III. PEMODELAN
3.1 Kesetimbangan Cournot-Nash dan
Stackelberg
Misalkan .
P adalah harga pasar dalam
model duopoli dengan produk homogen,
[ [
∞ →
∞ ,
, :
.
1
C adalah fungsi biaya
perusahaan-1,
[ [
∞ →
∞ ,
, :
.
2
C adalah
fungsi biaya perusahan-2, x adalah kuantitas perusahaan-1 dan y adalah
kuantitas perusahaan-2. Imbalan dari perusahaan-1 adalah:
x C
y x
xP y
x
1 1
, −
+ =
π dan imbalan perusahaan-2 adalah:
y C
y x
yP y
x
2 2
, −
+ =
π
Definisi 31: Kesetimbangan Cournot- Nash
Kesetimbangan Cournot-Nash adalah
pasangan
N N
y x ,
sedemikian sehingga ,
≥ ∀ y
x berlaku:
y x
y x
y x
y x
N N
N N
N N
, ,
dan ,
,
2 2
1 1
π π
π π
≥ ≥
Misalkan permainan dilakukan secara sekuensial dan perusahaan-1 sebagai leader.
Dalam setiap tahap permainan, pemain mengetahui apa yang telah terjadi atau yang
telah dilakukan oleh pemain lain pada tahap sebelumnya dimana follower mengamati
tindakan leader sebelum bertindak.
Definisi 32: Kesetimbangan Stackelberg
Kesetimbangan Stackelberg .
,
s s
g x
adalah kesetimbangan subgame perfect dari permainan dua tahap, sedemikian sehingga:
, ,
ii ,
,
2 2
1 1
≥ ∀
≥ ≥
∀ ≥
y y
x x
g x
x x
g x
x g
x i
s s
s s
s s
s s
π π
π π
Kesetimbangan Stackelberg ini terletak pada koresponden tanggapan terbaik pemain-2,
yang didefinisikan sebagai: y
x x
r ,
maks arg
2 y
2
π
≥
= dimana tidak ada
s
x x
x ≠
≥ , sedemikian
sehingga x
r y
y x
y x
s s
2 1
1
, ,
, ∈
∀
π π
. Selanjutnya akan diberikan suatu bentuk
ekstensif dari permainan yang diperluas, Digambarkan dalam pohon permainan
berikut ini.
Permainan yang diperluas dikonstruksi dari model duopoli sederhana, dimana
sebelum permainan berlangsung, perusahaan memutuskan di periode ke berapakah
memilih strategi. Misalkan jika perusahaan memilih strategi pada periode pertama
e l
2
e l e l
1
2 1
2 2
1
2 1
Gambar 2 1
dinotasikan dengan early e, sedangkan bila perusahaan memilih strategi pada periode
kedua dinotasikan dengan late l. Model duopoli sederhana kemudian dimainkan
menurut keputusan waktu tersebut, secara sekuensial atau simultan. Permainan
simultan terjadi jika kedua pemain memutuskan bergerak pada periode yang
sama. Aplikasi dari permainan ini adalah model duopoli Cournot. Jika kedua pemain
memutuskan bergerak pada periode yang berbeda terjadi permainan sekuensial,
dimana dalam setiap periode permainan, pemain mengetahui apa yang telah terjadi
atau yang telah dilakukan oleh pemain lain pada periode sebelumnya. Model duopoli
Stackelberg merupakan aplikasi permainan simultan.
Diberikan model duopoli sederhana. Misalkan N adalah himpunan strategi
kesetimbangan Nash,
i
S adalah himpunan
strategi kesetimbangan Stackelberg dengan pemain-i sebagai leader, dan E adalah
himpunan subgame perfect Nash equilibria dari permainan yang diperluas. Elemen dari
himpunan E dapat ditulis sebagai pasangan waktu early e atau late l dan model
duopoli sederhana simultan atau sekuensial.
Proposisi 1 Misal diberikan himpunan strategi
kesetimbangan subgame perfect dari
permainan yang diperluas E dan model duopoli sederhana dengan
∅ ≠
N dan
2 ,
1 ,
= ∅
≠ i
S
i
. Ketika l
l l
e ,
,
1 1
π π
dan l
l e
l ,
,
2 2
π π
, maka pernyataan berikut benar:
a. Jika
e l
e e
, ,
1 1
π π
dan l
e e
e ,
,
2 2
π π
, maka diperoleh
{ }
N e
e E
, ,
= .
b. Jika
e e
e l
, ,
1 1
π π
dan e
e l
e ,
,
2 2
π π
, maka diperoleh
{ }
{ }
2 1
, ,
, ,
S e
l S
l e
E ∪
= .
Bukti. a.
Dari hipotesis diketahui bahwa pemain- 1 lebih baik berada pada kombinasi
strategi e,l daripada l,l. Hal yang sama berlaku untuk pemain-2 yang
lebih baik berada pada kombinasi strategi l,e daripada l,l. Pemain-1
juga akan lebih memilih imbalan pada kombinasi strategi e,e daripada l,e
dan pemain-2 lebih memilih imbalan pada kombinasi strategi e,e daripada
e,l. Maka e adalah strategi dominan untuk kedua pemain tersebut sehingga
{ }
N e
e E
, ,
= .
b. Dari hipotesis diperoleh bahwa pemain-
1 lebih memilih hasil kombinasi strategi e,l daripada l,l dan bahwa pemain-2
lebih memilih hasil kombinasi strategi l,e daripada l,l. Tak ada keuntungan
yang akan diperoleh pemain-1 jika mengubah strateginya, demikian pula
pemain-2. Akibatnya diperoleh
{ }
{ }
2 1
, ,
, ,
S e
l S
l e
E ∪
= .
IV. PEMBAHASAN
Kategori