2.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Definisi 16 [Fungsi Naik dan Fungsi Turun]
a Fungsi f disebut naik pada selang I jika
2 1
x f
x f
bilamana
2 1
x x
pada I.
b Fungsi f disebut turun pada selang I
jika
2 1
x f
x f
bilamana
2 1
x x
pada I. Stewart
1998
2.6 Kekompakan
Definisi 17 [Fungsi Kontinu] Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah
bilangan a jika
a f
x f
a x
=
→
lim Stewart
1998 Definisi 18 [Ruang Metrik]
Misalkan M sembarang himpunan dan ρ
adalah fungsi dengan
[
∞ →
× ,
: M
M ρ
sedemikian sehingga M
z y
x ∈
∀ ,
, memenuhi:
a ,
= x
x ρ
b y
x y
x ≠
, ,
ρ c
x y
y x
, ,
ρ ρ
= d
y z
z x
y x
, ,
, ρ
ρ ρ
+ ≤
maka ρ disebut metrik untuk M dan
ρ ,
M disebut ruang metrik.
Goldberg 1976
Definisi 19 [Barisan Cauchy]
Barisan bilangan real
{ }
∞ =1
n n
x disebut
barisan Cauchy jika: ,
, n
n m
N n
≥ ∋
∈ ∃
∀ ε
ε
− ⇒
n m
x x
Goldberg 1976
Definisi 20 [Kekonvergen Barisan] Barisan bilangan real
{ }
∞ =1
n n
x dikatakan
konvergen ke L jika
{ }
∞ =1
n n
x mempunyai
limit L. Goldberg 1976
Definisi 21 [Ruang Metrik Lengkap] Misalkan
ρ ,
M ruang metrik. M disebut
ruang metrik lengkap jika setiap barisan Cauchy di M konvergen di M.
Goldberg 1976
Definisi 22 [ Supremum dan Infimum]
1 Suatu bilangan
R u
∈ disebut supremum batas atas terkecil dari
R S
⊆ jika memenuhi dua kondisi berikut:
i. S
s u
s ∈
∀ ≤
ii. Jika
S s
v s
∈ ∀
≤ , maka
v u
≤ . 2
Suatu bilangan R
w ∈ disebut infimum
batas bawah terbesar dari R
S ⊆
jika memenuhi dua kondisi berikut:
i. S
s s
w ∈
∀ ≤
ii. Jika
S s
s v
∈ ∀
≤ , maka
w v
≤
.
Bartle dan Sherbert 1982
Definisi 23 [Terbatas] Misalkan
ρ ,
M ruang metrik. Himpunan
M A
⊂ dikatakan terbatas jika
∃L sehingga
A y
x L
y x
∈ ∀
≤ ,
, ρ
. Jika A terbatas, maka didefinisikan diameter
A sebagai : y
x, sup
A
A y
x ∈
=
,
diam Jika A tidak terbatas, maka didefinisikan
diameter A sebagai: +∞
= A
diam Goldberg
1976
Definisi 24 [Terbatas Total] Misalkan
ρ ,
M ruang metrik dan
M A
⊂ .
Himpunan A disebut terbatas total jika ,
∀ ε
i
A ∃ ,
n i
, ,
1 …
= dimana
M A
i
⊂ dengan
ε
i
A diam
sehingga
i n
i
A A
1 =
∪ ⊂
. Goldberg
1976 Sebagai ilustrasi, ruang metrik
[ ]
b a,
dengan R
b a
∈ ,
adalah terbatas total.
Definisi 25 [Kompak] Ruang metrik
ρ ,
M disebut ruang metrik
kompak jika ρ
, M
lengkap dan terbatas total. Goldberg
1976
Teorema 1 [Ruang Metrik Lengkap] Jika
ρ ,
M adalah ruang metrik lengkap
dan M
A ⊂
, maka ρ
, A
adalah lengkap. Goldberg
1976 Bukti dapat dilihat pada Goldberg 1976.
Dari Teorema 1, karena R lengkap maka
[ ]
R b
a ⊂
, adalah lengkap. Karena
[ ]
b a,
juga terbatas total, maka menurut Definisi 25
[ ]
b a,
merupakan ruang metrik kompak dengan metrik
ρ nilai mutlak.
2.7 Titik Tetap Tarski