

Untuk muatan lubang hitam berputar (disebut Kerr-Newman lubang hitam), geometri diperoleh dari metrik Kerr-Newman dalam bentuk yang sama dengan Persamaan. (2.32) tetapi dengan

2 2 2

2mr a Q

r − + +

∆ _(2.35)

Horizon peristiwa dari lubang hitam Kerr-Newman adalah

2 2 2

a Q m m

r_± = ± − −

(2.36)

Untuk a2 <m2 +Q2. Lubang hitam Kerr-Newman ekstrim diperoleh bila

2 2 2

Q m

a = + .

Gambar 2.5: Sebuah sketsa kasar dari lubang hitam Kerr yang dikelilingi oleh sebuah ergosphere. Ergosphere adalah wilayah di dalam yang tidak stasioner.

Momentum sudut lubang hitam Kerr dilambangkan oleh J. (Schutz, B,F., 2001)

(31)

2.4 Orbit-orbit dalam ruang-waktu Schwarzschild

Untuk menemukan pergerakan orbit-orbit dan cahaya pada ruang-waktu Schwarzschild maka dicari persamaan geodesiknya. Hal pertama yang dilakukan dengan memulai dari persamaan Lagrangian.

2 1 1      − = τ τ ν µ µν d dx d dx g c L (2.37)

dengan menganggap bahwa orbit-orbit tersebut tetap dalam bidang ekuatorial yaitu

θ = , maka Lagrangian menjadi

2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1                       +             − −             − = − τ φ τ τ d d r d dr r c M G c d dt r c M G

L (2.38)

Dengan mengingat L=ε dengan ε =1 untuk orbit timelike (waktu) danε =0 untuk orbit nol (null orbit), sehingga

                      +             − −             − = − 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 τ φ τ τ ε d d r d dr r c M G c d dt r c M G (2.39) dari persamaan 2 1 2 , 2 1 r h d d k r c M G d dt =       −

= − _τφ

τ (2.40)

substitusi persamaan (2.42) kedalam persamaan (2.41)

(

2 2

)

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

1 _φ ε _ε

− = −             − + • • k c r M G r c M G r

r (2.41)

persamaan (2.41) adalah persamaan energi Newtonian dengan modifikasi untuk φ•

• •

(32)

(

2 2

)

2 2 2

2 2

1 ε ε

φ − = −

 

  − +

  

 _k

h c U h

M G U

c M G U

d dU

(2.42)

dengan mendifferensialkan persamaan (2.42), maka didapat

2 2 2

2 2

3 2

U c

M G h

M G U d

U d

+ =

+ ε

φ (2.43)

untuk orbit timelike (waktu)

[ ]

ε =1 merupakan persamaan Newton

2 2 2

h M G U d

d ε

φ + = (2.44)

yang terpisah dari persamaan (2.43). Dimana persamaan (2.44) menjelaskan orbit dari sebuah bintang. (Wald, R. M, 1998)

2.5 Termodinamika Lubang Hitam

Lubang hitam memiliki sifat-sifat termodinamika yang dapat dicirikan dengan pendekatan klasik maupun kuantum. Sifat-sifat termodinamika lubang hitam ditentukan oleh karakteristik horizon peristiwa. Secara klasik diketahui bahwa besaran-besaran tertentu pada lubang hitam memiliki analogi yang sangat erat dengan hukum-hukum dasar termodinamika sesuai dengan tabel di bawah ini

Sistem termodinamika Lubang hitam

Temperatur, T Energi, E Entropi, S

Gravitasi permukaan, k Massa lubang hitam, M Daerah horizon peristiwa, A

(33)

Mengacu pada hukum nol termodinamika berbunyi : ” temperatur T konstan pada benda yang berada pada keseimbangan termal ”. Analoginya adalah hukum nol horizon peristiwa pada lubang hitam yang berbunyi : ” k bernilai konstan pada horizon peristiwa Lubang Hitam stasioner “.k merupakan gravitasi permukaan yang nilainya merupakan besar percepatan yang dialami sebuah benda pada horizon peristiwa yang diukur dari daerah asimtotik.

Hukum pertama termodinamika berbentuk: +

=TdS

dE (Suku Kerja) (2.45)

sedangkan hukum pertama pada lubang hitam berbentuk:

dQ dJ

kdA

dM = +Ω_H +Φ

8 1

(2.46)

dengan :

M = massa lubang hitam

A = luas area horizon peristiwa =

4 r

π

r

adalah jari-jari Schwarzschild H

Ω = kecepatan sudut lubang hitam

J = momentum sudut lubang hitam

Φ = potensial elektrostatik

Q = Muatan Listrik

Hukum ke dua termodinamika berbunyi : “ Dalam setiap proses total entropi selalu meningkat “.

≥

δ

(2.47)

sedangkan hukum ke dua pada horizon peristiwa berbunyi : “ Dalam setiap proses luas area horizon peristiwa selalu meningkat “.

≥

(34)

Hukum Sistem Termodinamika Lubang hitam Hukum ke nol

Hukum pertama

Hukum ke dua Hukum ke tiga

T konstan dalam keseimbangan

termal

pdV Tds

dE = −

≥

δ

T=0 tidak bisa tercapai

k konstan selama berada dalam

horizon peristiwa lubang hitam

dQ dJ

kdA

dM = +Ω_H +Φ

8 1

≥

δ

k=0 tidak bisa tercapai

Tabel 2.2: Analogi antara hukum-hukum termodinamika dan hukum-hukum mekanika lubang hitam.

Dengan memasukkan prinsip-prinsip mekanika kuantum, Hawking menemukan bahwa kemiripan sifat-sifat Lubang Hitam dengan hukum termodinamika bukan sekedar analogi. Lubang Hitam memang memiliki sifat-sifat termodinamika seperti benda lainnya. (Wald, R.M, 2001)

Secara ringkas sifat-sifat termodinamika pada Lubang Hitam yang didapat dari prinsip mekanika kuantum dapat dijabarkan sebagai berikut :

1. Berdasarkan teorema “no hair”, Lubang Hitam yang terbentuk dari keruntuhan gravitasi akan mencapai keadaan kuasistasioner dengan cepat yang dicirikan oleh ketiga parameter : M (massa), J (momentum sudut), Q (muatan listrik). 2. Fisika klasik tidak membatasi kemungkinan-kemungkinan nilai dan kombinasi

dari ketiga besaran tersebut. Oleh karena itu terdapat tak hingga banyaknya keadaan yang mungkin dari Lubang Hitam.

3. Keadaan partikel pada mekanika kuantum digambarkan dengan fungsi gelombang. Fungsi gelombang Lubang Hitam yang memiliki batas horizon peristiwa yang merupakan gelombang berdiri (seperti fungsi gelombang pada potensial sumur tak hingga).

4. Fungsi keadaan gelombang berdiri yang dibatasi horizon peristiwa jumlahnya berhingga sehingga keadaan Lubang Hitam dapat dicirikan dengan kombinasi berbagai fungsi gelombang berdiri.

(35)

5. Hal tersebut berkaitan dengan entropi yang secara klasik dinyatakan dengan:

T dQ

dS = (2.49)

sedangkan temperatur pada Lubang Hitam adalah

T = (2.50)

Termodinamika menyatakan bahwa benda yang memiliki temperatur diatas nol absolute akan memancarkan radiasi termal yang intensitasnya berbanding lurus dengan temperatur pangkat 4 :

I =σ (2.51)

Sehingga Lubang Hitam yang memiliki temperatur tidak nol tentu juga memancarkan radiasi termal keluar dari horizon peristiwa meski hal ini bertentangan dengan perhitungan fisika klasik. Lubang Hitam memancarkan radiasi termal melalui mekanisme produksi pasangan maya (virtual pair production).

Produksi pasangan maya berdasarkan asas ketidakpastian Heissenberg antara ketidakpastian energi dan ketidakpastian waktu :



≥ ∆

∆E t (2.52)

Dalam selang waktu ∆t yang sangat kecil, asas kekekalan energi terlanggar dengan munculnya energi sebesar ∆E secara tiba-tiba. Sebagai contoh, salah satu elektron pada jumlah tak hingga, lautan elektron Dirac berenergi negatif secara spontan melompat ke keadaan energi positif meninggalkan lubang yang ditafsirkan sebagai positron kemudian dengan cepat kembali ke lautan elektron Dirac berenergi negatif (positron kembali menghilang). Pasangan elektron-positron ini muncul selama kurang lebih 10-35 sekon. Pasangan partikel-anti partikel lain pun dapat terbentuk seperti halnya pasangan elektron-positron.

(36)

Di dalam Lubang Hitam terdapat partikel berenergi negatif terhadap pengamat luar. Ketika terjadi produksi pasangan maya di dekat horizon peristiwa, partikel yang memiliki energi positif akan terpancar keluar sedangkan yang berenergi negatif akan jatuh ke Lubang Hitam. Peristiwa pemancaran partikel dari Lubang Hitam ini sering disebut radiasi Hawking. Termodinamika Lubang Hitam pertama kali ditemukan oleh Hawking. (Greiner, W, 1995)

2.6 Supersimetri dan Supergravitasi 2.6.1 Supersimetri

Pada intinya supersimetri adalah simetri antara fermion dan boson. Pembahasan supersimetri dalam tugas akhir ini dibatasi pada supersimetri dimensi empat

(

D=4

)

. Kehadiran supersimetri menimbulkan konsekuensi akan adanya partikel Superpartner untuk setiap partikel yang kita kenal sekarang, sebagai contoh, electron (fermion) memiliki partner partikel seelektron (boson) dan foton (boson) memiliki partner partikel fotino (fermion). Supersimetri digerakkan oleh generator grup Supercharge Q :

boson fermion

Q = (2.53)

fermion boson

Q = (2.54)

Q merupakan spinor mayor. Supersimetri merupakan simetri yang lebih luas

dari simetri Poincare. Dengan kata lain aljabar supersimetri adalah perluasan dari aljabar grup Poincare. Generator dari grup Poincare terdiri dari generator momentum

P , generator rotasi J_µ dan generator Lorentz boosts K_µ. Dengan mendefenisikan

(

µ ν ν µ

)

µν ≡i x ∂ −x ∂

L maka generator grup Poincare dapat dituliskan :

jk ijk

i L

J ε

2 1

= (2.55)

i L

(37)

Jika kita sebut generator-generator dalam grup Poincare sebagai generator genap dan generator supersimetri sebagai generator ganjil maka aljabar supersimetri terlihat memiliki struktur perluasan aljabar Z : ₂

[

genap,genap

]

= genap

{

ganjil,ganjil

}

= genap (2.57)

[

genap,ganjil

]

=ganjil

Generator supersimetri bersama-sama dengan generator grup Poincare membentuk aljabar supersimetri sebagai berikut :



J



(

J

_µρ

)

νσ νρ µσ νσ µρ µσ νρ ρσ

µν, =

η

−

η

−

η

[

P

J

]

(

P

_ρ

)

µσ σ µρ ρσ

µ, =

η

−

η

[

_P

_µ,

_P

_ν

]

{

} { }

α β

Q

Q Q

Q

, =0= ,

{

Q_α,Q_β

}

σ

_αβµ

P

_µ (2.58)

{

Qα,Q_β

}

=2σµβα

P

_µ

[

Q

_P

_µ

]

[

_J

Q

]

( )

Q

β β α µν α

µν, =−

σ

[

]

( )

β α µν α

µν Q iσ Q

J

, =−

Generator Q dapat diperluas sehingga memiliki indeks tambahan Q_αN

denganN =1,2,3,.... i adalah bilangan imajiner dengan nilai i= −1. Aljabar supersimetri diatas adalah aljabar untuk supersimetri dengan besar jumlah supersimetri sama dengan 1 (N =1).

(38)

memenuhi supersimetri. Ada dua jenis representasi tak tereduksi yaitu representasi bermassa dan representasi tak bermassa. Pada representasi bermassa yang didefenisikan sebagai M2 ≡PaP_a bernilai nol sedangkan pada representasi bermassa

2 ≠

M . Spektrum partikel dapat ditemukan dengan mengoperasikan generator Q pada state vakum λ . Sebagai contoh, untuk representasi tak bermassa pada

4 ,

1 =

= D

N diperoleh spektrum partikel 20 dan ±1 2 atau ±12 dan ±1 . Dengan kata lain spectrum partikelnya terdiri dari satu spinor mayor dan dua scalar riil atau satu vektor tak bermassa dan satu spinor mayor. (Roman, L.J, 1992)

2.6.2 Supergravitasi

Lagrangian supersimetri diatas dapat diperluas dengan menyertakan simetri Gauge yang merupakan perluasan Lagrangian elektrodinamik. Selain itu, lagrangian supersimetri juga dapat diperluas dengan memberikan konstrain bahwa transformasi supersimetri berlaku lokal (bergantung posisi pada ruang waktu). Perluasan transformasi supersimetri membawa konsekuensi penting dan menarik, yakni masuknya medan berspin 2 yang merupakan perwujudan dari gravitasi. Dengan masuknya medan ini supersimetri menjadi supergravitasi. Contohnya adalah pada

N supergravitasi yang memiliki Lagrangian

(

)

_γ

_ψ

ψ

γ

ψ pq _n _q

m p mn

mn p

n mnp

m F F

i R

_D

_F

e

−1 =−₄1 +₂1 +₄1 +₈ +

g

n mn m

g 2

2 3 2

−

− ψ

γ

ψ

(2.59)

Meskipun keberadaan supersimetri di alam semesta belum terbukti secara eksperimen, namun supersimetri menyimpan potensi besar untuk dikembangkan lebih lanjut dalam rangka memecahkan beberapa misteri terkait fisika partikel dan kosmologi. (Gunara, B.E, 1960)

(39)

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Rancangan Penelitian

Lubang hitam merupakan sebuah pemusatan massa yang cukup besar sehingga menghasilkan gaya gravitasi yang sangat besar karena itulah disebut benda massif yang memiliki relativitas dimana gaya pun lolos darinya termas berhubungan erat dengan medan Einstein. Lubang hitam juga memiliki temperatur berdasarkan sifat termodinamikanya. Dari sifat termodinamika inilah muncul muatan listrik dan magnetik. Karena lubang hitam memiliki relativitas dan sifat termodinamika maka dihasilkanlah persamaan medan Einstein. Dari persamaan medan Einstein inilah terbentuk solusi metrik Schwarzschild. Solusi metrik Schwarzschild ini kemudian diperluas sehingga terbentuklah solusi Reissner-Nordstrom. Karena penelitian ini bersifat teoritis, maka diperlukan sumber-sumber informasi. Sumber-sumber informasi ini akan diperoleh dari buku, jurnal, internet dll.

3.2. Teknik Analisis Data

Langkah awal yang dilakukan terlebih dahulu dikaji sedikit tentang Ruang de Sitter. Kemudian dilanjutkan ke persamaan Medan Einstein sehingga terbentuk solusi Schwarzschild yang kemudian diperluas sehingga membentuk solusi Reissner-Nordstrom. Supersimetri lubang hitam dikaji untuk memperkaya klasifikasi lubang hitam yang dibangun dari solusi Reissner-Nordstrom.

(40)

3.3 Diagram Alir Penelitian

Gambar.3.1. Diagram Alir Penelitian

Lubang

hitam

Massif

Relativitas Medan Einstein

Temperatur

Termodinamika Bermuatan _{listrik dan} magnetik Persamaan Medan Einstein

µν µν

µν

µν π T

c G g

R g

R 8 ₄

2 1

− = Λ − −

Solusi Metrik Schwarzschild

(

2 2 2

)

2 2 1 2

sin 2

1 2

1 dr r dθ θdφ

r M G dt

r M G

ds  + +

  

  − +    

  − −

= −

(41)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil dari penelitian ini adalah solusi Reissner-Nordstrom (RN) yang dihasilkan dari perluasan metrik Schwarzschild. Untuk itu pertama sekali akan disinggung tentang Ruang de Sitter. Kemudian dilakukan analisis karakteristik horizon peristiwa serta termodinamika pada Lubang Hitam yang dihasilkan solusi Reissner-Nordstrom tersebut. Setelah itu dilakukan klasifikasi beberapa jenis lubang hitam serta solusi supersimetri berdasarkan metrik Reissner-Nordstrom.

4.1 Ruang de Sitter

Secara matematis, ruang de sitter berdimensi 4 adalah submanifold dari ruang Minkowski yang berdimensi 5. Ruang de sitter tersebut merupakan hyperboloid:

∑

₌ = +

− 4

2 2 2

R

x

X (4.1)

Dalam kaitannya dengan model kosmologi, model de Sitter adalah solusi vakum (tidak ada apapun kecuali konstanta kosmologi) dan menggunakan konstanta kosmologi positif Λ>0. Ada kemungkinan alam semesta kita secara asimtotik akan menjadi ruang de Sitter pada masa yang akan datang. Model de Sitter dapat juga digunakan ketika kerapatan materi dan radiasi sangat rendah. Bentuk statis (tidak menyertakan faktor pengembangan alam semesta) metrik de Sitter adalah

(

2 2 2

)

2 2 1 2 2

2 2

sin 3

1 1 3

1 r dt r dr r dθ θdφ

ds  + +

  

  ₋ _Λ +

   

  ₋ _Λ −

= − (4.2)

Pada model alam semesta de Sitter terdapat daerah dimana seorang pengamat tidak akan pernah menerima informasi dan sinyal dari daerah tersebut. Daerah ini disebut horizon peristiwa kosmologi, mirip seperti horizon peristiwa pada lubang hitam. Temperatur horizon peristiwa yang menjadi latar belakang ruang de Sitter ini

(42)

3 2

1 Λ

T (4.3)

Hawking dan Gibbons menafsirkan bahwa horizon peristiwa yang berasal dari solusi metrik Schwarzschild dengan konstanta kosmologi positif salah satunya merupakan horizon peristiwa lubang hitam sedangkan yang satunya lagi merupakan horizon peristiwa kosmologi.

4.2 Solusi Reissner-Nordstrom

Solusi Reissner-Nordstrom dibangun dengan asumsi dasar yang sama ketika memecahkan metrik Schwarzschild. Asumsi dasar tersebut adalah sifat statik dan simetri bola pada metrik. Asumsi tersebut terpenuhi untuk metrik yang mengambil bentuk umum

) sin

( 2 2 2

2 2 2

2 θ θ φ

d d

r V dr Vdt

ds =− + + + V =V

( )

r (4.4)

sehingga

V g11 =−

V g22 = 1

33 r

g = g44 =r2sin2θ (4.5)

Jika nilai V (r) adalah:

( )

2 2

3 1 2

1 r

r Z r

m r

V = − + − Λ (4.6)

Maka metrik untuk lubang hitam bermuatan listrik dan magnetik dapat dituliskan

2 1 2 2

2 2

3 1 2

1 3

1 2

1 r dr

r Z r

m dt

r r

Z r

m ds

−

  

 ₋ ₊ ₋ _Λ

+   

 ₋ ₊ ₋ _Λ

−

(

2 2 2

)

sin θ φ

θ d

r +

+ (4.7)

Solusi Reissner-Nordstrom diatas digunakan untuk menganalisis sifat termodinamika horizon peristiwa yang terbentuk dari metrik diatas. Horizon peristiwa berada pada radius yang diperoleh dengan memecahkan g₁₁ =0 atau V

( )

r =0

(43)

4.3 Klasifikasi Lubang Hitam Berdasarkan Sifat Termodinamika

Temperatur pada horizon peristiwa dinyatakan persamaan (2.57) dengan k

diberikan oleh

( )

= V r

k '

2 1

(4.8)

r adalah radius horizon peristiwa. Oleh karena itu, temperatur pada horizon peristiwa

dapat dinyatakan dengan

( )

2 2 '

1 4

± ±

± = − −Λ

= r

r Z r r

V T

π (4.9)

Berdasarkan nilai temperatur horizon peristiwa pada lubang hitam, dapat diklasifikasikan beberapa jenis Lubang Hitam sebagai berikut :

4.3.1 Lubang Hitam Dingin

Lubang hitam dingin adalah lubang hitam dengan temperatur nol absolut. Kondisi lubang hitam dingin didapatkan dengan sekaligus memecahkan

( )

r_± =V'

( )

r_± =0

V (4.10)

solusi dari persamaan diatas adalah

( )

(

)



  



 ₋ _Λ ₊ ₊

      −

= ± ± ±

2 2

3 2 3

1 1

1 r r r r

r r r

dingin (4.11)

didapatkan juga hubungan antar variabel

   



 ₋ _Λ

= ± ±

3 2

1 r

r m

(4.12)

(

)

1 _±

± −Λ

=r r

(44)

Solusi lubang hitam tersebut diatas dapat dianalisis lebih lanjut berdasarkan nilai Λ 1. Λ≤0

Pada kondisi ini semua nilai positif dari r , m dan _± Z diizinkan. Jika salah 2

satu parameter diketahui maka dua parameter yang lain dapat dihitung dengan persamaan diatas.

2. Λ>0

Untuk Λpositif terdapat radius maksimum horizon peristiwa yaitu −12

+ =Λ

yang menyebabkan muatan Z bernilai nol. Untuk 2 2 1

2 1

0<r₊ < Λ− terdapat horizon peristiwa tambahan :

+ + − ₋ ₋

= r r

2 1

3 (4.13)

Temperatur di r adalah c

(

+ +

)

 −   + 

= + +

+ c c c

c c c r r r r r r r r r

T 1 1

3 2 2 2 2 2 π (4.14)

Sedangkan massa, muatan partikel dan konstanta kosmologi dinyatakan dengan

(

)

2 2

2 ₊ ₊

+ + + + + = r r r r r r r m c c c

;

(

)

₂

2 2 3 2 2 + + + + + + + = r r r r r r r r Z c c c c

; ₂ ₂

3 2 3 + + + + = Λ r r r

rc c

(4.15)

Untuk nilai konstanta kosmologi yang sangat kecil atau Λ<<r₊−2 maka r_c >>r₊. Oleh karena itu r dapat ditafsirkan sebagai tepi luar ruang de Sitter. Secara formal _c

dengan mensetting r₊ =0 dihasilkan dS c

c T

T = = Λ =

3 2 1 2 1 π π (4.16) 0 2 = =Z

m ; 3₂

Λ (4.17)

Dengan kata lain temperatur ini adalah radiasi termal yang dihasilkan horizon peristiwa pada ruang de Sitter dan menjadikan latar belakang radiasi termal alam semesta.

(45)

4.3.2 Lubang Hitam Hangat

Solusi lubang hitam hangat didapat dengan mengambil asumsi terjadinya keseimbangan termal antara kedua horizon peristiwa. Keseimbangan termal terjadi ketika temperatur kedua horizon peristiwa sama

( ) ( )

r₋ =V r₊ =0

V (4.18)

( )

r− =V

( )

V' '

Lubang hitam ini disebut lubang hitam hangat. Solusi dari persamaan diatas adalah temperatur lubang hitam hangat

( ) ( )

₍

₎

2 ₋ ₊

− + + − + − = = = r r r r T r T r T _hangat π (4.19)

( )

V yang dihasilkan

( ) ( )

      ₊ + ₋       −       − + − = − + − + − + − 2 2 2 1 1 1 r r r r r r r r r r r r r Vhangat

(

)

(

)

2 2 1 + − + − + − + −     + − = r r r r r r r r (4.20)

dan juga dihasilkan hubungan :

(

− +

)

+ − + = r r r r m ;

(

)

2 2 2 2 + − + − + = r r r r Z ;

(

)

3 + − + = Λ r

r (4.21)

dari persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa _m2 =_Z2_.

−

r ditafsirkan sebagai

horizon peristiwa lubang hitam sedangkan r ditafsirkan sebagai horizon peristiwa ₊

kosmologi yang menjadi tepi luar ruang de Sitter. Koordinat r adalah ₊

      

 ₋ Λ

+ Λ =

+ 1 1 4 ₃

3 2 1

r (4.22)

dan koordinat r adalah ₋

(46)

sehingga temperatur horizon peristiwa pada lubang hitam hangat dapat dinyatakan dalam bentuk

  

 ₋ _Λ

= 1 4 ₃

3 2

m T

π (4.24)

Jika m2 =Z2 =0 (vakum) maka temperatur horizon peristiwa pada lubang hitam hangat menjadi

3 2

1 Λ

= π

T (4.25)

Hasilnya adalah temperatur horizon peristiwa pada ruang de Sitter yang juga menjadi latar belakang radiasi termal ruang de Sitter.

4.4 Lubang Hitam Supersimetri

Lubang hitam supersimetri dipecahkan dengan memasukkan prinsip supersimetri (bukan dari pemecahan relativitas umum murni). Solusi supersimetri didapatkan dengan memecahkan persamaan killing spinor. Supersimetri yang digunakan kali ini berada dalam konteks N =2,D=4 gauge supergravitasi.

Persamaan gerak yang diturunkan dari lagrangian pada persamaan (2.66) menjadi persamaan Einstein-Maxwell jika Λ =−3g2. Oleh karena itu solusi supersimetri membutuhkan nilai konstanta kosmologi negatif. Representasi lagrangian supersimetri ini mengandung multiplet medan graviton, gravitini dan medan vektor Maxwell. Solusi supersimetri didapat dengan memecahkan persamaan killing spinor :

∇∧mε (4.26)

Dari pemecahan tersebut didapatkan tiga kondisi supersimetri: (i). H =0, 2 2

m Q =

(ii). g =0, Z2 =m2 (4.27)

(iii). m=0,

g H

2 1

(47)

dengan :

H = muatan magnet Q = muatan listrik Z = muatan partikel

Dapat disimpulkan bahwa supersimetri dalam konteks N =2 gauge supergraviti mensyaratkan salah satu dari tiga kondisi diatas. Kondisi kedua (g =0) merupakan kondisi yang juga ada pada lubang hangat dan lubang hitam dingin dengan Λ=0 yaitu 2 2

m Z = . 4.5 Analisis

Karakteristik temperatur horizon peristiwa lubang hitam diatas digerakkan oleh solusi metrik Reissner-Nordstrom. Ada dua cara kita menafsirkan metrik Reissner-Nordstrom dalam konteks alam semesta ketika mengkaitkannya dengan model kosmologi:

1. Solusi metrik Reissner-Nordstrom memang berlaku untuk alam semesta secara keseluruhan. Dengan kata lain dinamika alam semesta juga digerakkan oleh solusi Reissner-Nordstrom.

2. Solusi Reissner-Nordstrom berlaku khusus pada lubang hitam (satu titik pada alam semesta) yang memiliki latar belakang satu model kosmologi tertentu.

Jika penafsiran pertama yang diambil, hal ini bertentangan dengan prinsip kehomogenan dan isotropi alam semesta. Kita dapat membedakan yang mana pusat alam semesta

(

r =0

)

karena pada titik itulah terdapat singularitas absolut. Oleh karena itu, penafsiran kedualah yang diambil penulis.

Lubang hitam dingin mengambil bentuk asimtotik ruang de Sitter jika m=0 dan Z2 =0 (vakum) serta konstanta kosmologi bernilai positif. Pada kondisi tersebut terdapat radiasi termal dari horizon peristiwa de Sitter yang besarnya sesuai dengan persamaan (4.25).

(48)

Namun, bagaimana peluang lubang hitam memilih konfigurasi lubang hitam dingin ketika terbentuk? Apa yang membuat lubang hitam memilih konfigurasi lubang hitam dingin? Kemungkinannya adalah konfigurasi lubang hitam dingin merupakan konfigurasi yang paling stabil. Dengan kata lain temperatur nol absolute pada horizon peristiwa merupakan keadaan dasar (ground state). Namun muncul permasalahan ketika dipertimbangkan keberadaan Cosmic Microwave Background (CMB). Cosmic Mirowave Background yang berinteraksi dengan lubang hitam dingin akan meningkatkan temperatur lubang hitam dingin hingga terjadi keseimbangan termal dengan Cosmic Microwave Background.

Pada lubang hitam hangat terdapat keseimbangan termal antara kedua horizon. Ketika massa dan muatan bernilai nol (vakum) maka temperatur lubang hitam hangat akan sama dengan temperatur ruang vakum de Sitter.

Salah satu konfigurasi supersimetri merupakan konfigurasi yang sama dengan lubang hitam hangat dan lubang hitam dingin dengan konstanta kosmologi nol. Konfigurasi supersimetri tersebut terjadi untuk kasus g =0(ungauged). Konfigurasi ini berkaitan dengan nilai konstanta kosmologi nol. Oleh karena itu konfigurasi lubang hitam hangat merupakan kandidat yang cukup kuat sebagai konfigurasi akhir dan stabil dari lubang hitam.

Dengan kata lain, kondisi lubang hitam dengan Z2 =m2 merupakan kondisi yang unik karena kondisi ini dapat dipenuhi oleh ketiga jenis lubang hitam diatas.

Solusi lubang hitam yang muncul dari metrik Reissner-Nordstrom memiliki keterkaitan erat dengan model kosmologi de Sitter. Meski demikian, metrik Reissner-Nordstrom bersifat statis, tidak menyertakan faktor pengembangan alam semesta. Termodinamika horizon peristiwa akan bersifat stabil jika metriknya stasioner (hukum nol termodinamika horizon peristiwa) namum sampai saat ini kita belum tahu pasti rumusan faktor skala alam semesta, apakah bersifat stasioner atau non stasioner.

(49)

Data observasi beberapa supernova menunjukkan nilai konstanta kosmologi yang sangat kecil (mendekati nol) dan bernilai positif. Hal ini bertentangan dengan supersimetri N =2 supergraviti yang memerlukan konstanta kosmologi bernilai negatif. Namun data observasi tersebut belum cukup untuk menjustifikasi fakta fisika dikarenakan jumlah data observasi yang masih minim (deviasi masih sangat tinggi). Sehingga sampai saat ini semua model kosmologi (dengan semua jenis nilai konstanta kosmologi) masih dianggap sama-sama memiliki kemungkinan terbukti menjadi penggerak evolusi alam semesta.

Kalsifikasi lubang hitam diatas didasarkan atas sifat termodinamika (temperatur). Meski demikian, belum dapat ditentukan konfigurasi mana yang menjadi konfigurasi akhir ketika sebuah bintang runtuh. Hal ini berkaitan dengan permasalahan umum kosmologi yakni belum diketahuinya nilai eksak dari konstanta kosmologi.

(50)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

1. Telah dilakukan klasifikasi beberapa jenis Lubang Hitam berdasarkan temperatur pada horizon peristiwa dan sifat supersimetri. Dari klasifikasi tersebut dihasilkan beberapa jenis Lubang Hitam yaitu :

a. Lubang Hitam dingin dengan temperatur nol absolute yaitu: 0

= =Z m

b. Lubang Hitam hangat dengan temperatur yang seimbang yaitu:

2 2

Z m =

c. Lubang Hitam supersimetrik memiliki 3 kondisi yaitu:

 2 2

m Q =

 2 2

m Z =



g H

2 1

3. Analisis Lubang Hitam dingin dan Lubang Hitam hangat menggunakan Relativitas umum dan termodinamika serta tanpa memasukan unsur supersimetri sedangkan analisis Lubang Hitam supersimetrik dilakukan dengan memasukan unsur supersimetri dalam konteks N = 2, D = 4 gauged supergravitasi. Lubang Hitam dingin dan Lubang Hitam hangat mengambil bentuk asimtotik ruang de Sitter. Dari tiga kondisi yang ada ketika sifat supersimetri pada Lubang Hitam diperhitungkan, salah satu kondisi merupakan kondisi yang sama pada lubang hitam hangat dan lubang hitam dingin dengan konstanta kosmologi bernilai nol.

(51)

5.2 Saran

Pada Solusi Reissner-Nordstrom ini digunakan asumsi metrik yang bersifat statik dan bersimetri bola. Untuk penelitian selanjutnya maka diharapkan dapat mengembangkan dengan mengkaji solusi Lubang Hitam bermuatan listrik dan magnetik dengan menggunakan metrik yang bersifat isotropik.

(52)

DAFTAR PUSTAKA

Anugraha, R., 2005, Pengantar Teori Relativitas dan kosmologi, Fakultas MIPA UGM, Yogyakarta.

Bergmann, P.B., 1960, Introduction To The Theory Of Relativity, Prentice-Hall, New York.

Greiner, W., 1995, Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer-Verlag, Newyork.

Gunara, B.E., 2003, Spontaneous N = 2 → N = 1 Supersymmetry Breaking and the Super-Higgs Effect in Supergravity, Halle-Witenberg University, Dissertation.

Romans, L.J., 1992, Supersymmetric, cold and lukewarm Black Holes in cosmological Einstein-Maxwell theory, arxiv : hep-th/9203018v1.

Russel, B., 1960, The ABC Of Relativity, Mentor Books, New York.

Schutz, B. F., 2001, A First Course In General Relativity, Cambride University Press, Cambridge.

Wald, R. M., 1998, Black holes and relativistic stars, The University of Chicago Press, Chicago.

Wald, R.M., The Thermodynamics of Black Holes, dalam www.livingreviews.org/Articles/Volume4/2001-6wald. Max Planck Institute.

Weinberg, S. , 1972, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, New York.

Wospakrik, H.J., 1987, Berkenalan dengan Teori Kerelatifan Umum dan Biografi Albert Einstein, ITB, Bandung.

(53)

LAMPIRAN I

Pembuktian persamaan (2.8)

Lambang Christoffel jenis pertama dinyatakan:

[

µν β

]

(

∂µgνβ +∂νgβµ −∂βgµν

)

1 ,

atau bentuk lain dari lambang Christoffel jenis pertama:

[

]

( ) 2 1 , , σ µν µ νσ ν µσ σ

µν µν σ

x g x g x g ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = = Γ

Lambang Christoffel jenis kedua dinyataakan oleh persamaan

atau bentuk lain dari lambang Christoffel jenis kedua

{

}

( ) 2 1 , σ µν µ νλ ν µλ σλ σ

µν µν σ

x g x g x g g ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = = Γ

[

]

(

)

(

µ νβ ν βµ β µν

)

αβ µν β βµ ν νβ µ αβ αβ α µν β µν µν α g g g g g g g g g ∂ − ∂ + ∂ = ∂ − ∂ + ∂ = =       =

Γ

2 1 2 1 ,

(54)

LAMPIRAN II

Contoh soal dengan pemakaian lambang Christoffel jenis pertama

Jika diketahui : ds2 =a2dθ2 +a2sin2θdφ2

Bentuk umum :

3 2 23 3 1 13 2 1 12 2 3 33 2 2 22 2 1 11 2 2 2

2g dxdx g dx dx g dx dx dx g dx g dx g

ds = + + + + +

maka didapat: 2 11 a g = θ 2 2

22 a sin

g =

23 13 12

33 = g =g =g =

12 =g =

g ekuivalen valensinya: θ = 1 X φ = 4 X

Dengan menggunakan lambang Christoffel jenis pertama carilah

[ ]

22,1 ,

[ ]

22,2

[ ]

(

)

(

)

θ θ θ θ θ θ cos sin cos sin 2 2 1 sin 2 1 2 1 1 , 22 2 2 2 2 1 22 2 21 2 21 a a a x g x g x g − = − =       ∂∂ − =     ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =

(55)

[ ]

(

)

( )

0 0 2 1 sin sin sin 2 1 2 1 2 , 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 = =     ₊ ₋ ∂∂ =     ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ θ θ

φ a a a

x g x g x g

Jadi untuk mencari kofaktor g dan ₁₁ g terlebih dahulu dicari determinannya yaitu: ₂₂

(

)

( )

θ θ θ 2 4 2 2 2 2 2 2 22 21 12 11 sin 0 0 sin sin 0 0 a a a a a g g g g g = − = = = kofaktor 11 2 2 4 2 2 11

11 1 1

sin sin g a a a g g kofaktor

g = = = =

θ θ kofaktor 22 2 2 2 4 2 22 22 1 sin 1

sin a g

a a g

g kofaktor

g = = = =

θ θ

(56)

LAMPIRAN III

Pembuktian persamaan (2.10) dan (2.11)

Tensor kelengkungan R_βµαν dapat ditentukan dengan perkalian dalam antara tensor

metrik g_βη dan tensor Riemann-Christoffel Rη_µαν menurut persamaan: η

µαν βη βµαν g R

R =

Kontraksi R_µανη terhadap indeks

( )

η,ν menghasilkan tensor Ricci R_µα

ν µαν µα R

R =

Skalar kelengkungan R diperoleh melalui perkalian dalam antara gµα dan R_µα yang ditulis sebagai

µα µα_R

g R=

β µν η βν β µν η βα η µα ν η µν α η

µαν =∂ Γ −∂ Γ +Γ Γ −Γ Γ R

β µν ν βν β µν ν βα ν

µα ν ν µν α ν

µαν =∂ Γ −∂ Γ +Γ Γ −Γ Γ R

β µν ν βν β µν ν βα ν

µα ν ν µν α

µα =∂ Γ −∂ Γ +Γ Γ −Γ Γ R

(57)

LAMPIRAN IV

Pembuktian persamaan (2.20)

( )

2 2

(

2 2 2

)

sin θ φ

θ d d r dr r A dt r B

ds =− + + +

( )

2 2 2 2 2 2

sin θ φ

θ r d

d r dr r A dt r B

ds =− + + +

4 3 34 4 2 24 3 2 23 4 1 14 3 1 13 2 1 12 2 4 44 2 3 33 2 2 22 2 1 11 2 2 2 2 2 2 2 dx dx g dx dx g dx dx g dx dx g dx dx g dx dx g dx g dx g dx g dx g ds + + + + + + + + + = maka didapat:

( )

r B g11 =−

( )

r A g₂₂ =

2 33 r g = θ 2 2

44 r sin

g =

ekuivalen valensinya:

t X₁ =

r X₂ =

θ = 3 X φ = 4 X

(1)

LAMPIRAN VI

Pembuktian persamaan (2.38)

2 1

2 

  

 − =

dt dx dt dx c g L

β α αβ

berlaku untuk α =β

Ambil metrik Minkowski 0 = 1 = 2 =θ 3 =φ ,

, x r x x

t x

2 1 2 3 2 33 2

2 22 1

2 11 0

2 00

    

  

    −     −     −     − =

τ τ

τ d

dx c g d

dx c g L

2 1 2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 2

2 2

sin 2

1 1 2

    

  

      −

      −          

  − −

         

  −

= −

τ φ θ τ

θ τ

τ d

d c

r d

d c r d

dr r

c M G c

d dt r c

M G L

Karena 2

θ = , maka

2 1 2 2 2 1 2 2

2 2

2 1 1 2

    

  

    

  

      +          

  − −

         

  −

= −

τ φ τ

τ d

d r d

dr r

c M G c

d dt r c

M G L

(2)

LAMPIRAN VII

Pembuktian persamaan (2.41)

                      +             − −             − = − 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 τ φ τ τ ε d d r d dr r c M G c d dt r c M G 2 2 2 2 1 2 2 1 ; 2 1 k r c M G d dt k r c M G d

dt − −

      − =             − = _τ τ 4 2 2 2 ; r h d d r h d d =      

= _τφ

τ φ

Sehingga persamaan (2.41) menjadi

        +       − −       −

= − − • 2 •2

2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 φ

ε r r

r c M G c k r c M G         +       − −       −

= − − • 2 •2

2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 φ

ε r r

r c M G c k r c M G c     ₋       − =

+ • − 2 2 •2

1 2 2 2 2 2 2

1 k c r

r c M G r c φ ε 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 • = −•

    ₊     

 − c r c k r

r c

G _ε _φ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 • • − =       − +     

 − r c k r

r c M G c r c M G φ ε 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

2 • •

− =       − +

− r c k r

r c M G r M G

c ε φ

(

2 2

)

2 2 2 2 2 2 2 2

1  φ − ε = −ε

     − + • • k c M G r M G r

(3)

LAMPIRAN VIII

Pembuktian persamaan (2.42)

φ φ φ

φ d

dr dt

d d dr dt dr r

• •

= =

dU U dr U

r = 1 ; =− 1₂

maka persamaan (2.41) menjadi

(

2 2

)

2 2 2

2 2

2 4

2 2

1 1 1

ε ε

φ φ

φ  − = −

  

  − +

  

 •

•

k c U M G U

c M G U

d dU

dari ₄ 2 4

2 2

2 ; h U

r h r

= =

= •

•

φ φ

sehingga

(

2 2

)

2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 ε ε

φ − = −

 

  − +

   

k c U M G U

c M G U

h d

dU h

(

2 2

)

2 2 2

2 2

1 ε ε

φ  +  − − = −

  

k h c U h

M G U

c M G U

d dU

(4)

LAMPIRAN IX

Pembuktian persamaan (2.43)

(

)

_ 



 ₋

=     

  

−    

  − +

  

 2 2

2 2 2

2 2

1 ε

φ ε

φ h k

c d

d U h

M G U

c M G U

d dU d

0 2

2 2

1 2

2 ₂

2 2

= −

−    

  − +

   

φ ε φ

φ φ

φ d

dU h

M G d

dU c

M G U d dU U c

M G U

d U d d dU

0 2

2 2 2

1 ₂

2 2

= −

−    

  − +

h M G c

M G U U c

M G U

d U

d ε

2 2 2

2 2 2 2

2 2

h M G c

M G U U c

M G U d

d ε

φ + − − =

2 2 2

2 2

3 2

U c

M G h

M G U d

U d

+ =

+ ε

(5)

LAMPIRAN X

Pembuktian persamaan (4.5)

) sin

( 2 2 2

2 2 2

2 θ θ φ

d d

r V dr Vdt

ds =− + + +

2 2 2 2 2 2 2

sin 1

φ θ

θ r d

d r dr V Vdt

ds =− + + +

4 3 34 4 2 24 3

2 23

4 1 14 3 1 13 2 1 12 2 4 44 2 3 33 2 2 22 2 1 11 2

2 2

dx dx g dx dx g dx dx g

dx dx g dx dx g dx dx g dx

g dx g dx g dx g ds

+ +

maka didapat: V g₁₁ =−

V g22 = 1 2 33 r

g =

2 2 44 r sin g =

Dengan ekuivalen valensi: t

X₁ = r X₂ =

θ =

3 X

4 X

(6)

LAMPIRAN XI

Greek alphabet

Α, α= Alpha Μ, µ= Mu Ψ, ψ = Psi

Β, β= Beta Ν, ν = Nu Ω, ω = Omega.

Γ, γ = Gamma Ξ, ξ= Xi ∆, δ = Delta Ο,ο = Omicron

Ε, ε= Epsilon Π, π= Pi

Ζ, ζ = Zeta Ρ, ρ= Rho

Η, η= Eta Σ, σ = Sigma Θ, θ = Theta Τ, τ = Tau

Ι, ι = Iota ϒ, υ= Upsilon

Κ, κ= Kappa Φ, φ= Phi Λ, λ= Lambda Χ, χ= Chi