Eksponen Lokal Masuk Dua Cycle Dwiwarna Dengan Panjang Selisih 2
BAB 2 DIGRAPH Pada bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar tentang digraph yang meliputi de- finisi dua cycle, primitifitas dari digraph, eksponen, dan lokal eksponen. Dengan demikian, akan mempermudah peneliti dalam menjelaskan teori digraph dwiwar- na pada bab berikutnya.
2.1. Dua Cycle Digraph atau graph berarah adalah sekumpulan titik-titik atau verteks yang di- hubungkan oleh busur berarah atau arc. Berikut ini definisi yang diungkapkan oleh Suwilo (2001). Definisi 2.1. Sebuah graph berarah (directed graph) atau digraph D adalah him- punan hingga dan tak kosong V = {1, 2, . . . , n} yang unsur-unsurnya disebut dengan verteks, bersama dengan himpunan E yang merupakan pasangan-pasangan verteks di D yang unsur-unsurnya disebut dengan arc.
Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1.
Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks. v v 1 2
✲
❅ ❅
❅ ❅
❅ ❅ ✠ ❘❅ ❅ ■ ❅ ❅ ✲ ❅ ✲ ❅ v v v • • • 5
4
3 Gambar 2.1 Representasi digraphDari Gambar 2.1 terdapat himpunan V yakni V = {v , v , v , v , v } dan terdapat
1
2
3
4
5 himpunan busur E yakni E = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (5, 4)}.
, v , . . . , n Andaikan digraph D terdiri atas n verteks v j = v
1 2 , didefinisikan
derajat masuk (In Degree) yaitu banyaknya busur berarah yang menuju v j dino- tasikan sebagai id(v j ), dan derajat keluar (Out Degree) yaitu banyaknya busur berarah yang keluar dari v j dinotasikan sebagai od(v j ). Pada Contoh 2.1 terlihat , v , v , v yang memiliki derajat masuk yaitu v
2
3
4 5 , id(v 2 ) = 1 karena hanya terda- pat satu busur berarah yang menuju v , id(v ) = 2, id(v ) = 2, dan id(v ) = 1.
2
3
4
5 Serta yang memiliki derajat keluar yaitu v , v , v , v , od(v ) = 3 karena terdapat
1
2
4
5
1
tiga busur berarah yang keluar (meninggalkan) v , od(v ) = 1, od(v ) = 1, dan
1
2
4
od(v 5 ) = 1.
Pada digraph D terdapat path, cycle dan walk. Sebuah path atau lintasan sederhana dari verteks u ke verteks v adalah sebuah lintasan dimana tidak terjadi pengulangan satu atau lebih verteks dari u ke v. Sebuah lintasan dari verteks u ke verteks v disebut cycle apabila verteks awal dan ujungnya sama atau dapat ditulis u = v. sebuah lintasan dari verteks u ke verteks v disebut walk apabila terdapat pengulangan satu atau beberapa verteks dari u ke v.
Suatu jalan w merupakan jalan yang menghubungkan dua buah verteks u dan v di digraph D. Panjang jalan w dinotasikan dengan ℓ(w) yaitu banyaknya arc atau busur berarah yang dilalui bila bergerak dari verteks u ke verteks v. Dalam hal ini jalan dapat berupa path, cycle ataupun walk.
Pada Contoh 2.1 dapat ditemukan beberapa path, cycle, dan walk yaitu:
1. Terdapat dua buah path dari verteks 1 ke verteks 3, yaitu v → v → v
1
2
3
dengan panjang ℓ(v , v ) = 2 dan v → v → v → v dengan panjang
1
3
1
5
4
3 ℓ (v , v ) = 3.
1
3
2. Terdapat sebuah path dari verteks 1 ke verteks 2, yaitu v
1 → v 2 dengan
1 2 ) = 1.
, v panjang ℓ(v
3. Terdapat sebuah path dari verteks 1 ke verteks 4, yaitu v
1 → v 5 → v 4 dengan
, v panjang ℓ(v ) = 2.
1
4
4. Terdapat cycle dari verteks 1 ke verteks 1, v → v → v → v dengan
1
5
4
1 panjang ℓ(v , v ) = 3.
1
1
5. Terdapat walk dari verteks 1 ke verteks 3, v
1 → v 5 → v 4 → v 1 → v 2 → v
3 dengan panjang 5.
Dua cycle didefinisikan sebagai sebuah digraph D yang terdiri tepat dua cycle. Dua cycle yang dimaksud dapat bersinggungan maupun berpotongan. Dua cycle yang bersinggungan dapat bersinggungan pada sebuah busur berarah atau pada salah satu verteks di D. Representasi dua cycle dapat dilihat pada Contoh
2.2. Contoh 2.2. Representasi dari dua cycle v v v v v v v 1 4 1 4 1 4 6
v v v v v v v v 2 3 2 3 5 2 3 5
(a) (b) (c)
Gambar 2.2 (a) Dua cycle berpotongan, (b) dua cycle bersinggungan pada se- buah busur berarah, dan (c) dua cycle bersinggungan pada satuverteks Pada Gambar 2.2 (a) melukiskan dua cycle yaitu dari v → v → v → v
1
2
3
1
dengan panjang 3 dan dari v → v → v → v → v dengan panjang 4. Gambar
1
2
3
4
1
2.2 (b) melukiskan dua cycle yaitu dari v
3 → v 4 → v 5 → v 3 dengan panjang 3
dan dari v → v → v → v → v dengan panjang 4. Gambar 2.2 (c) melukiskan
1
2
3
4
1
dua cycle yaitu dari v → v → v → v dengan panjang 3 dan dari v → v →
3
5
6
3
1
2 v → v → v dengan panjang 4.
3
4
1
2.2. Primitifitas Sebuah digraph dikatakan terhubung kuat (strongly connected) bila untuk setiap pasangan verteks (u, v) di D terdapat jalan dari verteks u ke v dan dari v ke u.
Sebaliknya, sebuah digraph dikatakan tidak terhubung kuat bila untuk beberapa pasangan verteks (u, v) di D tidak terdapat jalan dari u ke v atau dari v ke u
. Untuk lebih memahami digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat dapat dilihat pada Gambar 2.3. Gambar 2.3 (a) memperlihatkan sebuah digraph yang terhubung kuat karena untuk setiap verteks u dan v di D, terdapat jalan dari u ke v dan dari v ke u. Misalnya jalan dari verteks 2 ke verteks 1 yaitu 2 → 3 → 1, lalu jalan dari verteks 1 ke verteks 2 yaitu 1 → 3 → 2, begitu pula untuk pasangan verteks yang lain. Gambar 2.3 (b) memperlihatkan sebuah digraph yang tidak terhubung kuat. Pada digraph ini, cukup dengan melihat adanya jalan dari verteks 1 ke verteks 3 yaitu 1 → 3, namun tidak terdapat jalan dari verteks 3 ke verteks 1, sehingga merupakan digraph yang tidak terhubung kuat. Proposisi berikut memperlihatkan hubungan antara terhubung kuat dengan verteks-verteks pada cycle. v v 1 1
❘ ❄ ✻ v v v v 2 3 2 3
(a) (b)
Gambar 2.3 (a) Digraph terhubung kuat, dan (b) digraph tak terhubung kuat Proposisi 2.2.Andaikan D adalah suatu digraph terhubung kuat maka setiap verteks terletak pada cycle.
, v , . . . , v Bukti. Andaikan digraph D terdiri atas n verteks {v n }. Ambil sebarang
1
2
verteks u dan v di D, karena D terhubung kuat, maka terdapat sebuah lintasan sederhana (path) dari verteks u ke verteks v dan dari verteks v ke verteks u. Sehingga gabungan dua buah path tersebut u → · · · → v → · · · → u membentuk sebuah cycle di D. Akibatnya, verteks u dan v terletak pada cycle.
Suatu digraph D yang terhubung kuat dikatakan primitif apabila untuk dua buah verteks u dan v di D terdapat jalan dari u ke v dan dari v ke u dengan panjang k. Nilai k digunakan untuk perhitungan eksponen dari digraph D . Bilangan bulat positif terkecil k disebut eksponen dari digraph D dan ditulis dengan exp(D).
Andaikan D adalah digraph yang terhubung kuat. Misalkan terdapat sebuah verteks tertentu x di D. Untuk dua buah verteks u dan v di D terdapat jalan w xu yaitu jalan dari verteks x ke verteks u dan jalan w xv yaitu jalan dari verteks x ke verteks v. Jika ℓ(w xu ) = ℓ(w xv ), maka verteks u dan v dikatakan ekivalen dan ditulis dengan u ∼ v. Pemilihan verteks tertentu adalah bebas. Untuk setiap verteks y di D, w yu adalah jalan dari verteks y ke verteks u, w yu dapat diilustrasikan sebagai: w w xu y → x → u dan jalan w yv yaitu jalan dari verteks y ke verteks v, w yv dapat diilustrasikan sebagai: w w xv y
→ x → v. Karena u dan v ekivalen, ini berakibat jalan dari y ke u dan dari y ke v memiliki panjang yang sama dimana w merupakan jalan dari y ke x.
, C , . . . , C Andaikan C = {C r } adalah himpunan semua cycle-cycle di D.
1
2 Misalkan ℓ(C) adalah matriks baris dengan kolom ke-i dimana i = 1, 2, . . . ,r, dan
entri-entri dari ℓ(C) adalah panjang cycle C i (ℓ(C i )), yakni ℓ
(C) = {ℓ(C
1 ), ℓ(C 2 ), . . . , ℓ(C r )}
dan misalkan m = gcd(ℓ(C
1 ), ℓ(C 2 ), . . . , ℓ(C r )). Definisikan H sebagai sebuah sub-
grup dari grup bilangan bulat Z, dimana H dibangun oleh himpunan ℓ(C). Yakni H = hℓ(C ), ℓ(C ), . . . , ℓ(C r
1 2 )i. Karena Z adalah sebuah grup siklik, demikian juga
halnya dengan H. Akibatnya H dibangun oleh sebuah bilangan bulat, dalam hal ini H = gcd(ℓ(C
1 ), ℓ(C 2 ), . . . , ℓ(C r )).
Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, maka k = gcd(ℓ(C ), ℓ(C ), . . . , ℓ(C r )). Suatu digraph adalah primitif jika k = 1 dan
1
2
imprimitif jika k > 1. Teorema berikut menjelaskan tentang imprimitifitas dari digraph D. Teorema 2.3.
Andaikan D adalah sebuah digraph terhubung kuat. D adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari panjang cycle-cycle di D adalah 1. Bukti. Andaikan digraph D adalah primitif. Maka untuk setiap pasangan verteks u dan v di D, u ∼ v, Karena ℓ(w uv ) ∈ H untuk setiap pasangan verteks u dan v di D dan setiap jalan (w ) dari u ke v maka u ∼ v. Di ambil jalan dengan uv panjang 1, maka 1 ∈ H, karena H = hgcd(ℓ(c
1 ), ℓ(c 2 ), . . . , ℓ(c t )i maka pembagi persekutuan terbesar dari panjang cycle-cycle di D adalah 1.
Sebaliknya, andaikan pembagi persekutuan terbesar dari panjang cycle-cycle di D adalah 1, maka H = Z sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D dan setiap jalan w uv dari u ke v di D diperoleh ℓ(w uv ) ∈ H. Sehingga masing- masing pasangan verteks di D adalah ekivalen. Akibatnya digraph D adalah primitif.
Contoh 2.3.
Pada Gambar 2.3 (a), sebuah dua cycle dengan panjang 3 dari v → v → v → v dan dengan panjang 4 dari v → v → v → v → v .
1
2
3
1
1
2
3
4
1 Gcd(3, 4) = 1, sehingga dua cycle tersebut adalah primitif.
2.3. Matriks Ketetanggaan
(2)
Andaikan D adalah sebuah digraph atas n verteks {v , v , . . . , v n }. Sebuah
1
2
matriks ketetanggaan A = (a ij ) dari D adalah sebuah sebuah matriks bujur- sangkar berordo n yang didefinisikan sebagai berikut.
( 1, jika terdapat busur berarah dari verteks i ke verteks j, a ij = 0, jika sebaliknya dimana i, j = 1, 2, . . . , n.
Berikut ini diberikan contoh matriks ketetanggaan dari sebuah digraph. Contoh 2.4. Dari Gambar 2.3 (a) dan (b), matriks ketetanggaannya adalah 0 1 1 0 1 1 A B .
= 1 0 1 = 1 0 1 1 0 0 0 0 0 Sebuah matriks ketetanggaan A dari sebuah digraph D dikatakan primitif, k jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga seluruh entri dari A adalah posi- tif. Hal ini sesuai dengan pendapat Wielandt (Schneider, 2002), yaitu sebuah k
> matriks tak negatif A dikatakan primitif jika A
0. Pada Contoh 2.3, matriks ketetanggaan A adalah matriks ketetanggaan dari digraph primitif, hal ini dapat dilihat bahwa 0 1 1
1 A 1 0 1 .
= A = 1 0 0 Dengan mengambil bilangan bulat positif k yang lebih dari 1 diperoleh 2 0 1 1 2 2 4 1 3 4 4 5
2
3
4
5 A 1 1 1 , A 2 1 2 , A 3 2 3 , A 5 3 5 .
= = = = 0 1 1 2 0 1 1 2 2 4 1 3 k k
> Untuk nilai k > 5, A
0. Sehingga disimpulkan seluruh entri pada A dengan k ≥ 4 adalah positif.
Matriks B adalah matriks dari digraph yang tak terhubung kuat sehingga tidak primitif. Andaikan B adalah primitif maka untuk bilangan bulat positif k, k k B >
0. Bila primitif, maka untuk nilai k yang besar, seluruh entri B adalah positif. Diambil k = 30 sehingga diperoleh 1 0 1
30 B 0 1 1 .
= 0 0 0 k Untuk bilangan bulat positif k > 30, entri dari B hanya berada pada interval [0, 1]. Karena masih terdapat entri yang bernilai 0, mengakibatkan digraph D dengan matriks ketetanggaan B tidak primitif.
2.4. Eksponen Eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat jalan dari u ke v dan dari v ke u dengan panjang k. Eksponen dari digraph tersebut dinotasikan dengan exp(D). Dalam hal ini, eksponen hanya ada bila digraph D adalah primitif.
Contoh 2.5. Dari Gambar 2.3 (a), akan diperlihatkan bahwa nilai eksponennya adalah 4 yaitu dengan memperlihatkan semua kemungkinan jalan dengan panjang 1, jalan dengan panjang 2, jalan dengan panjang 3, dan jalan dengan panjang 4.
1. Jalan dengan panjang 1,yaitu v → v , v → v , v → v , v → v , v → v
1
2
1
3
2
1
2
3
3
1 Karena tidak terdapat jalan yang panjangnya 1 dari v ke v , v ke v , v
1
1
2
2
3 ke v , dan v ke v maka 1 bukanlah eksponennya.
2
3
3
2. Jalan dengan panjang 2, yaitu v v v
1 → v 2 → v
3 2 → v 1 → v
2 3 → v 1 → v
3
v → v → v v → v → v
1
2
1
2
1
3
v → v → v v → v → v
2
3
1
3
1
2 Karena tidak terdapat jalan yang panjangnya 2 dari v ke v , dan v ke v
1
2
3
1 maka 2 bukanlah eksponennya. v
2
1
→ v
1
→ v
3
v
3
→ v
1
→ v
3
→ v
2
→ v
v
→ v
1
→ v
3
→ v
2
→ v
1
→ v
3
3. Jalan dengan panjang 3, yaitu v
→ v
1
→ v
2
1
→ v
1
→ v
3
→ v
1
→ v
2
v
3
→ v
1
→ v
2
→ v
→ v
→ v
3
v
1
→ v
2
→ v
1
→ v
3
→ v
2
v
2
3
2
→ v
→ v
1
→ v
3
v
3
→ v
1
→ v
3
→ v
2
v
2
1
2
→ v
3
→ v
1
v
1
3 → v 1 → v 2 → v
v
2
2 → v 3 → v 1 → v
v
1
1 → v 2 → v 3 → v
→ v
→ v
→ v
→ v
1
v
3
2 → v
1 → v 2 → v 1 → vv
1
1 → v 2 → v 1 → v 2 → v
4. Jalan dengan panjang 4, yaitu v
maka 3 bukan- lah eksponennya.
2
ke v
3
1 Karena tidak terdapat jalan yang panjangnya 3 dari v
2
3
→ v
1
→ v
2
v
3
→ v
1
→ v
2
→ v
1
v
1
2 Karena terdapat jalan yang panjangnya 4 dari setiap pasangan verteks (u, v) maka eksponen dari digraph tersebut adalah 4.
Eksponen suatu digraph D dapat dicari dengan menggunakan perpangkatan dari matriks ketetanggaan A. Brualdi dan Ryser (1991), menyatakan bahwa entri (i, j) dari A k merupakan banyaknya jalan dari verteks v i ke v j dengan panjang k. Berikut ini diperlihatkan hubungan antara suatu digraph dengan matriks kete- tanggaannya.
Proposisi 2.4.
Andaikan A adalah suatu matriks ketetanggaan dari digraph D. Entri (i, j) dari A k menyatakan banyaknya jalan dari v i ke v j yang panjangnya k di D.
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada k. Jika k = 1 maka setiap entri a
1 ij
dari A
1 menyatakan banyaknya jalan dari v i ke v j yang panjangnya satu.
Asumsikan setiap entri a k ij dari A k menyatakan banyaknya jalan dari v i ke v j yang panjangnya adalah k di D, untuk k ≥ 1.
- 1 ij
Akan diperlihatkan a k
adalah banyaknya jalan dari v i ke v j yang pan- jangnya k + 1, untuk k ≥ 1. Perhatikan setiap jalan dari v i ke v j di D dengan panjang k + 1 dapat didekomposisikan sebagai jalan dari verteks v i ke v ℓ dengan panjang k untuk ℓ = 1, 2, . . . , n dan dilanjutkan dengan busur berarah dari v ℓ ke k v a j , sehingga a ℓj menyatakan jalan dengan panjang k + 1 dari v i ke v j di D. iℓ k Andaikan tidak terdapat jalan yang panjang k dari v i ke v ℓ di D, maka a = 0 k iℓ sedemikian sehingga a a ℓj = 0. Ini berarti tidak terdapat jalan dengan panjang iℓ k + 1 dari v i ke v j yang melalui v ℓ di D sehingga banyaknya jalan dengan panjang k
- 1 dari v i ke v j di D adalah: k k k k X n a a + a a + · · · + a a nj = a a ℓj . i 1j 2j 1 i
- 1
- 1 a a a . ij iℓ = ℓj ℓ k
- 1
2 in iℓ ℓ k k =1
Karena A = A A diperolehlah k k X n
=
Hal ini berakibat a adalah benar menyatakan banyaknya jalan dari v i ke v j ij k dengan panjang k+1 di D. Jadi, setiap entri (i, j) dari A menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k dari v i ke v j .
Dengan menggunakan Proposisi 2.4 akan dicari eksponen dari Contoh 2.3 (a). Dari subbab 2.3 sebelumnya telah diketahui bahwa matriks ketetanggaan 0 1 1 4 1 3 4 4 5
4 5
A 1 0 1 3 2 3 5 3 5 = . Nilai dari A = dan A = . Karena setiap 1 0 0 1 2 2 4 1 3 k
> entri dari A 0 dipenuhi oleh k ≥ 4 dan dari definisi eksponen adalah bilangan positif terkecil k sehingga eksponen dari digraph tersebut adalah 4.
2.5. Eksponen Lokal Digraph , v , . . . , v
Andaikan D adalah sebuah digraph primitif atas n verteks V = {v
1 2 n }.
Untuk v i ∈ V di D, eksponen lokal dari verteks v i di D adalah bilangan bulat positif terkecil ℓ sehingga untuk setiap verteks v j dimana j = 1, 2, . . . , n terdapat jalan dari verteks v i ke verteks v j di D dengan panjang ℓ. Eksponen verteks v i disebut juga sebagai eksponen lokal keluar dari verteks v dan dinotasikan dengan i
, D expout(v i ). Andaikan D adalah digraph primitif yang terdiri dari n verteks. Jika verteks- verteks di D adalah (v , v , . . . , v n ) sedemikian hingga
1
2 expout(v , D ) ≤ expout(v , D ) ≤ · · · ≤ expout(v n , D ).
1
2 Contoh 2.6.
Dari Gambar 2.3 (a), akan dicari eksponen lokal dari setiap verteks k k di D berdasarkan Proposisi 2.4 yaitu dengan melihat entri a dari A , dimana ij semua entri pada baris ke-i harus bernilai positif.
Matriks ketetanggaan dari Gambar 2.3 (a) adalah 0 1 1 A 1 0 1 .
= 1 0 0 2 0 1
2
2 Nilai dari A = 1 1 1 , pada A terlihat baris ke-2 memiliki entri yang positif,
0 1 1 1 2 2
3
3
sehingga expout(v , D ) = 2. Untuk A = 2 1 2 , pada A terlihat baris ke-1
2
2 0 1 , D dan ke-2 memiliki entri-entri yang positif, maka expout(v ) = 3. Selanjutnya
1
4 1 3
4
4 A = 3 2 3 , pada A terlihat setiap baris memiliki entri-entri yang positif,
1 2 2 , D sehingga expout(v
3 ) = 4.
Dari Contoh 2.6 expout(v , D ) = 3, expout(v , D ) = 2, dan expout(v , D ) =
1
2
3
4. Bila hasil ini dibandingkan dengan nilai eksponen pada subbab 2.4 yaitu , D exp(D) = 4, maka untuk setiap i = 1, 2, . . . , n nilai expout(v i ) ≤ exp(D).