Metode Euler

7.1 Metode Euler

Suatu persamaan diferensial ( dy dt ) dinyatakan dalam fungsi f (t, y), dimana y(t) adalah persama- an asalnya

y(a) = α

dt

Nilai t dibatasi dari a hingga ke b. Sementara, syarat awal telah diketahui yaitu pada saat t = a maka y bernilai α. Akan tetapi kita sama sekali tidak tahu bentuk formulasi persamaan asalnya y(t). Gambar 7.1 memperlihatkan kurva persamaan asal y(t) yang tidak diketahui ben- tuk formulasinya. Tantangannya adalah bagaimana kita bisa mendapatkan solusi persamaan diferensial untuk setiap nilai y(t) yang t-nya terletak diantara a dan b ?

Tahap awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak yang sama di dalam interval [a,b]. Jarak antar point dirumuskan sebagai

h= b−a

dengan N adalah bilangan integer positif. Nilai h ini juga dikenal dengan nama step size . Selanjutnya nilai t diantara a dan b ditentukan berdasarkan

t i = a + ih,

i = 0, 1, 2, ..., N

90 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK y

y(t )= b N y( )

y(t)

y’=f(t,y)

y(t)

y(a)=a y(t ) 2 y’=f(t,y)

y(a)=a

y(t ) 1 w 1 y’(a)=f(a, ) a

y(t )= 0 a a

t 0 =a t 1 t 2 ..... t N = b t Gambar 7.1: Kiri : Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar

t 0 =a t 1 t 2 .....

h. Pasangan t 1 adalah y(t 1 ), pasangan t 2 adalah y(t 2 ), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangan t 1 sebagai w 1 . Perhatikan gambar itu sekali lagi! w 1 dan y(t 1 ) beda tipis alias tidak sama persis.

Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang konti- nyu dan memiliki turunan dalam interval [a,b]. Dalam deret Taylor, fungsi y(t) tersebut diru- muskan sebagai

dengan memasukkan h = (t i+1 −t i ), maka

i ) tak lain adalah fungsi turunan f (t i , y(t i )), maka

dan, karena ′ y(t) memenuhi persamaan diferensial (7.1), dimana y (t

Metode Euler dibangun dengan pendekatan bahwa suku terakhir dari persamaan (7.6), yang memuat turunan kedua, dapat diabaikan. Disamping itu, pada umumnya, notasi penulisan bagi y(t i ) diganti dengan w i . Sehingga metode Euler diformulasikan sebagai

w i+1 =w i + hf (t i ,w i ) dengan syarat awal w 0 =α (7.7) dimana i = 0, 1, 2, .., N − 1.

Contoh

Diketahui persamaan diferensial y ′

=y−t 2 + 1 batas interval: 0 ≤ t ≤ 2 syarat awal: y(0) = 0, 5 (7.8) dimana N = 10. Disini terlihat bahwa batas awal interval, a = 0; dan batas akhir b = 2.

Dalam penerapan metode euler, pertama kali yang harus dilakukan adalah menghitung step-

91 size ( h), caranya

7.1. METODE EULER

kemudian dilanjutkan dengan menentukan posisi titik-titik t i berdasarkan rumus

t i = a + ih = 0 + i(0, 2) sehingga t i = 0, 2i serta menetapkan nilai w 0 yang diambil dari syarat awal y(0) = 0, 5 w 0 = 0, 5

Dengan demikian persamaan euler dapat dinyatakan sebagai

i − 0, 008i + 0, 2

dimana i = 0, 1, 2, ..., N − 1. Karena N = 10, maka i = 0, 1, 2, ..., 9. Pada saat i = 0 dan dari syarat awal diketahui w 0 = 0, 5, kita bisa menghitung w 1

w = 1, 2w

Pada saat i=1

w 2 = 1, 2w

Pada saat i=2

w 3 = 1, 2w

Demikian seterusnya, hingga mencapai i=9

w 10 = 1, 2w