Inversi Linear

15.1 Inversi Linear

Diketahui data eksperimen tersaji dalam tabel berikut ini

Lalu data tersebut di-plot dalam sumbu x dan y. Sekilas, kita bisa melihat bahwa data yang

telah di-plot tersebut dapat didekati dengan sebuah persamaan garis, yaitu a 1 x i +a 0 . Artinya,

262 BAB 15. INVERSI kita melakukan pendekatan secara linear, dimana fungsi pendekatan-nya adalah

P (x i )=a 1 x i +a 0 (15.1) Problemnya adalah berapakah nilai konstanta a 1 dan a 0 yang sedemikian rupa, sehingga posisi

garis tersebut paling mendekati atau bahkan melalui titik-titik data yang telah di-plot di atas? Dengan kata lain, sebisa mungkin y i sama dengan P (x i ) atau dapat diformulasikan sebagai

dimana jumlah data, m = 10. Suku yang berada disebelah kiri dinamakan fungsi error (error function ), yaitu

Semua data yang diperoleh melalui eksperimen, fungsi error-nya tidak pernah bernilai nol. Ja- di, tidak pernah didapatkan garis yang berhimpit dengan semua titik data ekperimen. Namun demikian, kita masih bisa berharap agar fungsi error menghasilkan suatu nilai, dimana nilai tersebut adalah nilai yang paling minimum atau paling mendekati nol. Harapan tersebut di- wujudkan oleh metode least square dengan sedikit modifikasi pada fungsi error-nya sehingga menjadi

Agar fungsi error bisa mencapai nilai minimum, maka syarat yang harus dipenuhi adalah:

∂E(a 0 ,a 1 )

dimana i = 0 dan 1, karena dalam kasus ini memang cuma ada a 0 dan a 1 . Maka mesti ada dua buah turunan yaitu:

∂E(a m

2 (y i −a 1 x i −a 0 )(−1) = 0

i=1

0 .m + a 1 x i =

i=1

i=1

15.1. INVERSI LINEAR 263 dan

∂E(a m

i −a 1 x i −a 0 )(−x i )=0

Akhirnya persamaan (15.7) dan (15.8) dapat dicari solusinya berikut ini:

Coba anda bandingkan kedua hasil di atas dengan rumus least square yang terdapat pada buku Praktikum Fisika Dasar keluaran Departemen Fisika-UI. Mudah-mudahan sama persis. OK, berdasarkan data ekperimen yang ditampilkan pada tabel diawal catatan ini, maka didapat:

Jadi, fungsi pendekatan-nya, P (x i ), adalah

(15.13) Solusi least square dengan pendekatan persamaan garis seperti ini juga dikenal dengan nama

P (x i ) = 1, 538x i − 0, 360

lain yaitu regresi linear. Sedangkan nilai a 0 dan a 1 disebut koefisien regresi. Gambar di bawah ini menampilkan solusi regresi linear tersebut berikut semua titik datanya

Tentu saja anda sudah bisa menduga bahwa selain regresi linear, mungkin saja terdapat regresi parabola atau quadratik dimana fungsi pendekatannya berupa persamaan parabola, yaitu:

P (x 2

i )=a 2 x i +a 1 x i +a 0 (15.14) dimana koefisien regresinya ada tiga yaitu a 0 ,a 1 dan a 2 . Kalau anda menduga demikian, maka

dugaan anda benar! Bahkan sebenarnya tidak terbatas sampai disitu. Secara umum, fungsi pendekatan, P (x i ), bisa dinyatakan dalam aljabar polinomial berikut ini:

+ ... + a 2 x i +a 1 x i +a 0 (15.15)

264 BAB 15. INVERSI

14 P(x) = 1.538*x − 0.36

Namun untuk saat ini, saya tidak ingin memperluas pembahasan hingga regresi parabola, dan polinomial. Saya masih ingin melibatkan peranan metode eliminasi gauss dalam menyelesaikan problem least square seperti yang selalu saya singgung pada catatan-catatan kuliah saya yang terdahulu. Nah, kalau metode eliminasi gauss hendak digunakan untuk mencari solusi regresi linear, kita bisa mulai dari persamaan (15.7) dan (15.8), yaitu:

Keduanya bisa dinyatakan dalam operasi matrik:

Kalau anda mengikuti catatan-catatan terdahulu, pasti anda tidak asing lagi dengan dengan se- mua elemen-elemen matrik di atas. Semua sudah saya ulas pada catatan yang berjudul Aplikasi Elimininasi Gauss: Model Garis. Silakan anda lanjutkan perhitungan matrik tersebut hingga

diperoleh koefisien regresi a 0 dan a 1 . Selamat mencoba!