Mode Kerusakan Polymeric Foam Metode Elemen Hingga MEH

A A E s s ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = 2.24

2.6 Mode Kerusakan Polymeric Foam

Mode kerusakan sangat berkaitan dengan mekanisme keretakanperpatahan dari suatu material. Menurut Subhash dan Liu 2009, bentuk deformasi dinding foam ditunjukkan pada Gbr. 2.11 b. Kegagalan yang sering terjadi diakibatkan oleh bending terhadap dinding foam. Retakpatah terjadi di daerah percabangan model dinding foam seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.12 dilihat secara mikroskopik. Gambar 2.11 Mode Foam yang Dikenai Beban Tekan Di percabangan beberapa dinding foam sangat besar pengaruhnya untuk terjadi patah akibat bending bending fracture. Beberapa analisa mengenai Permukaan Foam Kerusakan dinding foam a. Kondisi sebelum rusak b. Kondisi setelah rusak Universitas Sumatera Utara kegagalan diakibatkan oleh konsentrasi tegangan di sekitar daerah percabangan. Adanya pengaruh lain seperti momen bending di dinding foam juga merupakan penyebab terjadi kerusakan terhadap foam. Kerusakan-kerusakan tersebut secara setempat menunjukkan keretakan di daerah tertentu jika ditinjau secara makroskopik seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.11 b. Gambar 2.12 Model Struktur Foam RetakPatah akibat Buckling terhadap Dinding Foam

2.7 Metode Elemen Hingga MEH

Bila suatu kontinum dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang kecil maka bagian-bagian yang kecil ini dinamakan elemen hingga. Proses pembagian suatu kontinum menjadi elemen-elemen kecil ini sering dikenal sebagai proses pembagian diskritisasi. Dinamakan elemen hingga karena ukuran elemen kecil ini berhingga bukannya kecil tak berhingga dan umumnya memiliki geometri yang lebih sederhana dibandingkan dengan kontinumnya. Metode Elemen Hingga dapat Patah akibat bending σ σ σ σ σ Universitas Sumatera Utara mengubah suatu masalah yang memiliki derajat kebebasan tak berhingga menjadi suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga pemecahannya akan lebih sederhana. Metode elemen hingga digunakan pada struktur yang dibebani atau pengaruh lain sehingga menyebabkan terjadinya deformasi juga disertai terjadinya tegangan dalam dan reaksi pada titik tertahan. Tujuan utamanya adalah untuk memperoleh nilai pendekatan bukan eksak tegangan dan peralihan yang terjadi pada suatu struktur. Deformasi pada elemen terjadi akibat peralihan titik nodal. Dalam masalah struktur perpindahan ini disebabkan oleh gaya yang terdapat pada titik nodal. Peralihan dan rotasi pada titik nodal disebut dengan DOF Degree of Freedom. Solusi akan lebih akurat bila DOF yang dipergunakan semakin banyak. Perpindahan titik nodal terhadap sumbu lokal x dan y sebagai fungsi perpindahan terhadap koordinat dilihat pada Pers. 2.25 dan Pers. 2.26 berikut ini: u x,y = α 1 + α 2 x + α 3 y 2.25 v x,y = β 1 + β 2 x + β 3 y 2.26 Secara umum perpindahan titik nodal diberikan oleh Pers. 2.27. [ ] T V U U = − 2.27 Pada kondisi statis, penggunaan MEH mengikuti konsep persamaan pegas elastis, dimana vektor gaya sebanding dengan perpindahan yang terjadi, sesuai dengan persamaan, f E = K u Hukum Hooke. Akan tetapi, pada kondisi dinamis Universitas Sumatera Utara penggunaan MEH mengikuti konsep gerak Hukum Newton II, yaitu persamaan f l = Mü . Pada kondisi dinamik, juga dikenal implisit dan eksplisit integrasi. Perbedaannya adalah pada pengabaian error. Implisit integrasi tidak dapat mengabaikan error bila tegangan yang dicapai sudah mencapai batas maksimun sedangkan eksplisit integrasi dapat mengabaikan error. Persamaan diferensial dinamik akan diperoleh dari keseimbangan gaya inersia, f I t, gaya redaman, f D t dan gaya elastis, f E t terhadap gaya luar, Ft. Persamaan kesetimbangan transient dinamik dapat ditunjukkan sebagai berikut : f I t + f D t + f E t = Ft 2.28 [M]ü + [C]ù+ [K]u = Ft 2.29 Notasi M, C, dan K adalah matrik massa, redaman dan kekakuan serta ü, ù, u adalah vektor percepatan, vektor kecepatan dan perpindahan. Harga C diperoleh dari persamaan: M K C β α + = 2.30 2.7.1 Metode elemen hingga untuk tiga dimensi solid Universitas Sumatera Utara Elemen tiga dimensi solid 3D dapat dipertimbangkan menjadi penyelesaian elemen hingga karena memiliki variabel yang terikat, yaitu: x, y, dan z. Sebagai contoh, struktur solid dapat ditunjukkan pada Gbr 2.13. Vektor-vektor gaya memiliki arah yang berubah-ubah. Gambar 2.13 Contoh Pembebanan terhadap Struktur 3D Solid Di dalam struktur 3D terdapat enam komponen tegangan, yaitu tiga tegangan normal dan tiga tegangan geser. Jenis elemen solid 3D dapat berupa tetrahedral atau heksahedral. Setiap node pada elemen memiliki tiga derajat kebebasan translasi, elemen akan terdeformasi dalam tiga arah yang berbeda. Formulasi elemen solid 3D merupakan kelanjutan persamaan solid 2D, perbedaannya terdapat pada fingsi x, y, dan z. 2.7.2 Elemen tetrahedral Sebuah struktur 3D ditunjukkan pada Gbr. 2.14 yang terdiri dari sejumlah elemen tetrahedral yang memiliki empat node dan empat permukaan. Elemen tetrahedral ditunjukkan pada Gbr. 2.18. Universitas Sumatera Utara Gambar 2.14 Struktur Solid 3D yang Dibagi Menjadi Elemen-elemen Tetrahedral Elemen tetrahedral mempunyai empat node, setiap node memiliki tiga derajat kebebasan u, v, dan w. Jumlah derajat kebebasan yang terdapat pada elemen tetrahedral adalah dua belas seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.15. Masing-masing node diberi tanda angka 1, 2, 3, dan 4 yang mengikuti aturan tangan kanan. Di dalam elemen, vektor perpindahan U merupakan fungsi koordinat x, y, dan z dan diinterpolasi menjadi fungsi bentuk, yaitu: U h x, y, z = N x, y, zd e 2.31 Gambar 2.15 Elemen Tetrahedral Universitas Sumatera Utara Vektor perpindahan nodal dapat ditentukan dengan: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 w v u w v u w v u w v u d e 2.32 Matriks fungsi bentuk mempunyai format: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 N N N N N N N N N N N N N 2.33 Untuk membuat fungsi bentuk harus digunakan koordinat volume. Koordinat volume node 1 didefinisikan sebagai: 1234 234 1 V V L P = 2.34 dimana V P234 dan V 1234 merupakan volume tetrahedral P234 dan 1234 seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.16. Universitas Sumatera Utara Gambar 2.16 Koordinat Volume Elemen Tetrahedral Koordinat volume node 2 s.d. 4 juga didefinisikan dengan cara yang sama, yaitu: 1234 134 2 V V L P = , 1234 124 3 V V L P = , 1234 123 4 V V L P = 2.35 Koordinat volume juga ditunjukkan sebagai perbandingan jarak titik P dan titik 1 terhadap bidang 234, yaitu: 234 1 234 1 − − = d d L P , 234 1 134 2 − − = d d L P , 234 1 124 3 − − = d d L P , 234 1 123 4 − − = d d L P 2.36 sehingga dapat dinyatakan dengan: L 1 + L 2 + L 3 + L 4 = 1 2.37 dimana V P234 + V P134 + V P124 + V P123 = V 1234 2.38 Hubungan antara koordinat volume dengan koodinat Cartesian adalah: 4 4 3 3 2 2 1 1 x L x L x L x L x + + + = 4 4 3 3 2 2 1 1 y L y L y L y L y + + + = 2.39 4 4 3 3 2 2 1 1 z L z L z L z L z + + + = Universitas Sumatera Utara Pers. 2.34 dan 2.36 dapat dinyatakan dengan: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 1 1 1 1 L L L L z z z z y y y y x x x x z y x 2.40 Invers matriks yang ditunjukkan pada Pers. 2.40 adalah: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ z y x d c b a d c b a d c b a d c b a V L L L L 1 6 1 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 4 3 2 1 2.41 dimana ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = l l l k k k j j j i z y x z y x z y x a det , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = l l k k j j i z y z y z y b 1 1 1 det ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = l l k k j j i z y z y z y c 1 1 1 det , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 1 1 det l l k k j j i z y z y z y d 2.42 Subscript i bervariasi dari 1 s.d. 4, dan j, k, l dinyatakan dalam permutasi siklus. Sebagai contoh, jika i = 1 maka j = 2, k = 3, l = 4. Jika i = 2 maka j = 3, k = 4, l = 1. Volume tetrahedral dapat dinyatakan dengan: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × = l l l k k k j j j i i i z y x z y x z y x z y x V 1 1 1 1 det 6 1 2.43 Universitas Sumatera Utara Fungsi bentuk dari elemen tetrahedral empat nodal dapat dinyatakan dengan: 6 1 z d y c x b a V L N i i i i i i + + + = = 2.44 Dari Pers. 2.44 dapat dilihat bahwa fungsi bentuk merupakan fungsi linier sehingga elemen tetrahedral empat nodal merupakan elemen linier. Persamaan 2.44 merupakan fungsi bentuk yang dibutuhkan penyelesaian permasalahan MEH. Seperti yang telah dijelaskan pada paragrap sebelumnya bahwa elemen 3D terdapat enam tegangan, yaitu: xx , yy, zz, yz, xz, xy.. Hubungan regangan { xx , yy, zz, yz, xz, xy } dapat dinyatakan dengan: = LU = LNd e = Bd e 2.45 dimana matriks B ditentukan oleh Pers. 2.45. N LN B x y x z y z z y x ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2.46 dengan menggunakan Pers. 2.32, matriks regangan, B dapat dinyatakan dengan: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 4 3 3 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 b d b d b d b d c d c d c d c d b c b c b c b c d d d d c c c c b b b b V B 2.47 Universitas Sumatera Utara Matriks regangan untuk elemen tetrahedral linier merupakan matriks konstan. Ini berimplikasi bahwa regangan pada elemen tetrahedral linier adalah konstan, begitu juga dengan tegangannya. Matriks kekakuan, k, untuk elemen solid 3D dapat dinyatakan dengan: ∫ = = Ve T e T e cB B V dV cB B k 2.48 Matriks massa dapat dinyatakan dengan: dV N N N N N N N N N N N N N N N N NdV N m Ve Ve T e ∫ ∫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 ρ ρ 2.49 dimana matriks di atas dinyatakan dengan: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = j i j i j i ij N N N N N N N 2.50 e q p n Ve m V q p n M q p n m dV L L L L 6 3 4 3 2 1 + + + + = ∫ 2.51 Integral pada Pers. 2.48 dapat ditentukan dengan Pers. 2.52. Sebuah langkah alternatif untuk menghitung matriks massa elemen solid 3D adalah menggunakan system koordinat natural khusus yang didefinisikan oleh Pers. 2.34 s.d. 2.36. Pada Gbr. 2.17 dapat dilihat bahwa bidang ξ = konstan yang didefinisikan pada garis P-Q sejajar terhadap garis 2-3 pada elemen. Pada saat P berpindah ke titik 1, ξ = 0, dan P Universitas Sumatera Utara berpindah ke titik 2, ξ = 1. Pada Gbr. 2.18 bidang = konstan didefinisikan sebagai garis 1-4 pada segitiga dengan garis 1-4, titik P terletak pada garis 2-3. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 20 e e V m ρ 2.52 Pada saat P berpindah ke titik 2, = 0, ketika P berpindah ke titik 3 maka = 1. Bidang ξ = konstan didefinisikan pada Gbr. 2.17, bidang P-Q-R sejajar dengan bidang 1-2-3. Pada saat P berpindah ke titik 4 maka = 0 dan ketika P berpindah ke titik 2 maka = 1. Gambar 2.17 Koordinat Natural, ξ = Konstan Universitas Sumatera Utara Gambar 2.18 Koordinat Natural, = Konstan Gambar 2.19 Koordinat Natural, = Konstan Bidang 1-2-3 pada elemen berada pada bidang x-y. Hubungan antara xyz dan ξ dapat dinyatakan dengan langkah berikut ini. Pada Gbr. 2.20, koordinat titik P diinterpolasi menggunakan koordinat x, y, dan z di titik 2 dan 3: x p = x 3 – x 2 + x 2 y p = y 3 – y 2 + y 2 2.53 z p = 0 Universitas Sumatera Utara Koordinat titik B diinterpolasi menggunakan koordinat x, y, dan z di titik 1 dan P, yaitu: x B = ξ x p – x 1 + x 1 = ξ x 3 – x 2 + ξ x 2 – x 1 + x 1 y B = ξ y p – y 1 + y 1 = ξ y 3 – y 2 + ξ y 2 – y 1 + y 1 2.54 z B = 0 Gambar 2.20 Koordinat Cartesian xyz dari Titik O Koordinat pada titik O diinterpolasi menggunakan koordinat x, y, dan z di titik 4 dan B: x = x 4 – x 4 – x B = x 4 – x 4 – x 1 + ξ x 2 – x 1 – ξ x 2 – x 3 y = y 4 – y 4 – y B = y 4 – y 4 – y 1 + ξ y 2 – y 1 – ξ y 2 – y 3 2.55 z = 1 – z 4 Fungsi bentuk yang ditunjukkan oleh matriks pada Pers. 2.33 dapat ditulis dengan: Universitas Sumatera Utara N 1 = 1 – ξ N 2 = ξ 2.56 N 3 = ξ 1 – N 4 = 1 – ξ Matriks Jacobian antara xyz dan ξ yang dibutuhkan diberikan oleh: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ζ η ξ ζ η ξ ζ η ξ z z z y y y x x x J 2.57 Determinan matriks Jacobian dapat ditentukan melalui Pers. 2.54 dan 2.55, yaitu: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + + + − + = det 4 31 21 41 31 31 21 31 21 41 31 31 21 z y y y y y y x x x x x x J η ξ ξ ζ ξ ζ η ζ η ξ ξ ζ ξ ζ η ζ 2.58 Matriks massa dapat diperoleh dengan: [ ] ζ η ξ ρ ρ d d d J N N dV N N m Ve T T e ∫ ∫∫∫ = = 1 1 1 det 2.59 sehingga ∫∫∫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 1 1 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 2 6 N N N N N N N N N N N N N N N N V m e e ξζ ρ 2.60 dimana N ij diberikan oleh Pers. 2.50 dan fungsi bentuknya didefinisikan oleh Pers. 2.56. Perhitungan integral pada Pers. 2.60 akan menghasilkan mastiks massa yang sama dengan Pers. 2.52. Universitas Sumatera Utara Vektor gaya pada nodal untuk elemen solid 3D dapat ditentukan dengan Pers. 2.61. Jika beban terdistribusi f s pada garis 2-3 yang ditunjukkan pada Gbr. 2.15 maka gaya nodal dapat ditentukan dengan: dl f f f N f sz sy sx l T e ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∫ 4 3 ] [ 2.61 Jika beban terdistribusi merata, f sx , f sy , dan f sz konstan maka Pers. 2.61 menjadi: { } { } { } { } { } { } ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = × × × × × × − 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 4 3 2 1 sz sy sx sz sy sx e f f f f f f l f 2.62 dimana l 3-4 adalah panjang garis 3-4. Persamaan 2.61 mengimplikasikan bahwa gaya yang terdistribusi dibagi pada dua node. Matriks kekakuan, k e , matriks massa, m e , dan vektor gaya nodal merupakan penyelesaian persamaan MEH. 2.7.3 Pemodelan dengan bidang simetri Banyak struktur dan objek menunjukkan bentuk yang simetri seperti diperlihatkan oleh Gbr. 2.21. Universitas Sumatera Utara Gambar 2.21 Perbedaan Jenis Simetri terhadap Struktur Gambar 2.21 menunjukkan jenis-jenis model yang biasa ditemukan pada struktur yang simetri. Sebuah objek seperti tabung dapat digolongkan simetri yang aksial. Pemodelan menjadi sturktur yang lebih sederhana bermanfaat untuk mengurangi derajat kebebasan dan waktu proses simulasi menggunakan komputer. Ketepatan analisa dapat ditingkatkan sebagai sistem persamaan menjadi lebih kecil dan kesalahan numerik dapat dikurangi. Simetri pencerminan merupakan simetri bidang utama dan umumnya terdapat pada struktur persegi dan balok. Sebagian struktur merupakan pencerminan dari bagian struktur yang lain. Posisi pencerminan disebut dengan bidang simetri. Sebuah a. Simetri pencerminan b. Simetri aksial c. Simetri bersiklus d. Simetri berulang Universitas Sumatera Utara struktur dikatakan simetri pencerminan jika simetri dalam geometri, kondisi pembebanan, dan sifat-sifat materialnya. Banyak struktur menunjukkan jenis yang simetri, beberapa struktur juga memiliki bidang simetri yang berkelipatan. Sebagai contoh model balok yang ditunjukkan pada Gbr. 2.22. Gambar 2.22 Model Balok dengan Dua Bidang Simetri Gambar 2.23 Struktur Solid 2D dengan Aksis Simetri x = c Bidang simetri Pemodelan balok Universitas Sumatera Utara Struktur yang ditunjukkan pada Gbr. 2.22 tergolong simetri bidang tunggal dan model sebagian, atau dapat juga dijadikan simetri dua bidang untuk mengurangi model elemen hingga dari struktur yang sebenarnya. Gambar 2.23 menunjukkan simetri bidang 2D solid. Simetri solid dengan simetri aksis di x = c. Bagian sebelah kanan dari daerah domain dimodelkan dengan pembebanan mengikuti kondisi batas simetri di titik aksis simetri, yaitu: u 1 = 0 u 2 = 0 2.61 u 3 = 0 dimana u i i = 1, 2, 3 disebut perpindahan dalam arah x pada titik i. Persamaan 2.61 merupakan persamaan tumpuan satu titik karena setiap persamaan hanya terdapat satu derajat kebebasan yang tidak diketahui. Kondisi pembebanan terhadap struktur yang simetri penting diperhatikan. Pembebanan dianggap simetri jika beban yang terjadi merupakan refleksi dari beban pada bidang yang lain seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.24. Sebuah persoalan menjadi simetri karena kondisi struktur secara keseluruhan, kondisi pendukung seperti beban adalah simetri pada x = 0. Sebuah persoalan dikatakan tidak simetri apabila pada bidang simetri perpindahan arah y tidak nol sehingga beban menjadi tidak simetri, kondisi ini diperlihatkan pada Gbr. 2.25. Pemodelan sebagian struktur merupakan hasil menggunakan kondisi batas yang tidak simetri akan memberikan hasil yang berbeda dengan simetri bidang. Contoh yang ditunjukkan pada Gbr. 2.25 Universitas Sumatera Utara menunjukkan kondisi batas anti simetri dimana bidang deformasi terhadap bidang simetri adalah nol. Perlu diketahui bahwa rotasi terhadap bidang simetri adalah nol. Gambar 2.24 Struktur Balok yang Simetri dengan Beban yang Sederhana Gambar 2.25 Struktur Balok yang Tidak Simetri dengan Beban yang Sederhana Beberapa aturan umum yang harus diperhatikan untuk menentukan kondisi batas pada bidang dengan beban yang simetri adalah: Universitas Sumatera Utara 1. Tidak terdapat perpindahan terhadap bidang normal yang simetri 2. Tidak terdapat rotasi terhadap aksis yang sejajar dengan bidang simetri. Untuk menentukan kondisi batas pada bidang dengan beban yang simetri adalah: 1. Tidak terdapat perpindahan terhadap bidang yang sejajar dengan bidang simetri 2. Tidak terdapat rotasi terhadap aksis yang sejajar dengan bidang simetri. Tabel 2.2 dan 2.3 menyatakan kondisi batas untuk bidang dengan beban yang simetri dan tidak simetri. Tabel 2.2 Kondisi Batas untuk Beban yang Simetri Bidang simetri u v w x y z xy Bebas Bebas Ditumpu Ditumpu Ditumpu Bebas yz Ditumpu Bebas Bebas Bebas Ditumpu Ditumpu zx Bebas Ditumpu Bebas Ditumpu Bebas Ditumpu Tabel 2.3 Kondisi Batas untuk Beban yang Tidak Simetri Bidang simetri u v w x y z xy Ditumpu Ditumpu Bebas Bebas Bebas Ditumpu yz Bebas Ditumpu Ditumpu Ditumpu Bebas Bebas zx Ditumpu Bebas Ditumpu Bebas Ditumpu Bebas Universitas Sumatera Utara Struktur solid dikatakan simetri aksial apabila struktur dapat ditimbulkan oleh bidang putar terhadap aksis. Bidang solid dapat dimodelkan secara sederhana menggunakan elemen 2D atau 1D yang disebut elemen aksisimetri. Sebagai contoh, tabung silinder dapat dimodelkan menggunakan elemen akismetris 1D seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.26 dan 2.27. Gambar 2.26 Struktur Silinder Menggunakan Elemen Aksisimetri 1D Gambar 2.27 Struktur 3D Menggunakan Elemen Aksisimetri 2D

2.8 Aplikasi Polymeric Foam Diperkuat Serat TKKS