terdapat verteks
sebanyak verteks, dengan
adalah banyaknya kolom. Misalkan akan ditunjukkan letak dan
banyaknya verteks yang berada sepanjang diagonal tenggara dari verteks
atau verteks pada baris kedua dan kolom ketiga verteks
pada Gambar 12. Diketahui jumlah baris
, dan jumlah kolom
. Nilai dari dan
= = 4. Disimpulkan bahwa verteks
adalah bagian dari diagonal tenggara bernomor 6 dan
memiliki 4 verteks sepanjang diagonal tenggaranya.
Selanjutnya penomoran diagonal tenggara akan digunakan sebagai alat untuk mereduksi
graf dengan menggunakan Lemma 3
sebagai berikut:
Lemma 3
Tidak ada clique yang lebih besar dari clique-
dapat memiliki verteks yang berada pada diagonal tenggara yang berisikan
verteks atau kurang. pembuktian Lemma 3 dapat dilihat pada
Lampiran 3.
Berdasar hasil Lemma 3, jika diberikan suatu batas bawah lower bound
di graf , maka semua diagonal tenggara di graf
yang mempunyai verteks atau kurang akan
dapat dihapus. Hal itu bertujuan mereduksi graf
dan menunjukkan bahwa suatu clique maksimum terdapat pada himpunan diagonal
tenggara tersebut. Untuk mencari batas bawah
dalam menentukan clique maksimum di graf
, akan digunakan suatu metode berdasarkan
Strickland, DM. 2008 sebagai berikut: Misalkan diberikan graf
, 1. Ambil
. 2. Pilih
sebagai verteks di graf yang berderajat maksimum. Tambahkan
ke . 3. Pilih verteks berderajat terbesar yang
adjacent dengan , tambahkan ke . Lalu
hapus semua verteks yang tidak adjacent dengan
dari . 4. Jika
kosong, maka berhenti. Jika tidak, kembali ke langkah 2.
Pada dasarnya, akan memuat verteks
dengan derajat terbesar yang terhubung satu sama lain membentuk clique. Order dari
himpunan yang dihasilkan adalah suatu
clique- dalam graf dan juga merupakan
batas bawah dari clique maksimum di .
Dari penjelasan Lemma 3 di atas, jika diberikan suatu nilai
atau clique-3, maka diagonal tenggara yang memuat verteks
kurang dari atau sama dengan tiga ,
maka akan dapat dihapus. Pada Gambar 13, diagonal tenggara yang memiliki nomor 1,
2, 3, 7, 8 dan 9 akan dapat dihapus.
4.2.2 Preprocessing Berdasarkan Verteks
Tetangga Untuk
menghapus beberapa
bagian diagonal tenggara graf
, verteks dapat dihilangkan
berdasarkan sifat
tetangga mereka. Tetangga dari verteks
adalah semua verteks
sedemikian , yaitu semua verteks yang saling berbagi sisi dengan
. Kedua sifat berikut ini harus diketahui
untuk memberikan akses dalam penghapusan suatu verteks di
.
Sifat 1
Tidak ada clique yang lebih besar dari clique-
dapat memuat verteks yang memiliki tetangga kurang dari
. Sifat 1 menjelaskan bahwa jika diberikan
suatu batas bawah pada graf
, maka semua verteks yang memiliki tetangga kurang
dari akan dapat dihapus.
Misalkan diberikan suatu nilai .
Maka verteks yang memiliki derajat kurang dari empat verteks tetangga
dapat dihapus. Sebagai contoh, misalkan pilih salah
satu verteks dalam graf lihat Gambar 11,
yaitu verteks atau verteks .
Diketahui bahwa verteks bertetangga
dengan tiga verteks, yaitu verteks ,
verteks dan verteks . Dengan kata
lain, verteks memiliki derajat ,
maka verteks dapat dihapus.
Selanjutnya, Sifat
2 berikut
akan menjelaskan suatu pewarnaan berdasarkan
verteks tetangganya. Sifat 2
Tidak ada clique yang lebih besar dari clique-
dapat memuat verteks yang tetangganya dapat diwarnai kurang dari
warna. Bukti:
Dikarenakan tidak ada dua verteks berwarna sama dapat mempunyai sisi, maka
tidak ada clique yang dapat memuat keduanya. Oleh karena itu, semua verteks dari
clique harus mempunyai warna yang berbeda, sehingga tidak ada verteks yang tetangganya
diwarnai dengan
warna atau kurang, dapat berada dalam clique yang lebih besar
dari .
Berdasarkan Sifat 2, digunakan suatu definisi pewarnaan, yaitu setiap verteks harus
secara pasti ditetapkan satu warna dan tidak ada dua verteks
dan yang terhubung oleh sisi dapat mempunyai warna yang sama. Hal
ini berarti, warna ≠ warna .
Namun terdapat dua kesulitan dalam mengaplikasikan Sifat 2 secara langsung.
Pertama, menemukan jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai tetangga
verteks adalah permasalahan yang sulit. Kedua, mewarnai tetangga setiap verteks akan
sangat memakan waktu. Oleh karena itu, Corollary 2 berikut diberikan untuk mereduksi
verteks dan sisi dalam graf
sehingga akan mempermudah
dalam pencarian
clique maksimum dengan menggunakan metode
pewarnaan.
Corollary 2
Ketika graf disusun berdasar pada
Teorema 1, tidak ada clique yang lebih besar dari clique-
dapat memiliki verteks yang tetangganya berada kurang dari
baris atau kurang dari
kolom di graf
.
Bukti: Dikarenakan semua sisi dalam
adalah tenggara, maka tidak ada dua verteks
dan dalam baris yang sama dapat dihubungkan
oleh sisi sebab sisi akan menjadi timur-
barat, tetapi sisi tersebut tidak ada. Sehingga, tidak ada clique yang dapat memuat dua
verteks dari baris yang sama. Akibatnya verteks dengan tetangga yang
berada dalam paling banyak baris tidak
dapat ada dalam clique dengan lebih dari verteks lain dan demikian tidak dapat
ada dalam clique yang lebih besar dari .
Argumen yang serupa dapat diaplikasikan untuk kolom.
Sebagai konsekuensi dari Corollary 2, didapatkan cara sederhana untuk menghapus
verteks yang derajatnya kurang dari , yaitu
dengan menghapus semua verteks yang derajat baris atau kolomnya jumlah baris atau
kolom yang tetangganya berada dalam baris atau kolom tersebut kurang dari
. Setelah graf
direduksi berdasar pada Corollary 2, selanjutnya Sifat 2 akan
digunakan sebagai langkah akhir untuk mencari clique maksimum. Dari penjelasan
sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dalam metode preprocessing terdapat empat tipe
verteks yang dapat dihapus berdasarkan batas bawah
, sebagai berikut: 1
= verteks yang berada pada diagonal
tenggara pertama atau terakhir di .
Lemma 3 2
= verteks yang memiliki tetangga atau kurang di
. Sifat 1 3
= verteks yang tetangganya berada pada
bariskolom atau kurang di . Corollary 2
4 = verteks yang tetangganya dapat
diberi warna atau kurang di
. Sifat 2
Diketahui bahwa
metode 4
menyamaratakan metode 1-4. Lemma selanjutnya memformulasikan ide ini.
Lemma 4
Diberikan sebuah graf CMO dan
dengan menggunakan definisi dari , ...,
dari 1-4 diatas, hubungan berikut adalah benar : a
, b , dan c
. pembuktian Lemma 5 dapat dilihat pada
Lampiran 5 Selanjutnya untuk menentukan suatu
metode pewarnaan dalam graf dan
mengaplikasikan Sifat 2 secara langsung, Observasi
berikut dibutuhkan
untuk memberikan penjelasan mengenai graf CMO.
Observasi
Ketika graf G
p
disusun berdasar pada Teorema 1, dua verteks dari baris yang sama
dan kolom berurutan atau kolom yang sama dan baris berurutan biasanya memiliki sifat
yang sama dengan tetangganya.
Mengacu pada dua verteks dalam baris yang sama dan kolom berurutan atau kolom
yang sama dan baris berurutan sebagai verteks adjoining. Diketahui bahwa sebagian
besar tetangga dari dua verteks adjoining
dan adalah berbagi. Sehingga dapat
digunakan kembali
pewarnaan tetangga
verteks ketika mencari pewarnaan tetangga
dari verteks .
Ambil menjadi warna penetapan
untuk verteks ketika mewarnai tetangga dari
verteks . Kemudian berikan suatu pewarnaan
dari tetangga , partisi tetangga dari verteks
adjoining menjadi dua himpunan :
1 . Karena verteks adalah
tetangga dari , maka dapat digunakan
kembali warnanya;
. 2
. Karena verteks adalah bukan tetangga dari
, tidak ada warna penetapan awal untuk
. Dari keterangan di atas didapatkan suatu
cara pewarnaan dengan menetapkan warna verteks dalam himpunan 1 dan kemudian
menentukan warna minimum untuk verteks dalam himpunan 2. Selanjutnya akan
digunakan metode urutan derajat warna pertama untuk mencari batas atas dalam
menentukan suatu clique maksimum di graf
berdasarkan Strickland, DM. 2008 sebagai berikut:
Misalkan diberikan graf ,
1. Warnai verteks dengan warna
. 2. Warnai verteks yang adjacent dengan
dengan warna dan verteks yang tidak
adjacent dengan dapat diberi dengan
warna sebelumnya .
3. Kemudian untuk setiap verteks berturut-
turut, pilih warna berbeda dan minimum yaitu tidak ada warna verteks yang
adjacent dengan berbagi dengan warna
yang sama. Hasil
dari metode
pewarnaan ini
memberikan suatu batas atas graf yang akan digunakan untuk memeriksa
apakah clique maksimum yang didapatkan merupakan solusi optimal bagi masalah CMO
dengan syarat batas bawah graf sama
dengan batas atas graf .
V STUDI KASUS
Misalkan diberikan dua hipotetik protein yaitu, protein A yang memiliki 8 asam amino
dan protein B yang memiliki 7 asam amino. Contact map antara asam-asam amino dalam
protein A dan protein B adalah sebagai berikut:
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7
Protein B Protein A
Gambar 14 Hipotetik protein A dan B. Pada Gambar 14, terlihat bahwa terdapat
5 contact pada protein A dengan =
{ ,
, ,
, }
dan 6 contact pada protein B dengan =
{ ,
, ,
, ,
}. Sehingga didapatkan banyaknya verteks
={ ,
, ,
, ,
, ,
, ...,
} yang terbentuk berjumlah 30 verteks sebagai berikut:
Pro te
in A
Protein B B
1
B
3
B
1
B
5
B
1
B
6
B
3
B
5
B
3
B
6
A
1
A
3
A
1
A
6
A
2
A
6
A
3
A
6
A
6
A
8
B
5
B
7
Gambar 15 Verteks yang terbentuk.
5.1 Penentuan Graf .
