Jika suatu partikel bergerak dengan kecepatan tetap dalam alam semesta tak mengembang yang bebas dari medan gravitasi, peristiwa apapun yang terjadi dalam
alam semesta itu akhirnya akan teramati oleh partikel tersebut, karena kerucut cahaya muka dari peristiwa-peristiwa ini berpotongan dengan garis dunia partikel itu. Di
pihak lain, jika partikel tersebut dipercepat, pada beberapa situasi kerucut cahaya dari beberapa peristiwa tidak pernah memotong garis dunia partikel itu. Dalam keadaan
ini, horizon peristiwa ada pada kerangka acuan yang dipercepat dari partikel tersebut, mewakili perbatasan yang diluarnya peristiwa-peristiwa tidak dapat diamati.
Contohnya, ini terjadi dengan partikel dipercepat secara seragam. Diagram ruang-waktu situasi ini ditunjukkan pada gambar 2.2. Saat partikel itu mengalami
percepatan, ia mendekati, namun tidak pernah mencapai, kecepatan cahaya mengacu pada kerangka acuan asalnya. Pada diagram ruang-waktu, jalurnya adalah hiperbola,
yang mendekati secara asimtot suatu garis 45 derajat jalur dari berkas cahaya. Suatu peristiwa yang tepian kerucut cahayanya merupakan asimtot ini atau lebih jauh dari
asimtot ini tidak akan pernah teramati oleh partikel yang dipercepat itu. Pada kerangka acuan partikel itu, nampaknya merupakan perbatasan di baliknya dari mana tak satu
sinyalpun yang dapat lolos sebuah horizon peristiwa. Russel, B., 1960
2.2 Persamaan Medan Einstein
Untuk setiap sistem fisis, setiap hukum yang menghubungkan besaran fisis tidak akan bergantung kepada pemilihan sistem koordinat. Hal ini berarti, persamaan
gerak sistem akan memiliki bentuk yang tetap di dalam semua sistem koordinat. Persamaan yang tidak berubah bentuknya terhadap transformasi koordinat dikatakan
memiliki sifat invarian terhadap transformasi tersebut. Sifat inilah yang menyebabkan tensor banyak digunakan untuk menelaah suatu sistem fisis.
Lubang hitam pada awalnya hanya spekulasi sebagai hasil perhitungan oleh Laplace di tahun 1795 ketika membahas secara klasik dengan kecepatan lebih besar
dari kecepatan cahaya, tetapi gagasannya tidak menarik banyak perhatian. Kemudian
Universitas Sumatera Utara
di tahun 1916 Karl Schwarzschild mampu menyelesaikan persamaan medan Einstein dalam vakum untuk bermuatan sistem koordinat bola dan solusinya dikenal sebagai
solusi Schwarzschild, yang menunjukkan jenis lubang hitam paling sederhana yaitu lubang hitam Schwarzschild yang hanya ditentukan oleh sebuah parameter tunggal,
yaitu massa M. Lubang hitam sebagian besar didasarkan pada teori umum relativitas Einstein, yang merupakan teori gravitasi. Relativitas adalah teori geometri karena
studi matematika dari ruang-waktu, baik melengkung atau datar, adalah geometri.
Tensor adalah besaran yang merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya vektor merupakan perluasan dari besaran skalar. Tensor memiliki komponen-
komponen seperti halnya vektor. Besaran vektor sangat penting di dalam fisika karena dapat menyatakan objek dengan kaedah-kaedah yang tetap sama meskipun kerangka
acuan yang dipilih berubah-ubah. Perubahan kerangka acuan memang menyebabkan nilai komponen tensor berubah pula, namun kaedah-kaedah yang berlaku bagi
komponen tensor tetap tidak berubah.
Teori relativitas umum yang dicetuskan Albert Einstein berbicara tentang interaksi gravitasi. Relativitas umum yang dibangun berdasarkan persamaan medan
Einstein mengambil sudut pandang yang berbeda dengan gravitasi Newton. Menurut teori relativitas umum, gravitasi bukanlah efek dari tarikan benda bermassa seperti
anggapan Newton melainkan efek dari kelengkungan ruang waktu berdimensi 4. Kelengkungan ini ditentukan oleh distribusi materi dan energi. Relativitas umum
dinyatakan dalam bentuk tensor. Setiap jenis ruang-waktu diberikan dengan waktu yang tepat dan interval ruang yang dijelaskan oleh elemen baris atau metrik yang
merupakan interval invarian. Bergmann, P. B, 1960
Ditinjau dua buah titik
µ
x dan
µ µ
dx x
+ di dalam ruang sembarang
berdimensi N. Kuadrat jarak antara kedua titik tersebut dinyatakan oleh
ν µ
µν
dx dx
g ds
=
2
2.1 dengan
N ...,
, 2
, 1
, =
ν µ
dan
Universitas Sumatera Utara
NN N
N
g g
g g
g g
1 1
11
det =
=
µν
2.2
2
ds disebut kuadrat elemen jarak dan
µν
g
adalah tensor metrik kovarian. Persamaan 2.1 dapat diubah bentuknya menjadi:
[ ]
ν µ
νµ µν
νµ µν
dx dx
g g
g g
ds −
+ +
= 2
1
2
2.3
dengan mengambil
= −
ν µ
νµ µν
dx dx
g g
2.4
maka
νµ µν
g g
=
2.5
sehingga
µν
g
efektif merupakan suatu tensor simetri. Vektor dalam ruang waktu memiliki panjang kuadrat
ν µ
µν
A A
g A
=
2
. Berdasarkan nilai dari panjang vektor kuadrat ini, vektor dibagi tiga jenis:
1. Vektor timelike untuk
2
A .
2. Vektor spacelike
2
A .
3. Vektor null atau lightlike
2
= A
Turunan dari vektor kontravarian dan vektor kovarian dinyatakan dengan:
α µ
αν µ
ν µ
ν
A A
A Γ
+ ∂
= ∇
2.6
α α
µν µ
ν µ
ν
A A
A Γ
− ∂
= ∇
2.7
Dengan
α µν
Γ
merupakan simbol christoffel yang berhubungan dengan transformasi basis dari satu koordinat ke koordinat lainnya.
Universitas Sumatera Utara
Simbol christoffel dinyatakan dengan:
{ }
2 1
,
α µν
µ νβ
ν µβ
αβ α
µν
α µν
x g
x g
x g
g ∂
∂ −
∂ ∂
+ ∂
∂ =
= Γ
2.8
Kelengkungan ruang waktu 4 dimensi dicirikan oleh tensor Riemann-Christoffel. Hubungan antara tensor Riemann dengan simbol Christoffel adalah:
β µα
η βν
β µν
η βα
η µα
ν η
µν α
η µαν
Γ Γ
− Γ
Γ +
Γ ∂
− Γ
∂ =
R
2.9
Ruang minkowski merupakan ruang datar yang memiliki tensor Riemann-Christoffel. Dari tensor Riemann-Christoffel kemudian dapat didefenisikan tensor Ricci dengan
kontraksi dua indeks dari tensor Riemann-Christoffel
ν µαν
µα
R R
=
2.10
Dari tensor Ricci kemudian didefenisikan Ricci skalar:
µα µα
R g
R =
2.11
Tensor Ricci dan Ricci skalar dapat digunakan untuk mendefenisikan tensor Einstein:
R g
R G
µν µν
µν
2 1
− =
2.12
Jika tetapan kosmologi
Λ
ingin diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi
µν µν
µν µν
g R
g R
G Λ
− −
= 2
1
2.13
Adapun rapat massa yang menimbulkan potensial medan gravitasi diperluas menjadi tensor energi-momentum
µν
T
dengan rapat massa energi termasuk salah satu komponen didalamnya dan dapat dilakukan perluasan bahwa kelengkungan ruang-
waktu sebanding pula dengan tensor energi-momentum yang dirumuskan sebagai
µν µν
µν
T k
R g
R −
= −
2 1
2.14
Universitas Sumatera Utara
dengan
4
8 c
G k
π =
sehingga persamaan gravitasi Einstein menjadi:
µν µν
µν
π
T c
G R
g R
4
8 2
1 −
= −
2.15
Persamaan medan Einstein menghubungkan kelengkungan ruang waktu dan distribusi massa-energi. Persamaan ini berbentuk:
µν µν
µν µν
π T
c G
g R
g R
4
8 2
1 −
= Λ
− −
2.16
dengan : =
Λ G R
, ,
merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak memiliki indeks
=
µν µν
µν
T g
R ,
,
tensor kovarian rank 2
Λ adalah konstanta kosmologi. Konstanta kosmologi dapat bernilai positif dan negatif yang mendekati nol. Jika konstanta kosmologi bernilai negatif mendekati nol maka
gravitasi akan bersifat menarik secara kuat dan seluruh alam semesta luasnya bisa menjadi beberapa kaki, sedngkan jika konstanta kosmologi bernilai positif mendekati
nol maka gravitasi akan bersifat menolak dan segala sesuatu akan beterbangan menjauh dari kita begitu cepatnya sehingga cahayanya tidak pernah akan mencapai
kita. Nilai konstanta kosmologi sangat berkaitan dengan model kosmologi alam semesta.
2.3 Solusi Schwarzschild
