Faktorisasi matrik

11.1 Faktorisasi matrik

Pada semua catatan yang terdahulu, telah diulas secara panjang lebar bahwa sistem persamaan linear dapat dicari solusinya secara langsung dengan metode eliminasi gauss. Namun perlu juga diketahui bahwa eliminasi gauss bukan satu-satunya metode dalam mencari solusi sistem persamaan linear, misalnya ada metode matrik inversi seperti yang dijelaskan pada catatan yang paling terakhir. Terlepas dari masalah in-efisiensi penyelesaiannya, yang jelas metode invers matrik bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Nah, pada catatan kali ini, saya ingin mengetengahkan sebuah metode yang lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, yaitu metode faktorisasi matrik yang umum dikenal sebagai LU-decomposition. Metode ini sekaligus menjadi pengantar menuju metode Singular Value Decomposition, (SVD) , suatu metode yang saat ini paling “handal” dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dan merupakan bagian dari metode least square.

Seperti biasa, kita berasumsi bahwa sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam ope- rasi matrik

(11.1) Pada metode LU-decomposition, matrik A difaktorkan menjadi matrik L dan matrik U, dimana

Ax = b

dimensi atau ukuran matrik L dan U harus sama dengan dimensi matrik A. Atau dengan kata lain, hasil perkalian matrik L dan matrik U adalah matrik A,

A = LU

224 BAB 11. METODE LU DECOMPOSITION sehingga persamaan (12.4) menjadi

LU x = b

Langkah penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition, diawali de- ngan menghadirkan vektor y dimana,

(11.3) Langkah tersebut tidak bermaksud untuk menghitung vektor y, melainkan untuk menghitung

Ux=y

vektor x. Artinya, sebelum persamaan (11.3) dieksekusi, nilai-nilai yang menempati elemen- elemen vektor y harus sudah diketahui. Lalu bagaimana cara memperoleh vektor y? Begini caranya,

(11.4) Kesimpulannya, metode LU-decomposition dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut:

Ly = b

• Melakukan faktorisasi matrik A menjadi matrik L dan matrik U → A = LU. • Menghitung vektor y dengan operasi matrik Ly = b. Ini adalah proses forward-substitution

atau substitusi-maju.

• Menghitung vektor x dengan operasi matrik U x = y. Ini adalah proses backward-substitution atau substitusi-mundur.

Metode LU-decomposition bisa dibilang merupakan modifikasi dari eliminasi gauss, kare- na beberapa langkah yang mesti dibuang pada eliminasi gauss, justru harus dipakai oleh LU- decomposition . Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut

Sistem tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik Ax = y,

Pada metode eliminasi gauss, matrik A dikonversi menjadi matrik triangular melalui urutan operasi-operasi berikut: (P 2 − 2P 1 ) → (P 2 ), (P 3 − 3P 1 ) → (P 3 ), (P 4 − (−1)P 1 ) → (P 4 ), (P 3 − 4P 2 ) → (P 3 ), (P 4 − (−3)P 2 ) → (P 4 ). Disisi lain, vektor b ikut berubah nilainya menyesuaikan

11.1. FAKTORISASI MATRIK 225 proses triangularisasi,

Lain halnya dengan metode LU-decomposition dimana vektor b tidak mengalami perubahan. Yang berubah hanya matrik A saja, yaitu menjadi matrik L dan matrik U,

0 0 0 −13 Jadi matrik L dan U masing-masing adalah

Coba bandingkan matrik U di atas dengan matrik hasil triangularisasi dari metode eliminasi gauss pada persamaan (11.6), sama persis bukan? Jadi, cara memperoleh matrik U adalah dengan proses triangularisasi! Lantas, bagaimana cara memperoleh matrik L? Begini caranya: (1) elemen-elemen diagonal matrik L diberi nilai 1 (Asal tahu saja, cara ini dikenal dengan metode Doolittle). (2) elemen-elemen matrik L yang berada di atas elemen-elemen diagonal diberi nilai 0. (3) sedangkan, elemen-elemen matrik L yang berada di bawah elemen-elemen diagonal diisi dengan faktor pengali yang digunakan pada proses triangularisasi eliminasi gauss.

Misalnya pada operasi (P 2 − 2P 1 ) → (P 2 ), maka faktor pengalinya adalah 2; pada operasi (P 3 − 3P 1 ) → (P 3 ), maka faktor pengalinya adalah 3, dan seterusnya.

Inilah letak perbedaannya, seluruh faktor pengali tersebut sangat dibutuhkan pada metode LU-decomposition untuk membentuk matrik L. Padahal dalam metode eliminasi gauss, seluruh

faktor pengali tersebut tidak dimanfaatkan alias dibuang begitu saja. Disisi lain, vektor b tidak mengalami proses apapun sehingga nilainya tetap. Jadi, proses konversi matrik pada metode LU-decomposition hanya melibatkan matrik A saja!

Setelah langkah faktorisasi matrik A dilalui, maka operasi matrik pada persamaan (11.5) menjadi,

1  000 1 1 0 3 x

 3 410     0 0 3 13    x 3  

226 BAB 11. METODE LU DECOMPOSITION Langkah berikutnya adalah menentukan vektor y, dimana Ly = b,

Dengan proses substitusi-maju, elemen-elemen vektor y dapat ditentukan,

y 1 = 4, 2y 1 +y 2 = 1, 3y 1 + 4y 2 +y 3 = −3, −y 1 − 3y 2 +y 4 =4

maka diperoleh y 1 = 4, y 2 = −7, y 3 = 13, y 4 = −13.

Langkah terakhir adalah proses substitusi-mundur untuk menghitung vektor x, dimana U x = y,

Melalui proses ini, yang pertama kali didapat solusinya adalah x 4 , kemudian x 3 , lalu diikuti x 2 , dan akhirnya x 1 .

x 4 =1

(13 − 13x 4 )=0

3 x 2 = −(−7 + 5x 4 +x 3 )=2

x 1 = 4 − 3x 4 −x 2 = −1

akhirnya diperoleh solusi x 1 = −1, x 2 = 2, x 3 = 0, dan y 4 = 1. Demikianlah contoh penyelesai- an sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition.

Sekali matrik A difaktorkan, maka vektor b bisa diganti nilainya sesuai dengan sistem per- samaan linear yang lain, misalnya seluruh nilai di ruas kanan diganti menjadi

x 2 + 3x 4 =

2x 1 +

3x 1 −

x 3 + 2x 4 = 14

−x 1 + 2x 2 + 3x 3 −

x 4 = -7

11.2. ALGORITMA 227 Dalam operasi matrik menjadi

Perhatikan baik-baik! Matrik A sama persis dengan contoh sebelumnya. Perbedaannya hanya pada vektor b. Selanjutnya, dengan metode LU-decomposition, persamaan (11.8) menjadi

Silakan anda lanjutkan proses perhitungannya dengan mencari vektor y sesuai contoh yang telah diberikan sebelumnya. Pada akhirnya akan diperoleh solusi sebagai berikut: x 1 = 3,

x 2 = −1, x 3 = 0, dan y 4 = 2.