Metode Finite Difference

7.4 Metode Finite Difference

Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut:

d 2 y dy dx 2

y(b) = β (7.17) atau juga dapat dituliskan dalam bentuk lain

(x) = p(x) (x) + q(x)y(x) + r(x), dx

a ≤ x ≤ b,

y(a) = α,

(7.18) Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan numerik terhadap ′′ y

y ′ = p(x)y + q(x)y + r(x)

dan y ′ . Caranya adalah pertama, kita memilih angka integer sembarang yaitu N dimana N > 0 dan membagi interval [a, b] dengan (N + 1), hasilnya dinamakan h (lihat Gambar 7.6)

Dengan demikian maka titik-titik x yang merupakan sub-interval antara a dan b dapat dinyatak- an sebagai

(7.20) Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan meman-

x i = a + ih,

i = 1, 2, 3, ..., N

faatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi y ′′ dan y ′ pada x i+1 dan x i−1 seperti berikut ini

h ′ 2 ′′

y(x i+1 ) = y(x i + h) = y(x i ) + hy (x i )+

y (x i )

dan

h ′ 2 ′′

y(x i−1 ) = y(x i − h) = y(x i ) − hy (x i )+

y (x i )

7.4. METODE FINITE DIFFERENCE 107 Jika kedua persamaan ini dijumlahkan

y(x ′′

i+1 ) + y(x i−1 ) = 2y(x i )+h 2 y (x i )

Dari sini y ′′ dapat ditentukan

h 2 y ′′ (x i ) = y(x i+1 ) − 2y(x i ) + y(x i−1 )

) − 2y(x i ) + y(x i−1 )

i )=

Dengan cara yang sama, ′ y (x

i ) dapat dicari sebagai berikut

Selanjutnya persamaan (7.23) dan (7.24) disubstitusikan ke persamaan (7.18) maka y(x i+1 ) − 2y(x i ) + y(x i−1 )

y(x i+1 ) − y(x i−1 )

2 = p(x i )

+ q(x i )y(x i ) + r(x i )

h 2h

−y(x i+1 ) + 2y(x i ) − y(x i−1 )

y(x i+1 ) − y(x i−1 )

2 = −p(x i )

− q(x i )y(x i ) − r(x i )

h 2h

−y(x i+1 ) + 2y(x i ) − y(x i−1 )

i )y(x i ) = −r(x i )

h 2 2h

Sebelum dilanjut, saya nyatakan bahwa y(x i+1 )=w i+1 dan y(x i )=w i serta y(x i−1 )=w i−1 . Maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

+ q(x i )w i = −r(x i )

h 2 h 2 − 1+ p(x i ) w i−1 +2+h q(x i ) i

p(x i ) w i+1

2 − 1− 2 = −h r(x i )

(7.25) dimana i=1,2,3...sampai N, karena yang ingin kita cari adalah w 1 , w 2 , w 3 ,..., w N . Sementara,

satu hal yang tak boleh dilupakan yaitu w 0 dan w N +1 biasanya selalu sudah diketahui. Pada persamaan (7.17), jelas-jelas sudah diketahui bahwa w 0 = α dan w N +1 = β; keduanya dikenal sebagai syarat batas atau istilah asingnya adalah boundary value. Topik yang sedang bahas ini juga sering disebut sebagai Masalah Syarat Batas atau Boundary Value Problem.

Sampai disini kita mendapatkan sistem persamaan linear yang selanjutnya dapat dinyatakan sebagai bentuk operasi matrik

Aw =b

108 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N×N

sedangkan vektor w dan b adalah

1 −h r(x 1 )+1+ 2 p(x 1 ) 0

N )+1− 2 p(x N ) N +1

Dalam hal ini vektor w dapat dicari dengan mudah, yaitu w − =A 1 b (7.27)

Agar lebih jelas, mari kita lihat contoh berikut; diketahui persamaan diferensial dinyatakan sebagai

2 sin(ln x)

y(2) = 2 Dengan metode Finite-Difference, solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membagi interval

1 ≤ x ≤ 2 menjadi sub-interval, misalnya kita gunakan N = 9, sehingga spasi h diperoleh

Dari persamaan diferensial tersebut, kita dapat menentukan fungsi p, fungsi q dan fungsi r sebagai berikut:

2 p(x i )=− x i

2 q(x i )= x 2 i

sin(ln x i ) r(x i )= x 2 i

Script matlab telah dibuat untuk menyelesaikan contoh soal ini. Isi script fungsi p yang disimpan dengan nama file p.m: