Selanjutnya akan ditunjukkan suatu solusi optimal untuk masalah CMO akan bersesuaian
dengan suatu clique maksimum dalam . Hal
ini dijelaskan dalam Corollary 1 sebagai berikut:
Corollary 1
Diberikan protein A dan protein B, terdapat korespondensi satu-satu antara clique
di dengan solusi yang fisibel untuk CMO
dan clique maksimum di bersesuaian
dengan solusi optimal untuk CMO. Bukti:
Hasil dari Corollary 1 merupakan akibat langsung dari Lemma 2 dan dari definisi
bahwa solusi optimal bagi CMO adalah jumlah maksimum verteks yang fisibel secara
bersamaan di .
Berdasarkan Lemma 2 dan Corollary 1, didapatkan suatu transformasi dari masalah
CMO ke masalah maksimum clique dan menunjukkan bahwa suatu clique maksimum
di bersesuaian dengan solusi optimal dari
CMO. 4.2 Sifat Khusus Graf
Berikut akan dijelaskan beberapa sifat khusus graf
yang berguna dalam preprocessing step untuk mencari solusi
optimal dalam graf . Preprocessing step
adalah langkah
untuk mencari
clique maksimum dan pewarnaan minimum dalam
graf sehingga didapatkan suatu graf perfect
yang merupakan solusi optimal dari graf
.
4.2.1 Susunan Verteks dalam Graf
Verteks dari graf disusun menjadi dua
dimensi grid, yaitu baris untuk setiap contact pada protein A dan kolom untuk setiap
contact pada protein B. Selanjutnya semua sisi dalam graf
diatur agar mempunyai orientasi arah yang sama. Hal tersebut dapat
dilihat pada Teorema 1 berikut.
Teorema 1
Diberikan suatu
protein dengan
menyatakan contact map dengan
dan menotasikan
asam amino dari protein . Untuk setiap
protein , didefinisikan suatu lexicographic
ordering yaitu contact
dalam diurutkan berdasarkan urutan menaik
dan urutan menaik
. Jika graf disusun dengan
cara tersebut, maka semua sisi dalam akan
berorientasi menuju ke kanan bawah atau
arah ini dinamakan “diagonal tenggara”.
pembuktian Teorema 1 dapat dilihat pada Lampiran 2.
Berdasar pada Teorema 1, diberikan suatu cara untuk memberikan penomoran himpunan
diagonal tenggara dari graf , dengan
mengawali penomoran dari baris paling akhir kolom pertama sampai baris awal kolom
terakhir. Dengan kata lain himpunan diagonal tenggara dari graf
adalah himpunan semua verteks pada graf
sepanjang semua garis dengan slope -1 lihat Gambar 13.
B
1
B
2
B
1
B
4
B
2
B
5
B
3
B
6
B
4
B
6
A
1
A
3
A
1
A
4
A
2
A
6
A
3
A
5
A
4
A
6
1 2
3 4
5 6
7 8
9 Protein B
Pro te
in A
Gambar 13 Penomoran diagonal tenggara graf
. Verteks graf
yang terletak pada baris kolom
verteks dan pada baris kolom
verteks berada pada diagonal tenggara yang sama jika
. Selanjutnya berikan penomoran diagonal
tenggara dari kiri bawah menuju kanan atas graf
, sehingga verteks adalah salah
satu dari verteks pada diagonal tenggara ke dengan
adalah banyaknya baris. Pada diagonal tenggara ke
terdapat verteks
sebanyak verteks, dengan
adalah banyaknya kolom. Misalkan akan ditunjukkan letak dan
banyaknya verteks yang berada sepanjang diagonal tenggara dari verteks
atau verteks pada baris kedua dan kolom ketiga verteks
pada Gambar 12. Diketahui jumlah baris
, dan jumlah kolom
. Nilai dari dan
= = 4. Disimpulkan bahwa verteks
adalah bagian dari diagonal tenggara bernomor 6 dan
memiliki 4 verteks sepanjang diagonal tenggaranya.
Selanjutnya penomoran diagonal tenggara akan digunakan sebagai alat untuk mereduksi
graf dengan menggunakan Lemma 3
sebagai berikut:
Lemma 3
Tidak ada clique yang lebih besar dari clique-
dapat memiliki verteks yang berada pada diagonal tenggara yang berisikan
verteks atau kurang. pembuktian Lemma 3 dapat dilihat pada
Lampiran 3.
Berdasar hasil Lemma 3, jika diberikan suatu batas bawah lower bound
di graf , maka semua diagonal tenggara di graf
yang mempunyai verteks atau kurang akan
dapat dihapus. Hal itu bertujuan mereduksi graf
dan menunjukkan bahwa suatu clique maksimum terdapat pada himpunan diagonal
tenggara tersebut. Untuk mencari batas bawah
dalam menentukan clique maksimum di graf
, akan digunakan suatu metode berdasarkan
Strickland, DM. 2008 sebagai berikut: Misalkan diberikan graf
, 1. Ambil
. 2. Pilih
sebagai verteks di graf yang berderajat maksimum. Tambahkan
ke . 3. Pilih verteks berderajat terbesar yang
adjacent dengan , tambahkan ke . Lalu
hapus semua verteks yang tidak adjacent dengan
dari . 4. Jika
kosong, maka berhenti. Jika tidak, kembali ke langkah 2.
Pada dasarnya, akan memuat verteks
dengan derajat terbesar yang terhubung satu sama lain membentuk clique. Order dari
himpunan yang dihasilkan adalah suatu
clique- dalam graf dan juga merupakan
batas bawah dari clique maksimum di .
Dari penjelasan Lemma 3 di atas, jika diberikan suatu nilai
atau clique-3, maka diagonal tenggara yang memuat verteks
kurang dari atau sama dengan tiga ,
maka akan dapat dihapus. Pada Gambar 13, diagonal tenggara yang memiliki nomor 1,
2, 3, 7, 8 dan 9 akan dapat dihapus.
4.2.2 Preprocessing Berdasarkan Verteks
