IV. PEMBAHASAN
4.1 Asumsi
Berikut ini adalah asumsi yang digunakan dalam memodelkan permainan.
a. Harga pasar
. P
merupakan fungsi turun dan
. P
kontinu. b.
Fungsi biaya perusahaan-1 .
1
C dan
fungsi biaya perusahaan-2 .
2
C merupakan fungsi naik,
.
1
C dan
.
2
C kontinu dengan
=
i
C .
4.2 Permainan Supermodular
Berikut ini beberapa pegertian mengenai permainan Supermodular yang
digunakan untuk menyelesaikan masalah utama yang akan dibahas dalam tulisan ini.
Definisi 33 [Fungsi
Supermodular dan Submodular]
1 Suatu fungsi
R R
F →
+ 2
: dikatakan
supermodular jika untuk semua
2 1
2 1
, y
y x
x ≥
≥ ,
2 2
2 1
1 2
1 1
, ,
, ,
y x
F y
x F
y x
F y
x F
− ≥
− 2
Suatu fungsi R
R F
→
+ 2
: dikatakan
submodular jika untuk semua
2 1
2 1
, y
y x
x ≥
≥ ,
2 2
2 1
1 2
1 1
, ,
, ,
y x
F y
x F
y x
F y
x F
− ≤
− Amir
1996 Definisi 34 [Fungsi
Supermodular sempurna
dan Submodular sempurna]
1 Suatu fungsi
R R
F →
+ 2
: adalah
supermodular sempurna jika untuk semua
2 1
2 1
, y
y x
x ≥
≥ ,
2 2
2 1
1 2
1 1
, ,
, ,
y x
F y
x F
y x
F y
x F
− −
2 Suatu fungsi
R R
F →
+ 2
: adalah
submodular sempurna jika untuk semua
2 1
2 1
, y
y x
x ≥
≥ ,
2 2
2 1
1 2
1 1
, ,
, ,
y x
F y
x F
y x
F y
x F
− −
Amir 1996
Bila dilihat dari turunan keduanya, Definisi 34 dapat ditulis sebagai berikut:
Definisi 35 [Fungsi
Supermodular sempurna dan
Submodular Sempurna]
1. Jika F mempunyai turunan kedua yang
kontinu dan y
x y
x F
, ,
2
∀ ∂
∂ ∂
maka F adalah supermodular sempurna.
2. Jika F mempunyai turunan kedua yang
kontinu dan y
x y
x F
, ,
2
∀ ∂
∂ ∂
maka F adalah submodular sempurna.
Amir 1996
Definisi 36 [ Strict Single-Crossing Property
SSCP dan Dual Strict Single-Crossing
Property Dual SSCP ]
1 Fungsi
[
R F
→ ∞
2
, :
mempunyai Strict Single-Crossing Property atau
SSCP di y
x, jika:
1 2
1 1
2 ,
2 2
1
, ,
, y
x F
y x
F y
x F
y x
F ⇒
≥ semua
untuk
2 1
2 1
, y
y x
x .
2 Fungsi
[
R F
→ ∞
2
, :
mempunyai dual SSCP di
y x,
jika:
1 2
1 1
2 ,
2 2
1
, ,
, y
x F
y x
F y
x F
y x
F ⇒
≤ semua
untuk
2 1
2 1
, y
y x
x .
Amir 1996
Teorema 4 [Permainan Supermodular]
Duopoli Cournot adalah permainan ordinally supermodular jika memenuhi
asumsi berikut: 1.
. P
merupakan fungsi turun dan log konkaf.
2. .
i
C ,
2 ,
1 =
i merupakan fungsi naik
dan kontinu kiri. 3.
∃ kuantitas Q
sedemikian sehingga
− Q
C Q
QP
i
, 2
, 1
= i
untuk semua .
Q Q
Amir 1996
Bukti dapat dilihat pada Amir 1996. Teorema 5 [Koresponden Tanggapan
Terbaik yang Tak Naik dan Tak Turun]
1 Setiap fungsi
y x
F y
x ,
maks arg
x ≥
∈ adalah tak turun di y jika F mempunyai
SSCP.
2 Setiap fungsi
y x
F y
x ,
maks arg
x ≥
∈ adalah tak naik di y jika F mempunyai
dual SSCP. Milgrom dan Shannon 1994
Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Shannon 1994.
Lemma 1 [Fungsi Supermodular dan
Submodular]
1. Misal
R R
g f
→
+
: ,
, f adalah fungsi konkaf dan g adalah fungsi konveks,
maka fungsi bernilai real 1
y x
f y
x +
→ ,
adalah submodular pada
+ +
× R R
; 2
y x,
y x
f −
→ supermodular
pada lattice
{
y x,
= ϕ
: ≥
y dan
}
y x
≥ 3
y x
g y
x +
→ ,
supermodular pada
+ +
× R R
. 2.
Misal R
R g
f →
+
: ,
, f adalah fungsi konkaf sempurna dan g adalah fungsi
konveks sempurna, maka fungsi bernilai real
1 y
x f
y x
+ →
, adalah
submodular sempurna pada
+ +
× R R
; 2
y x
f y
x −
→ ,
supermodular sempurna pada lattice
{ }
y x
y y
x ≥
≥ =
dan :
, ϕ
; 3
y x
g y
x +
→ ,
supermodular sempurna pada
+ +
× R R
. Amir
1996 Bukti dapat dilihat pada Amir 1996.
Lemma 2
Jika .
P adalah log-konkaf atau
. P
memenuhi +
x xP
x P
untuk setiap ≥
x dan ada kuantitas monopoli optimal
untuk perusahaan-i
i
K sedemikian sehingga
, 2
, 1
, ,
= ∀
− ≤
− i
K K
C K
P K
K C
K KP
i i
i i
i
maka semua kuantitas pada selang ∞
,
i
K adalah tindakan terdominasi untuk
perusahaan-i dan
setiap pilihan dari korespondensi tanggapan terbaik
.
i
r merupakan fungsi tak naik di kuantitas
pesaingnya. Bukti.
Akan dibuktikan bahwa: 1
Setiap pilihan dari koresponden tanggapan terbaik
.
i
r merupakan
fungsi tak naik di kuantitas pesaing Jika
i
π adalah dual SSCP maka setiap pilihan
.
i
r merupakan fungsi tak naik
di kuantitas pesaing. 2
Semua kuantitas di ∞
,
i
K adalah
tindakan terdominasi untuk perusahaan- i.
1 Dari hipotesis diketahui bahwa P
adalah log-konkaf , maka log .
P adalah konkaf. Berdasarkan Lemma 1
y x
P +
log adalah submodular di
+ +
× ∈
R R
y x,
, maka untuk sembarang
2 1
2 1
, y
y x
x :
2 2
2 1
1 2
1 1
log log
log log
y x
P y
x P
y x
P y
x P
+ −
+ ≤
+ −
+
2 2
2 1
1 2
1 1
log log
y x
P y
x P
y x
P y
x P
+ +
≤ +
+ ⇔
1
2 2
2 1
1 2
1 1
y x
P y
x P
y x
P y
x P
+ +
≤ +
+ ⇔
Misal diasumsikan bahwa: 2
2 1
2 2
2 1
1 2
1 1
x C
y x
P x
x C
y x
P x
− +
≤ −
+ Substitusi 1 ke ruas kanan 2,
sehingga didapat:
2 1
1 2
1 1
2 1
2 1
1 2
1 1
x C
y x
P y
x P
y x
P x
x C
y x
P x
− +
+ +
≤ −
+
Kemudian kali silang dengan
2 1
1 1
y x
P y
x P
+ +
2 1
2 1
1 1
1 2
2 1
1 2
1 1
1 1
1 1
x C
y x
P y
x P
y x
P x
x C
y x
P y
x P
y x
P x
+ +
− +
≤ +
+ −
+
Karena
2 1
2 1
, y
y x
x dan
berdasarkan hipotesis .
P P
fungsi turun, .
1
C fungsi naik, maka
1 1
y x
P +
2 1
y x
P +
dan
2 1
1 1
x C
x C
, sehingga diperoleh: 3
2 1
1 2
2 1
1 1
1 1
x C
y x
P x
x C
y x
P x
− +
− +
Karena 2 berimplikasi 3 maka
1
π mempunyai dual strict single-crossing
property dual SSCP.
Misal diasumsikan bahwa: 4
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
y C
y x
P y
y C
y x
P y
− +
≤ −
+ Substitusi 1 ke ruas kanan 4,
sehingga didapat:
2 2
1 2
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
y C
y x
P y
x P
y x
P y
y C
y x
P y
− +
+ +
≤ −
+
Kemudian kali silang dengan
1 2
1 1
y x
P y
x P
+ +
1 2
1 1
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
2 1
1 1
y x
P y
x P
y C
y x
P y
y x
P y
x P
y C
y x
P y
+ +
− +
≤ +
+ −
+
Karena
2 1
2 1
, y
y x
x ,
. P
fungsi turun dan
.
2
C fungsi naik, maka
1 2
1 1
y x
P y
x P
+ +
dan
1 2
y C
2 2
y C
, sehingga diperoleh : 5
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
y C
y x
P y
y C
y x
P y
− +
− +
Karena 4 berimplikasi 5 maka
2
π mempunyai dual SSCP, sehingga
i
π mempunyai dual SSCP. Akibatnya
berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan .
i
r merupakan fungsi tak naik di
kuantitas pesaing . 2
Berdasarkan hipotesis diketahui bahwa
i
K adalah kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i, maka
r K
i
∈ .
Akibatnya imbalan akan menurun jika perusahaan memilih kuantitas lebih dari
i
K , sehingga kuantitas di ∞
,
i
K tidak
dapat menjadi tanggapan terbaik. Jadi semua kuantitas di
∞ ,
i
K adalah
tindakan terdominasi untuk perusahaan- i.
Lemma 3 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli
kuantitas adalah permainan supermodular, maka N tidak kosong dan terdapat titik
y x,
dimana perusahaan-1 perusahaan-2 menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi
lebih rendah pada N. Titik y
x, terletak
pada .
min .
2 2
r r
= dan merupakan
pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah.
Bukti. Akan dibuktikan bahwa:
1 Duopoli kuantitas adalah permainan
supermodular dengan ∅
≠ N
dan terdapat titik
y x,
dimana perusahaan- 1 perusahaan-2 menghasilkan
kuantitas yang lebih tinggi lebih rendah pada N.
2 Titik
y x,
terletak pada .
min .
2 2
r r
= dan merupakan pilihan
kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah.
1 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli kuantitas memenuhi Teorema 4 untuk
menjadi permainan supermodular yaitu:
a .
P merupakan fungsi turun dan
log konkaf. b
.
i
C merupakan fungsi naik dan
kontinu kiri, 2
, 1
= i
. c
Karena
i
K adalah kuantitas monopoli optimal untuk
perusahaan-i, maka imbalan akan menurun jika perusahaan memilih
lebih dari
i
K . Akibatnya ada kuantitas pada selang
∞ ,
i
K ,
misal Q, yang menyebabkan
perusahaan merugi atau −
Q C
Q QP
i
. Berdasarkan Lemma 2 duopoli kuantitas
menjadi permainan supermodular dengan himpunan tindakan efektif
[ ] [ ]
2 1
, ,
K K
× .
Karena itu, N tidak kosong dan
[ ]
i
K ,
merupakan selang tertutup sehingga merupakan complete lattice, dan menurut
Teorema 2, N mempunyai anggota terbesar . Misalkan diberikan anggota terbesar yaitu
y x,
. Tetapi berdasarkan Teorema 2, perusahaan-2 sekurang-kurangnya memilih
y x,
dari semua kesetimbangan di N, maka pada titik
y x,
perusahaan-1 menghasilkan kuantitas tertinggi di N, sedangkan
perusahaan-2 menghasilkan kuantitas terendah di N.
2 y
x, ∈
.
2
r karena pada titik
y x,
perusahaan-1 menghasilkan kuantitas tertinggi di N, sedangkan perusahaan-2
menghasilkan kuantitas terendah di N.
Berdasarkan Teorema 2 untuk pemetaaan x
r y
r y
x
2 1
, ,
→ yang tak turun akan
mempunyai titik tetap terbesar. Misalkan
N y
x ∈
, titik tetap terbesar
dengan .
,
2
r y
x ∈
dan
y y
. Kontradiksi dengan titik ekstrim
y x,
, maka
y x,
merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang
terkecil.
Lemma 4 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, jika setiap
titik
1
, S
y x
s s
∈ harus terletak di .
2
r dan
{ }
. ,
: ,
maks arg
2 1
1
r y
x y
x S
x
∈ =
≥
π ,
dengan .
2
r adalah pilihan kesetimbangan
Nash perusahaan-2 yang terendah, maka y
x y
x
s s
, ,
1 1
π π
≥ .
Bukti. Akan dibuktikan:
• Setiap titik
. ,
2 s
s
r y
x ∈
dan
{ }
. ,
: ,
maks arg
2 1
1
r y
x y
x S
x
∈ =
≥
π •
y x
y x
s s
, ,
1 1
π π
≥ Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik
. ,
2 s
s
r y
x ∈
. Karena imbalannya kontinu, maka
mempunyai pilihan minimum .
2
r kontinu
kanan. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg
. ,
2 s
s
r y
x ∉
sedemikian sehingga
s s
x r
y
2
. Dari Lemma 2 diketahui bahwa setiap pilihan
.
2
r adalah tak naik.
Karena itu, himpunan titik di .
2
r tidak
bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan
.
2
r yang tak kontinu.
.
2
r bernilai banyak di
s
x . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk
ε sedemikian
sehingga pilih ε
+
s
x untuk leader yang
akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu
.
2
r bernilai
tunggal di ε
+
s
x . Karena
s s
x r
y
2
dan .
2
r kontinu kanan maka
s s
y x
r +
ε
2
. Diketahui pula
y x,
1
π kontinu di x dan
turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu:
s s
s s
y x
x r
x ,
,
1 2
1
π ε
ε π
+ +
Kontradiksi dengan hipotesis bahwa
s s
y x ,
adalah kesetimbangan Stackelberg. Karena itu haruslah
. ,
2 s
s
r y
x ∈
dan
{ }
. ,
: ,
maks arg
2 1
1
r y
x y
x S
x
∈ =
≥
π terpenuhi atau
x r
x S
x 2
1 1
, maks
arg π
≥
= .
Jadi semua titik di
1
S menghasilkan imbalan
yang sama untuk leader. Dari Lemma 3, y
x, adalah kesetimbangan Cournot-Nash
perusahaan-1 paling terpilih dan y
x, .
2
r ∈
, maka y
x y
x
s s
, ,
1 1
π π
≥ .
4.3 Model Duopoli Cournot
Kategori