Aplikasi: Mencari sumber sinyal

Aplikasi: Mencari sumber sinyal

===

13.5 Aplikasi: Mencari sumber sinyal

Metode Newton bisa diaplikasikan untuk mencari koordinat sumber sinyal atau pulsa yang me- rambat pada suatu medium. Misalnya, suatu sumber sinyal terletak pada koordinat (-4,-8), kemudian ada 4 detektor yang menangkap sinyal yang dipancarkan oleh sumber tadi. Masing- masing detektor memiliki koordinat dan waktu tempuh sinyal dari sumber ke tiap detektor sudah diketahui dengan asumsi kecepatan rambat sinyal adalah 28 m/dt. Informasi mengenai koordinat detektor serta waktu tempuh sinyal diperlihatkan oleh Tabel 13.1

Tabel 13.1: Koordinat Sumber Sinyal dan Waktu Tempuh Sinyal

Detektor

X Y Waktu tempuh (dt)

Detektor 4 -3 -8

Posisi Sumber Sinyal dan Posisi 4 Detektor

Gambar 13.1: Koordinat sumber sinyal berada pada x = −4 dan y = −8

Hubungan antara waktu tempuh sinyal (t) dan koordinat suatu detektor adalah

dimana (x p ,y p ) adalah koordinat sumber sinyal; (x, y) adalah koordinat detektor; v adalah ke- cepatan rambat sinyal; dan t adalah waktu tempuh sinyal. Dengan demikian, sistem persamaan

252 BAB 13. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR untuk detektor-1 hingga detektor-4 adalah

atau dapat diformulasikan sebagai

dimana i = 1,2,3 dan 4.

Sekarang anggap saja kita tidak tahu koordinat sumber sinyal. Lalu kita percayakan ke- pada inversi non-linear (dengan metode Newton) untuk menemukan koordinat sumber sinyal tersebut. Untuk membahas ini lebih jauh, saya mulai dengan memunculkan kembali formulasi metode Newton yaitu

f (lama) (baru) = (lama) −

f ′ (lama)

Berdasarkan formulasi tersebut, yang pertama harus dilakukan adalah menentukan fungsi f (lama). Dalam kasus ini, fungsi f (lama) diperoleh dengan memodifikasi persamaan 13.4 dimana varia- bel t i yang semula terletak di sebelah kiri tanda sama-dengan, dipindah ke sebelah kanan tanda sama-dengan, sehingga menjadi

Mengingat jumlah detektor-nya ada 4, maka fungsi f untuk masing-masing detektor adalah

−t 3 v (13.8)

−t dimana nilai-nilai x 1 ,y 1 ,t 1 ,x 2 ,y 2 ,t 2 ,x 3 ,y 3 ,t 3 ,x 4 ,y 4 ,t 4 sudah tertera di dalam Tabel 13.1 dan

v sudah diketahui yaitu 28 m/dt. Kemudian saya kumpulkan setiap fungsi f (x p ,y p ) kedalam

13.5. APLIKASI: MENCARI SUMBER SINYAL 253 sebuah vektor f

Parameter yang belum diketahui (unknown parameters) adalah x p dan y p , yang tidak lain adalah koordinat sumber sinyal; dan itu yang akan kita cari dengan metode Newton. Formulasi metode Newton untuk x p dan y p adalah

f ((x p ,y p ) lama ) (x p ,y p ) baru = (x p ,y p ) lama −

f ′ ((x p ,y p ) lama )

atau saya tulis lebih simple sebagai berikut

atau lebih tepatnya lagi seperti ini

dimana i = 1, 2, 3 dan 4 sesuai dengan jumlah detektor. Karena f i telah dinyatakan sebagai sebuah vektor f (lihat persamaan 13.10), maka

Nah sekarang bagaimana cara mendapatkan ′ f

i (x p ,y p )? Untuk menjawab pertanyaan terse-

but, mari kita ambil fungsi f 1 dari detektor 1 (persamaan 13.7)

Operasi turunan terhadap fungsi f 1 hanya dilakukan terhadap unknown-paramters saja yaitu x p

dan y p . Dengan demikian, turunan fungsi f 1 terhadap x p adalah ∂f 1 (x p −x 1 )

Sedangkan, turunan terhadap y p adalah

Tentu dengan cara yang sama, kita bisa mendapatkan nilai-nilai untuk ′ f

2 (x p ,y p ), f 3 (x p ,y p ) dan

4 (x p ,y p ); disesuaikan dengan jumlah detektor. Semua nilai tersebut dapat digabung dalam

254 BAB 13. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR sebuah matrik yaitu

Setiap elemen matrik adalah turunan pertama dari suatu unknown-parameter (bisa terhadap x p maupun y p ). Matrik yang tiap elemennya berbentuk turunan pertama dikenal dengan nama matrik Jacobian. Jumlah baris matrik Jacobian ditentukan oleh banyaknya detektor atau oleh banyaknya data. Sedangkan jumlah kolomnya ditentukan oleh banyaknya jumlah unknown- parameter .

Nah, sekarang formulasi metode Newton saya tulis kembali dalam bentuk

dimana f (x p ,y p ) berupa vektor dan J(x p ,y p ) berupa matrik. Lalu bagaimana cara menghitung pembagian antara vektor dan matrik dalam komputasi? Kalau anda masih ingat dengan persa- maan matrik Gm = d, tentu anda masih ingat juga bagaimana caranya mendapatkan vektor m, yaitu

− 1 m = [G T G] G d

dalam hal ini bukankah

d m=

dimana d berupa vektor dan G berupa matrik? Bentuknya sama persis dengan vektor f dibagi matrik Jacobian pada Persamaan 13.14. Dengan demikian formulasi Newton dalam komputasi dapat saya nyatakan sebagai

p ) − [J (x p ,y p )J(x p ,y p )] 1 J T (x p ,y p )f(x p ,y p ) (13.15) Jika saya munculkan vektor m dimana

maka formulasi Newton di atas dapat saya modif menjadi

− 1 = m − [J T (m)J(m)] J (m)f(m)

13.6. APLIKASI: MENCARI PUSAT GEMPA 255 dimana m b adalah vektor yang berisi unknown-parameters ter-update hasil iterasi sekian kali.

Untuk mengakhiri catatan ini, berikut saya tuliskan script Matlab untuk kasus mencari koo- rdinat sumber sinyal. Dalam hal ini saya membuat fungsi eksternal untuk menghitung elemen- elemen vektor f dan elemen-elemen matrik Jacobian J. Sebagai nilai awal, saya pilih x p = -2 dan y p = 5. Saat iterasi berakhir, akan didapat x p = -3,9986 dan y p = -7,9997 dengan jumlah iterasi = 8. Sedangkan solusi yang sesungguhnya adalah x p = -4 dan y p = -8.

1 % PROGRAM - Mencari Sumber Sinyal 2 % Diketahui 4 stasiun menerima sinyal dari sumber yang sama. Tiap-tiap 3 % stasiun memiliki koordinat (x,y). Waktu tempuh sinyal untuk tiap-tiap 4 % stasiun sudah diketahui. Tentukan koordinat sumber sinyal tersebut. 5 % Supriyanto, Fisika-UI, 15-12-2012

7 clc 8 clear all 9 close all

11 x = [6 7 2 -3];

% koordinat x tiap stasiun

12 y = [10 -6 9 -8];

% koordinat y tiap stasiun

13 t = [0.7354 0.3992 0.6438 0.0357]; % waktu tempuh sinyal di tiap stasiun 14 v = 28;

% kecepatan rambat sinyal

16 m = [-2 5];

% dugaan awal posisi sumber sinyal xp = -2 dan yp = 5

18 epsilon = 1e-12;

% batas ketelitian hasil perhitungan

19 itermaks = 1000;

% batas iterasi maksimum

21 % ============ INVERSI NON-LINEAR ======================================= 22 for p = 1:itermaks

23 xl = m(1); 24 yl = m(2); 25 fungsi = f(x,y,xl,yl,v,t);

% mendapatkan vektor f

26 [dtdxp,dtdyp] = ft(x,y,xl,yl,v);

% menghitung turunan tiap detektor

27 % ==== Menghitung elemen-elemen matrik Jacobian ==================== 28 for k = 1:4

% kebetulan jumlah datanya hanya 4

29 J(k,1) = dtdxp(k); 30 J(k,2) = dtdyp(k);

% kebetulan matrik Jacobiannya cuma 2 kolom

31 end 32 m = [xl;yl] - inv(J’*J)*J’*fungsi’; 33 if sqrt((m(1)-xl)^2+(m(2)-yl)^2) < epsilon

34 break 35 end 36 end

38 % ============ HASIL INVERSI : POSISI SUMBER SINYAL ===================== 39 xp = m(1)

% koordinat x sumber sinyal

40 yp = m(2)

% koordinat y sumber sinyal

41 Jml_iterasi = p

% jumlah iterasi