Fungsi Naik dan Fungsi Turun Kekompakan

2.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi 16 [Fungsi Naik dan Fungsi Turun] a Fungsi f disebut naik pada selang I jika 2 1 x f x f bilamana 2 1 x x pada I. b Fungsi f disebut turun pada selang I jika 2 1 x f x f bilamana 2 1 x x pada I. Stewart 1998

2.6 Kekompakan

Definisi 17 [Fungsi Kontinu] Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika a f x f a x = → lim Stewart 1998 Definisi 18 [Ruang Metrik] Misalkan M sembarang himpunan dan ρ adalah fungsi dengan [ ∞ → × , : M M ρ sedemikian sehingga M z y x ∈ ∀ , , memenuhi: a , = x x ρ b y x y x ≠ , , ρ c x y y x , , ρ ρ = d y z z x y x , , , ρ ρ ρ + ≤ maka ρ disebut metrik untuk M dan ρ , M disebut ruang metrik. Goldberg 1976 Definisi 19 [Barisan Cauchy] Barisan bilangan real { } ∞ =1 n n x disebut barisan Cauchy jika: , , n n m N n ≥ ∋ ∈ ∃ ∀ ε ε − ⇒ n m x x Goldberg 1976 Definisi 20 [Kekonvergen Barisan] Barisan bilangan real { } ∞ =1 n n x dikatakan konvergen ke L jika { } ∞ =1 n n x mempunyai limit L. Goldberg 1976 Definisi 21 [Ruang Metrik Lengkap] Misalkan ρ , M ruang metrik. M disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan Cauchy di M konvergen di M. Goldberg 1976 Definisi 22 [ Supremum dan Infimum] 1 Suatu bilangan R u ∈ disebut supremum batas atas terkecil dari R S ⊆ jika memenuhi dua kondisi berikut: i. S s u s ∈ ∀ ≤ ii. Jika S s v s ∈ ∀ ≤ , maka v u ≤ . 2 Suatu bilangan R w ∈ disebut infimum batas bawah terbesar dari R S ⊆ jika memenuhi dua kondisi berikut: i. S s s w ∈ ∀ ≤ ii. Jika S s s v ∈ ∀ ≤ , maka w v ≤ . Bartle dan Sherbert 1982 Definisi 23 [Terbatas] Misalkan ρ , M ruang metrik. Himpunan M A ⊂ dikatakan terbatas jika ∃L sehingga A y x L y x ∈ ∀ ≤ , , ρ . Jika A terbatas, maka didefinisikan diameter A sebagai : y x, sup A A y x ∈ = , diam Jika A tidak terbatas, maka didefinisikan diameter A sebagai: +∞ = A diam Goldberg 1976 Definisi 24 [Terbatas Total] Misalkan ρ , M ruang metrik dan M A ⊂ . Himpunan A disebut terbatas total jika , ∀ ε i A ∃ , n i , , 1 … = dimana M A i ⊂ dengan ε i A diam sehingga i n i A A 1 = ∪ ⊂ . Goldberg 1976 Sebagai ilustrasi, ruang metrik [ ] b a, dengan R b a ∈ , adalah terbatas total. Definisi 25 [Kompak] Ruang metrik ρ , M disebut ruang metrik kompak jika ρ , M lengkap dan terbatas total. Goldberg 1976 Teorema 1 [Ruang Metrik Lengkap] Jika ρ , M adalah ruang metrik lengkap dan M A ⊂ , maka ρ , A adalah lengkap. Goldberg 1976 Bukti dapat dilihat pada Goldberg 1976. Dari Teorema 1, karena R lengkap maka [ ] R b a ⊂ , adalah lengkap. Karena [ ] b a, juga terbatas total, maka menurut Definisi 25 [ ] b a, merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak.

2.7 Titik Tetap Tarski