Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-

-Menggunakan Matlab-

Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id ) ( Email: supriyanto@sci.ui.ac.id atau supri92@gmail.com )

Edisi Pertama Revisi terakhir tgl: 24 Oktober 2014

Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeristas Indonesia 2014

Untuk Muflih Syamil Hasan Azmi Farah Raihana Nina Marliyani

Usia bukan ukuran kedewasaan

Ketekunan adalah jalan terpercaya menuju kesuksesan

Kata Pengantar

Segala puji saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kesempatan yang telah Dia dibe- rikan untuk menulis Buku Komputasi untuk Sains dan Teknik. Buku ini disusun dengan tujuan yaitu, pertama, untuk memperkenalkan sejumlah metode komputasi numerik kepada maha- siswa sarjana ilmu fisika; kedua, memperkenalkan tahap-tahap pembuatan program komputer (script) dan logika pemrograman dalam bahasa Matlab untuk memecahkan problem fisika seca- ra numerik. Rujukan utama buku adalah pada buku teks standar yang sangat populer di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Aca- demic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh script yang mudah dipahami oleh programmer pemula.

Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, semoga ia dapat memberikan sumbangan yang berarti untuk peningkatan kapasitas dan kompetensi anak bangsa generasi penerus. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email: supriyanto@sci.ui.ac.id

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Dju- hana yang telah berkenan memberikan format L A TEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Nu- merik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku ini. Tak lupa saya ingin sampaikan rasa terima kasih kepada Dikti, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, RI atas segala dukungan dan apresiasi terhadap penerbitan buku ini.

Depok, 24 Oktober 2014 Supriyanto Suparno Depok, 24 Oktober 2014 Supriyanto Suparno

Daftar Isi

Lembar Persembahan i Kata Pengantar

iii Daftar Isi

iii Daftar Gambar

ix Daftar Tabel

xiii

1 Pendahuluan

1.1 Inisialisasi variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Perhitungan yang berulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Mengenal cara membuat grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Gerak mobil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Osilasi teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Baris-baris pembuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Matriks dan Komputasi

2.1 Mengenal matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Inisialisasi matriks dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Macam-macam matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 matriks transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.2 matriks bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.4 matriks diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.5 matriks identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.6 matriks upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.7 matriks lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.8 matriks tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.9 matriks diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.10 matriks positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.1 Penjumlahan matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.3 Perkalian matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.4 Komputasi perkalian matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.5 Perkalian matriks dan vektor-kolom ..................... 35

2.5.6 Komputasi perkalian matriks dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 Fungsi internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Fungsi eksternal .................................... 42

3.3 Fungsi eksternal pada operasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Fungsi eksternal perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Aplikasi dalam Sains

4.1 Metode gravitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Mencari Solusi Satu Variabel

5.1 Definisi akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Metode bisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1 Script Matlab metode bisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.1 Contoh 1: penerapan metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.2 Script metode Newton untuk contoh 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.3 Contoh 2: penerapan metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6 Integral Numerik

6.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3 Peran faktor pembagi, n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3.1 Source code metode integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4 Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5 Adaptive Quardrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6 Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.6.2 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.6.2 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Diferensial Numerik

7.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Latihan I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.4 Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.4.1 Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5 Latihan II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.6 Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.7 PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.7.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.7.2 Script Matlab untuk PDP Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.7.3 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.8 PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.8.1 Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.8.3 Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.8.4 Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.9 PDP Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.9.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8 Metode Iterasi 141

8.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.2 Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.2.1 Script perhitungan norm dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.2.2 Script perhitungan norm tak hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.2.3 Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.3 Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.3.1 Script metode iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3.2 Stopping criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.3.3 Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9 Metode Eliminasi Gauss 171

9.1 Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.2 Teknik penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 9.2 Teknik penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9.2.1 Cara menghilangkan sebuah variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.2.2 Permainan indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.3 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.3.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.3.2 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.4 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.4.1 Matrik Augmentasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.4.2 Penerapan pada contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.4.3 Source-code dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.4.4 Optimasi source code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.4.5 Pentingnya nilai n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

9.4.6 Jangan puas dulu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.4.7 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.5 Function Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.6 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.6.1 Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.6.2 Mencari invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 205

10.1 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10.1.1 Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.2 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.3 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.4 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

11 Metode LU Decomposition 223

11.1 Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12 Interpolasi 233

12.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

12.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

13 Solusi Sistem Persamaan Non Linear 247

13.1 Fungsi ber-input vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

13.2 Fungsi ber-output vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

13.3 Fungsi ber-output matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.4 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.5 Aplikasi: Mencari sumber sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13.6 Aplikasi: Mencari pusat gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 13.6 Aplikasi: Mencari pusat gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

14 Metode Monte Carlo 257

14.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

15 Inversi 261

15.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

15.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

16 Lampiran 267

16.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

16.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Indeks 269

Daftar Gambar

1.1 Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . . . .

1.3 Kurva simpangan benda yang mengalami gerak osilasi teredam . . . . . . . . . .

1.4 Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz dalam rentang waktu dari 0 hingga 1 detik .

1.5 Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . . .

1.6 Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Dua buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Tiga buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 Lintasan elektron ketika memasuki medan magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Kapasitor dan induktor masing-masing terhubung seri dengan sumber tegangan bolak-balik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Kurva lintasan gerak parabola yang dihasilkan oleh fungsi eksternal parabol() . . 43

4.1 Vektor percepatan gravitasi dalam arah vertikal akibat benda anomali dan akibat bumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Benda anomali berupa bola berada dibawah permukaan bumi . . . . . . . . . . . 57

4.3 Variasi nilai percepatan gravitasi terhadap perubahan jarak horizontal . . . . . . 63

5.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu pada x = −2 dan x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, ya- itu pada x = −1, 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Fungsi kuadrat yang memiliki 2 akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Awal perhitungan: batas kiri adalah a = 0, batas kanan adalah b = 1; sementara p adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Iterasi kedua: batas kiri adalah a = 0,5, batas kanan adalah b = 1; sementara p adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6 Iterasi ketiga: batas kiri adalah a = 0,5, batas kanan adalah b = 0,75; sementara p adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.7 Perubahan f (p) dan p terhadap bertambahnya iterasi . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.8 Nilai akar ditandai oleh lingkaran kecil pada kurva yang memotong sumbu-x . . . 72 5.8 Nilai akar ditandai oleh lingkaran kecil pada kurva yang memotong sumbu-x . . . 72

6.1 Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara meto-

de Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam batas-batas a dan

b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida. .......... 80

6.2 Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara me- tode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f (x)

dibagi 2 dalam batas interval a−x 1 dan x 1 − b dengan lebar masing-masing adalah h .. 81

6.3 Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas

b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing- masing adalah h. ..................................... 84

7.1 Kiri : Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar h. Pasangan t 1 adalah y(t 1 ), pasangan t 2 adalah y(t 2 ), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangan t 1 sebagai w 1 . Perhatikan gambar itu sekali lagi! w 1 dan y(t 1 ) beda tipis alias tidak sama persis. .......................... 90

7.2 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu nilai w i . ......................................... 94

7.3 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta orde 4, yaitu nilai w i . ................................... 98

7.4 Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.5 Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.6 Kurva suatu fungsi f (x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang

dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah x 0 = a hingga batas atas x 6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.8 Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference . . . . . . 115

7.9 Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur

pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.10 Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Ja- rak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.11 Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 . . . . . . . 124

7.12 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forward- difference , sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . . 125

DAFTAR GAMBAR xiii

10.1 Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10.2 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 209

10.3 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 214

10.4 Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.5 Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

12.1 Kurva hasil interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

12.2 Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memi-

liki pasangan koordinat (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.3 Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik . . . . . . . . . . 238

12.4 Sejumlah polinomial cubic yaitu S 0 ,S 1 ,S 2 ... dan seterusnya yang saling sambung- menyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik . . . . . . . . . . . 238

12.5 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

12.6 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

12.7 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

12.8 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

13.1 Koordinat sumber sinyal berada pada x = −4 dan y = −8 . . . . . . . . . . . . . 251

14.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

14.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 258

14.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 259 14.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 259

Daftar Tabel

5.1 Perubahan nilai f (p) dan p hingga iterasi ke-20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1 Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.1 Solusi yang ditawarkan oleh metode euler w i dan solusi exact y(t i ) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.2 Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 ( w i ) dan solusi exact y(t i ) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (7.16) . . . . . . . . . . . . 103

7.4 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Ko- lom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . . . . . . . . . 128

7.5 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backward- difference dimana k = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.6 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu ( t) dalam 1-dimensi dengan metode backward-difference dan Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.1 Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2 Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.1 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 205

10.2 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 210

10.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

13.1 Koordinat Sumber Sinyal dan Waktu Tempuh Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13.2 Data Gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 13.2 Data Gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Bab 1

Pendahuluan

✍ Objektif : ⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel.

⊲ Mengenal operasi matematika. ⊲ Mengenal fungsi-fungsi dasar. ⊲ Mengenal cara membuat grafik.

1.1 Inisialisasi variabel

Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel da- lam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses per- hitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variabel dalam proses perhitungan.

Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol ×, lalu me- nekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya yaitu angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan memanfa-

atkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi 1 dengan angka

A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan angka 3, misalnya

2, misalnya

B = 3. Setelah itu kita ketikkan A ∗ B; maka pada layar monitor akan tampil angka 6. Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya kita ketikkan

C = A ∗ B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan dalam variabel

C. Skrip 2 Matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai berikut

A = 2; B = 3;

C=A*B 1 inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel

2 Skrip atau dalam bahasa Inggris ditulis Script adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di- eksekusi) oleh komputer

2 BAB 1. PENDAHULUAN Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata.

Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu

F = ma, dengan m adalah massa,

a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka, script Matlab dapat ditulis seperti berikut ini

massa = 2; percepatan = 3; gaya = massa * percepatan

Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda underscore. Perhatikan contoh berikut

besar_arus = 2; beda_potensial = 3; nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus

Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan kom- puter dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan.

1.2 Perhitungan yang berulang

Di dalam Matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel t hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya sangat mudah, cukup dengan mengetikkan

t = 0:10;

Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir. Contoh lainnya, jika Anda hanya menginginkan bilangan genap, cukup ketikkan

t = 0:2:10;

angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yang muncul adalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Urutan angka dapat dibalik dengan mengetikkan

t = 10:-2:0;

sehingga angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya

t = -10:3:4;

maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2. Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini, maka kita dimudahkan dalam melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita ingin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2

m/s 2 . Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut

v=v o + at

3 Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama di saat se-

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK

dang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu pada t=1

v 1 = (0) + (2)(1) ⇒ 2m/s pada t=2

v 2 = (0) + (2)(2) ⇒ 4m/s pada t=3

v 3 = (0) + (2)(3) ⇒ 6m/s pada t=4

v 4 = (0) + (2)(4) ⇒ 8m/s pada t=5

v 5 = (0) + (2)(5) ⇒ 10m/s skrip Matlab untuk tujuan di atas adalah

a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t

Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut

Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, skrip sebelumnya mesti ditambah satu baris lagi

1 a = 2; 2 t = 1:5; 3 vo = 0; 4 s = vo * t + 1/2 * a * t.^2

Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda titik pada t. ∧ 2 . Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t harus di-

kuadratkan. Jika Anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis t ∧ 2 , maka skrip tersebut tidak akan bekerja.

1.3 Mengenal cara membuat grafik

1.3.1 Gerak mobil

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam bentuk grafik. Pada contoh mobil balap di atas, kita bisa menggambar data perubahan kece- patan mobil terhadap waktu dengan menambahkan perintah plot seperti ditunjukkan oleh skrip dibawah ini

1 a = 2; 2 t = 1:5; 3 vo = 0; 4 v = vo + a * t 5 plot(t,v,’o’)

4 BAB 1. PENDAHULUAN

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu

Jika skrip tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar, beberapa baris perlu ditambahkan

1 a = 2; 2 t = 1:5; 3 vo = 0; 4 v = vo + a * t; 5 plot(t,v,’o’); 6 xlabel(’Waktu (s)’); 7 ylabel(’Kecepatan (m/s)’) 8 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

Data Kecepatan vs Waktu 10

Kecepatan (m/s)

Waktu (s)

Gambar 1.2: Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK

1.3.2 Osilasi teredam

Gerak dari suatu benda yang mengalami osilasi teredam (damped oscillations) memenuhi persa- maan berikut:

(1.3) dengan A = amplitudo, b = faktor redaman (damping factor), m = massa benda, ω = frekuensi

y = Ae − (b/2m)t cos(ωt + θ)

angular dan t = waktu. Adapun frekuensi angular ( ω) dirumuskan oleh

dengan k = kontanta pegas. Diketahui suatu benda bermassa 10,6 kg, digantung pada ujung pegas yang memiliki kon- stanta pegas sebesar 2,05

×10 4 N/m serta faktor redaman sebesar 63,50 N.s/m. Jika efek gravi- tasi diabaikan dan benda diberi simpangan awal sebesar 0,1 m, maka gerak osilasi benda akan

nampak seperti Gambar 1.3.

−0.02 Simpangan (meter)

Waktu (detik)

Gambar 1.3: Kurva simpangan benda yang mengalami gerak osilasi teredam Skrip Matlab untuk menghasilkan Gambar 1.3 adalah

1 m = 10.6; 2 k = 2.05e4;

3 b = 63.50; 4 A = 0.1; 5 theta = 0; 6 t = 0:0.001:2;

8 w = sqrt((k/m)+(b/(2*m))^2); 9 y = A*exp((-b/(2*m))*t).*cos(w*t+theta);

11 plot(t,y)

6 BAB 1. PENDAHULUAN

12 xlabel(’Waktu (detik)’); 13 ylabel(’Simpangan (meter)’);

1.4 Baris-baris pembuka

Ketika Anda membuat skrip di komputer, Anda mesti menyadari bahwa skrip yang sedang Anda buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu disarankan agar sebelum kom- puter menjalankan skrip, maka pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan bersih. Cara membersihkan memory komputer, di dalam Matlab, adalah dengan menuliskan perintah clear. Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud ini, cukup dengan menuliskan perintah close. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulis- an di layar monitor, tambahkan perintah clc. Ketiga perintah tersebut disarankan ditulis pada baris-baris pembuka suatu skrip Matlab, seperti contoh berikut

1 clear 2 close 3 clc

5 a = 2; 6 t = 1:5; 7 vo = 0; 8 v = vo + a * t; 9 plot(t,v,’o’); 10 xlabel(’Waktu (dt)’); 11 ylabel(’Kecepatan (m/dt)’) 12 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar

Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan

(1.5) dengan

y = A sin(2πf t + θ)

A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; θ = sudut fase gelombang. Jika suatu gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka skrip untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah

1 clc 2 clear 3 close

5 A = 1; % amplitudo 6 f = 5; % frekuensi 7 theta = 0; % sudut fase gelombang 8 t = 0:0.001:1;

% t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR

Gambar 1.4: Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz dalam rentang waktu dari 0 hingga 1 detik Grafik di atas muncul karena ada perintah plot(t,y) yang diletakkan di baris paling akhir pada

skrip. Kata atau kalimat yang ditulis setelah tanda % tidak akan dikerjakan oleh komputer. Modifikasi skrip perlu dilakukan untuk memberi keterangan pada sumbu-x dan sumbu-y serta menambahkan judul grafik

1 clc 2 clear 3 close

5 A = 1; % amplitudo 6 f = 5; % frekuensi 7 theta = 0; % sudut fase gelombang 8 t = 0:0.001:1;

% t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang 12 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

% melabel sumbu-x

13 ylabel(’Amplitudo’);

% melabel sumbu-y

14 title(’Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan kata fontsize{14} pada title(), contohnya

title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk menggambar dua buah grafik, contoh skrip berikut ini bisa digunakan

1 clc 2 clear 3 close

5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

7 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1

8 BAB 1. PENDAHULUAN

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Waktu, t (detik)

Gambar 1.5: Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Waktu, t (detik)

Gambar 1.6: Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR

8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1 9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1 10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

12 A2 = 1; % amplitudo gelombang 2 13 f2 = 3;

% frekuensi gelombang 2 14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2 15 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2

19 subplot(2,1,1) 20 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1 21 xlabel(’Waktu, t (detik)’); 22 ylabel(’Amplitudo’); 23 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

25 subplot(2,1,2) 26 plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2 27 xlabel(’Waktu, t (detik)’); 28 ylabel(’Amplitudo’); 29 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Waktu, t (detik)

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

Waktu, t (detik)

Gambar 1.7: Dua buah grafik dalam sebuah gambar

Sekarang, jika ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka skrip berikut ini bisa digunakan

1 clc 2 clear 3 close

5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

7 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1 8 f1 = 5;

% frekuensi gelombang 1 9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

10 BAB 1. PENDAHULUAN

10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

12 A2 = 1; % amplitudo gelombang 2 13 f2 = 3;

% frekuensi gelombang 2 14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2 15 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2

17 y3 = y1 + y2; % superposisi gelombang

21 subplot(3,1,1) 22 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1 23 xlabel(’Waktu, t (detik)’); 24 ylabel(’Amplitudo’); 25 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

27 subplot(3,1,2) 28 plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2 29 xlabel(’Waktu, t (detik)’); 30 ylabel(’Amplitudo’); 31 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

33 subplot(3,1,3) 34 plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang 35 xlabel(’Waktu, t (detik)’); 36 ylabel(’Amplitudo’); 37 title(’\fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz’);

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Amplitudo −1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Waktu, t (detik)

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

Amplitudo −1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Waktu, t (detik)

Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz

Amplitudo −2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Waktu, t (detik)

Gambar 1.8: Tiga buah grafik dalam sebuah gambar

1.6. LATIHAN

1.6 Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/s 2 dari posisi diam di- tentukan oleh rumus berikut

s=v

2 o t+ at

Buatlah skrip untuk menggambarkan grafik jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t = 0 hingga t = 20 dt.

2. Sebuah elektron memasuki daerah yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti Gambar

Gambar 1.9: Lintasan elektron ketika memasuki medan magnet

diketahui besar muatan elektron = 1,6 − 19 ×10 31 C, massa elektron = 9,11 ×10 kg, kece- patan

E = 200 N/C , dan panjang plat ℓ = 0,1 meter. Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan

v = 3×10 6 m/s, kuat medan listrik

1 eE 2 eE x = vt

y=−

dengan percepatan

a=

m Buatlah skrip untuk menentukan variasi posisi elektron ( x, y) terhadap waktu (t), mulai

dari − t = 0 detik hingga t = 3,33×10 8 detik dengan interval waktu 3,33 − ×10 10 detik.

3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu ber-

gerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/s 2 . (a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30 ◦ hing-

ga 60 ◦ dengan interval 5 . Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum ada- lah

h = o sin maks α

2g

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30 ◦ hing-

ga 60 ◦ dengan interval 5 . Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum ada-

12 BAB 1. PENDAHULUAN lah

x maks = o sin 2α

4. Tuliskan sebuah skrip untuk menggambar superposisi gelombang yang terbentuk dari 9 gelombang berfrekuensi 9 Hz, 18 Hz, 27 Hz, 35 Hz, 47 Hz, 57 Hz, 65 Hz, 74 Hz dan 82 Hz.

5. Sebuah kapasitor 8 µF dan sebuah induktor sebesar 25 mH, masing-masing dihubungkan ke sumber tegangan bolak-balik 150 Volt dengan frekuensi 60 Hz seperti terlihat pada Gambar 1.10

Gambar 1.10: Kapasitor dan induktor masing-masing terhubung seri dengan sumber tegangan bolak-balik

(a) Tentukan nilai reaktansi kapasitif pada rangkaian (a); dan reaktansi induktif pada rangkaian (b).

(b) Tuliskan skrip Matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka- ian (a); kemudian plot gambar kurva-nya.

(c) Tuliskan skrip Matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka- ian (b); kemudian plot gambar kurva-nya.

6. Muatan Q 1 sebesar 4 µC terletak pada x = -1; sementara Q 2 = 20 µC terletak pada x = 1. Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 (b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya TIDAK NOL; dima-

nakah posisi yang medannya NOL ?) (c) mencari titik x yang medan-nya nol pada -1 <x<1 (d) mencari titik-titik x yang medannya bernilai 20000

7. Muatan Q 1 sebesar 4 µC terletak pada x = -1; sementara Q 2 =4 µC terletak pada x = 1. Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) menghitung potensial listrik pada x = -2

1.6. LATIHAN

13 (b) menghitung potensial listrik pada x = 0

(c) menghitung potensial listrik pada x = 2 (cek: besar potensial harus sama dengan point pertanyaan (a))

(d) menghitung medan listrik pada -1 < x < 1 dengan interval 0.1 (e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik terkecil ada di x = 0; dan

nilai potensial listrik meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1) (f) menghitung potensial listrik pada -10 < x < -1 dengan interval 0.1 (g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik harus meningkat ketika

mendekati x = -1) (h) menghitung potensial listrik pada 1 < x < 10 dengan interval 0.1

(i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial harus meningkat ketika mende-

kati x = 1) (j) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

8. Muatan Q 1 sebesar 4 µC terletak pada x = -1; sementara Q 2 = -20 µC terletak pada x = 1. Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 (b) menghitung potensial listrik pada x = 0

9. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur pada permukaan bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah keluar bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:

(a) Total muatan yang terdapat pada kulit bola (b) Apakah muatan-nya positif atau negatif ?

(c) Kuat medan listrik pada jarak 1 meter dari pusat bola (d) Kuat medan listrik pada jarak 0,5 meter dari pusat bola (e) Buatlah skrip Matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik terhadap jarak

mulai dari pusat bola sampai ke jarak 3 meter

14 BAB 1. PENDAHULUAN

Bab 2

Matriks dan Komputasi

✍ Objektif : ⊲ Mengenalkan matriks, vektor dan jenis-jenis matriks.

⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matriks ke dalam memori komputer. ⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matriks. ⊲ Membuat skrip operasi matriks.

2.1 Mengenal matriks

Notasi suatu matriks berukuran n × m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya

A n×m . Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matriks tersusun atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks, misalnya a ij . Indeks i menunjukkan posisi baris ke- i dan indeks j menentukan posisi kolom ke- j.

11 a 12 ...a 1m

 a 21 a 22 ...a 2m 

a n1 a n2 ...a nm

Pada matriks ini, a 11 , a 12 , ..., a 1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Se- mentara a 12 , a 22 , ..., a n2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua.

Contoh 1: Matriks A 2×3

A = 647

dengan masing-masing elemennya adalah a 11 = 3, a 12 = 8, a 13 = 5, a 21 = 6, a 22 = 4, dan

a 23 = 7.

16 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI Contoh 2: Matriks B 3×2

dengan masing-masing elemennya adalah b 11 = 1, b 12 = 3, b 21 = 5, b 22 = 9, b 31 = 2, dan

b 32 = 4.

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matriks dina- makan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang dinyatakan sebagai berikut

(2.2) Sedangkan suatu matriks dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom

11 a 12 ...a 1m = a 1 a 2 ...a m

dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut

2.3 Inisialisasi matriks dalam memori komputer

Sebelum dilanjutkan, disarankan agar Anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat m- file di Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semua skrip yang terdapat dalam buku ini ditulis dalam m-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukan copy-paste, namun dalam upaya membiasakan diri menulis skrip di m-file, sangat dianjurkan Anda menulis ulang semuanya.

Dalam Matlab terdapat 3 cara inisialisasi matriks. Cara pertama 1 , sesuai dengan Contoh 1, adalah

1 clear all 2 clc

4 A(1,1) = 3; 5 A(1,2) = 8; 6 A(1,3) = 5; 7 A(2,1) = 6; 8 A(2,2) = 4; 9 A(2,3) = 7; 10 A

Sedangkan untuk matriks B 3×2 , sesuai Contoh 2 adalah

1 Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan cara ketiga hanya akan dimengerti oleh Matlab

2.4. MACAM-MACAM MATRIKS

1 clear all 2 clc

4 B(1,1) = 1; 5 B(1,2) = 3; 6 B(2,1) = 5; 7 B(2,2) = 9; 8 B(3,1) = 2; 9 B(3,2) = 4; 10 B

Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriksnya, dengan jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas.

1 clear all 2 clc

4 A=[ 3 8 5 5 6 4 7 ];

7 B=[ 1 3 8 59 9 2 4 ];

Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matriks lantaran ditulis ha- nya dalam satu baris.

1 clear all 2 clc

4 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ]; 5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];

2.4 Macam-macam matriks

2.4.1 matriks transpose

Operasi transpose terhadap suatu matriks akan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen- elemen baris. Notasi matriks tranpose adalah A T atau A t .

Contoh 3: Operasi transpose terhadap matriks A

Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal di depan nama matriksnya

1 clear all 2 clc

18 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

4 A=[ 3 8 5 5 6 4 7 ];

7 AT = A’;

2.4.2 matriks bujursangkar

matriks bujursangkar adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matriks bujursangkar orde 3

2.4.3 Matrik simetrik

matriks simetrik adalah matriks bujursangkar yang elemen-elemen matriks transpose-nya ber- nilai sama dengan matriks asli-nya.

Contoh 5: matriks simetrik

2.4.4 matriks diagonal

matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya.

Contoh 6: matriks diagonal orde 3

2.4.5 matriks identitas

matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

Contoh 7: matriks identitas orde 3

2.4. MACAM-MACAM MATRIKS

2.4.6 matriks upper-triangular

matriks upper-tringular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di- agonal bernilai 0 (nol).

Contoh 8: matriks upper-triangular

2.4.7 matriks lower-triangular

matriks lower-tringular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago- nal bernilai 0 (nol).

Contoh 9: matriks lower-triangular

2.4.8 matriks tridiagonal

matriks tridiagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

Contoh 10: matriks tridiagonal

2.4.9 matriks diagonal dominan

matriks diagonal dominan adalah matriks bujursangkar yang memenuhi

j=1,j6=i

dengan i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matriks-matriks berikut ini

20 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI Pada elemen diagonal a ii matriks A, |7| > |2|+|0|, lalu |5| > |3|+|−1|, dan |−6| > |5|+|0|. Maka

matriks A disebut matriks diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matriks B, |6| < |4| + | − 3|, | − 2| < |4| + |0|, dan |1| < | − 3| + |0|. Dengan demikian, matriks B bukan matriks diagonal dominan.

2.4.10 matriks positive-definite

Suatu matriks dikatakan positive-definite bila matriks tersebut simetrik dan memenuhi

(2.5) Contoh 11: Diketahui matriks simetrik berikut

untuk menguji apakah matriks A bersifat positive-definite, maka

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matriks A bersifat positive-definite, karena memenuhi

kecuali jika x 1 = x 2 = x 3 =0.

2.5 Operasi matematika

2.5.1 Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan pada dua buah matriks hanya bisa dilakukan bila kedua matriks tersebut berukuran sama. Misalnya matriks C 2×3

C = 721

21 dijumlahkan dengan matriks A 2×3 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matriks D 2×3

2.5. OPERASI MATEMATIKA

D =A+C

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matriks, operasi penjumlahan antara matriks A 2×3 dan C 2×3 , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matriks tersebut, yaitu

11 d 12 d 13 a 11 +c 11 a 12 +c 12 a 13 +c 13

d 21 d 22 d 23 a 21 +c 21 a 22 +c 22 a 23 +c 23

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

d 11 =a 11 +c 11

d 12 =a 12 +c 12

d 13 =a 13 +c 13 (2.6)

Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matriks

(2.7) dengan i=1,2 dan j=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 semen-

d ij =a ij +c ij

tara batas j sampai angka 3. Kemampuan Anda dalam menentukan batas indeks sangat

penting dalam dunia programming.

2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks

Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7) lebih cepat berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6),

d 11 =a 11 +c 11

d 12 =a 12 +c 12

d 13 =a 13 +c 13

22 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai 3.

Hal ini membawa konsekuensi pada skrip pemrograman, dengan looping untuk indeks j harus diletakkan di dalam looping indeks

i. Aturan mainnya adalah yang looping-nya paling cepat

harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah.