Kondisi Minimal Bagi Kesetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg

KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI

COURNOT DAN STACKELBERG

Oleh:

NITA ARIANI

G54102019

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2007

ABSTRAK

NITA ARIANI. Kondisi Minimal Bagi Kesetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan SISWANDI.

Dalam model duopoli, dimana dalam pasar terdapat dua perusahaan yang saling bersaing, setiap perusahaan bertujuan memperoleh imbalan yang maksimum. Untuk mewujudkan tujuan tersebut diperlukan strategi. Kuantitas merupakan salah satu strategi perusahaan Strategi tersebut dapat dimainkan secara simultan atau sekuensial. Permainan simultan terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama, sedangkan permainan sekuensial terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda.

Permainan simultan dengan kuantitas sebagai strategi yang dipilih akan menghasilkan model duopoli Cournot, sedangkan permainan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi yang dipilih akan menghasilkan model duopoli Stackelberg.

Karya tulis ini membahas bagaimana suatu kondisi minimal pada harga pasar dan fungsi biaya perusahaan akan menyebabkan perusahaan lebih memilih model duopoli Cournot atau Stackelberg, sehingga imbalan yang didapatnya maksimum. Harga pasar yang log konkaf akan menimbulkan model duopoli Cournot. Pada kasus ini pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi turun. Jika harga pasarnya log konveks dan tak ada biaya produksi, pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi naik dan akan menimbulkan model duopoli Stackelberg.

KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI

COURNOT DAN STACKELBERG

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

NITA ARIANI

G54102019

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2007

Judul : Kondisi Minimal Bagi Kesetimbangan Duopoli Cournot dan

Stackelberg

Nama : Nita Ariani

NRP : G54102019

Menyetujui:

Mengetahui:

Tanggal Lulus :

Pembimbing I,

Ir. Retno Budiarti, MS

NIP 131842409

Pembimbing II,

Drs. Siswandi, M.Si

NIP 131957320

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS

NIP 131473999

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi segala limpahan rahmat sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita, Nabi Muhamad SAW.

Skripsi yang berjudul Kondisi Minimal Bagi Kesetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg ini merupakan salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains.

Penyusunan skripsi ini tentunya tidak akan selesai dengan baik tanpa adanya dorongan dan bantuan yang diberikan oleh berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, MS dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku pembimbing yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan kepada penulis dan Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritik. Tak lupa penulis ucapkan terima kasih kepada:

1. Kedua orantua tercinta dan adik tersayang, Ari, untuk semua doa dan dukungannya selama ini. 2. Rabah Amir, terima kasih atas bantuan referensinya. Bapak Doni, terima kasih untuk kiriman

jurnalnya.

3. Dyana. Terima kasih untuk persahabatan yang masih terjalin indah hingga kini. Ocha, terima kasih untuk semua saran yang telah diberikan.

4. Lisna, Hani, Kiki, Leni, Nia, dan Venti. Terima kasih telah membuat masa asrama menjadi terasa menyenangkan.

5. Ikhe, Wenny, Mega, Dina, Tami, Desi, Rany, Tika dan kawan-kawan di Matematika 39. Semoga keceriaan dan persahabatan ini tetap terjaga. Desi, terima kasih untuk kesediaannya mengurus konsumsi seminar. Dina, terima kasih atas semua bantuannya selama ini, terutama saat menjelang sidang. Ikhe, terima kasih selalu ada disaat-saat genting.

6. Vina, Indah, Uli, terima kasih untuk kesediaannya menjadi pembahas.

7. Ibu Susi, Ibu Ade serta seluruh staf Departemen matematika. Terima kasih atas semua bantuannya selama ini.

Serta semua pihak yang telah membantu sampai selesainya skripsi ini.

Bogor, Januari 2007 Nita Ariani

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 31 Juli 1984 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan Sarwono dan Rochana Partiningsih yang beralamat di Jalan Veteran III Rt 06/02 Banjarsari Kecamatan Ciawi Kabupaten Bogor.

Tahun 2002, penulis lulus dari SMUN I Ciawi, Bogor dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah aktif menjadi anggota himpunan profesi matematika yang dikenal dengan nama GUMATIKA dalam Departemen Kesekretariatan masa kepengurusan 2003/2004.

DAFTAR ISI

Halaman I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

1.3 Sistematika Penulisan ... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Permainan ... 1

2.2 Model Cournot dan Stackelberg ... 3

2.3 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf ... 3

2.4 Interior Solution ... 3

2.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun ... 4

2.6 Kekompakan ... 4

2.7 Titik Tetap Tarski ... 5

III PEMODELAN 3.1 Kesetimbangan Cournot-Nash dan Stackelberg ... 6

IV PEMBAHASAN 4.1 Asumsi ... 8

4.2 Permainan Supermodular ... 8

4.3 Permainan Duopoli Cournot ... 11

4.4 Permainan Duopoli Stackelberg ... 13

V SIMPULAN ... 15

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam teori ekonomi, setiap perusahaan diasumsikan bertujuan memperoleh imbalan yang maksimum. Imbalan yang didapat bergantung pada strategi yang diambil perusahaan. Kuantitas merupakan salah satu strategi perusahaan. Dalam model duopoli dimana dalam pasar terdapat dua perusahaan yang saling bersaing, setiap perusahaan dapat memilih strategi secara simultan atau sekuensial. Model duopoli dengan kuantitas sebagai strategi yang dipilih disebut duopoli kuantitas ( Amir dan Grilo 1999).

Hamilton dan Slutsky (1990) mengkonstruksi sebuah permainan yang diperluas dengan model endogenous timing

pada duopoli. Endogenous timing adalah suatu permainan dimana setiap pemainnya memiliki dua periode untuk memilih strategi. Permainan yang diperluas tersebut dikonstruksi dari model duopoli sederhana, dimana sebelum permainan berlangsung perusahaan memutuskan di periode ke berapakah memilih strategi. Model duopoli sederhana kemudian dimainkan menurut keputusan waktu tersebut, secara simultan atau sekuensial. Jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama, terjadi permainan simultan. Tetapi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda, terjadi permainan sekuensial. Duopoli Cournot dan Stackelberg masing-masing merupakan aplikasi permainan simultan dan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan.

Misalkan dalam pasar terdapat dua perusahaan dengan produk yang dihasilkan adalah air kemasan. Untuk memaksimumkan

imbalannya perusahaan dapat memutuskan berproduksi pada periode 1 atau periode 2. Jika kedua perusahaan berproduksi pada periode yang sama maka terjadi model duopoli Cournot, sedangkan jika kedua perusahaan berproduksi pada periode yang berbeda terjadi model duopoli Stackelberg.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu kondisi minimal yang menyebabkan perusahaan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg agar imbalan yang didapat maksimum.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Rabah Amir dan Isabel Grilo (1999) yang berjudul

Stackelberg versus Cournot equilibrium.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menunjukkan bahwa dengan memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan fungsi biaya, perusahaan akan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg untuk memaksimumkan imbalannya.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga diberikan pemodelan kesetimbangan Cournot dan Stackelberg yang akan digunakan dalam pembahasan. Bab empat berisi tentang kondisi minimal yang akan menyebabkan terjadinya model duopoli Cournot dan Stackelberg. Kemudian bab lima berisi simpulan dari karya ilmiah ini.

II. LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan teori yang menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini.

Berikut ini adalah definisi-definisi mengenai istilah ekonomi yang digunakan.

2.1 Teori Permainan

Secara umum, suatu permainan terdiri atas himpunan pemain, himpunan strategi,

dan imbalan yang diperoleh setiap pemain dari strategi yang dipilih.

Definisi 1 [Himpunan Strategi]

Himpunan strategi pemain-i A_i adalah himpunan dari pilihan strategi a_i yang dapat diambil oleh pemain-i dalam suatu permainan. Jadi A_i =

{ }

a_i .

Definisi 2 [ Pemain]

Pemain adalah individu atau kelompok yang membuat keputusan dari suatu himpunan strategi.

Dalam suatu permainan, diasumsikan setiap pemain mempunyai tujuan untuk memaksimumkan imbalan yang didapat.

(Rasmusen 1990)

Definisi 3 [Kombinasi Strategi]

Kombinasi strategi A adalah himpunan terurut yang terdiri dari satu strategi untuk masing-masing n pemain dalam permainan. Jadi A=

{

a₁,…,a_n

}

.

Untuk model duopoli, kombinasi strateginya

adalah A=

{

a1,a2

}

.

(Rasmusen 1990)

Definisi 4 [Fungsi Imbalan]

Fungsi imbalan pemain-i (π_i) adalah hasil yang diterima oleh pemain-i dari kombinasi strategi yang telah diambil.

Dalam model duopoli, fungsi imbalan pemain-i dapat dipetakan dengan

(

a a

)

[ ) [ )

R

i 1, 2 :0,∞ ×0,∞ →

π .

(Rasmusen 1990)

Definisi 5 [Bentuk Ekstensif]

Bentuk ekstensif permainan menjabarkan: 1) Para pemain

2) a) Kapan tiap pemain berproduksi. b) Strategi yang diambil pemain pada

tiap kesempatan dia boleh berproduksi.

c) Apa yang diketahui tiap pemain pada kesempatan dia boleh berproduksi.

3) Imbalan yang diterima tiap pemain untuk setiap kombinasi strategi yang dapat dipilih para pemain.

(Gibbons 1992)

Bentuk ekstensif dapat digambarkan dalam bentuk pohon permainan. Berikut ini adalah contoh uraian permainan dalam bentuk ekstensif.

1. Pemain-1 memilih strategi a1 dari himpunan strategi A1=

{ }

a1,a1' .

2. Pemain-2 mengamati a₁ kemudian memilih a₂ dari A₂=

{ }

a₂,a₂' .

3. Imbalannya adalah π1

(

a1,a2

)

dan

(

1 2

)

2 a ,a

π yang akan ditunjukkan dalam pohon permainan dibawah ini.

Pohon permainan ini dimulai dari titik simpul keputusan untuk pemain-1 dimana pemain-1 dapat memilih strategi a1 atau

' 1 a . Jika pemain-1 memilih a₁, maka dicapai titik simpul keputusan untuk pemain-2 dimana dia memilih strategi a2 atau

' 2 a . Demikian pula jika pemain-1 memilih a1', maka dicapai titik simpul keputusan untuk pemain-2 dimana dia dapat memilih strategi

2

a atau a'2. Berdasarkan pilihan strategi dari masing-masing pemain, dicapai titik simpul akhir yang menunjukkan imbalan yang diterima pemain. Misal imbalan yang diterima pemain diperlihatkan seperti pada Gambar 1. Baris pertama menunjukkan imbalan untuk pemain-1, sedangkan baris kedua menunjukkan imbalan untuk pemain-2. Jika pemain-1 memilih a1 dan pemain-2 memilih a2, maka imbalan yang diterima pemain-1 adalah π1

(

a1,a2

)

dan imbalan untuk pemain-2 adalah π₂

(

a₁,a₂

)

, dan seterusnya.

Definisi 6 [Subgame]

Subgame adalah bagian dari permainan yang dimulai dari suatu titik simpul pada permainan yang berbentuk ekstensif.

(Rasmusen 1990)

Definisi 7 [Kesetimbangan Nash]

Kesetimbangan Nash adalah kombinasi strategi A* dimana tidak ada dorongan bagi setiap pemain untuk melakukan perubahan strategi apabila pemain-pemain lain tidak melakukan perubahan strategi, yang dapat dirumuskan dengan:

1

1

a '

1 a

2

2

a a₂

2

' 2

a a'2

(

'

)

2 1 1a ,a π

(

'

)

2 1 2a,a π

(

1' 2,

)

1a ,a π

(

1' 2

)

2a,a

π

(

'

)

2 ' 1

1 a,a

π

(

'

)

2 ' 1

2

a

,

a

π

Gambar 1

(

1 2

)

1a,a

π

(1 2)

2 a,a π

(

)

(

* *

)

1 *

1 * 1

* *

1 * *

1 * 1

, , , , , ,

, , , , , , ,

n i i i i

n i i i i

a a a a a

a a a a a i

… …

… …

+ −

+ − ≥

∀ π π

untuk semua kemungkinan strategi a_i∈A_i. Untuk model duopoli, kesetimbangan Nash dapat dirumuskan dengan:

(

) (

*

)

2 1 1 * 2 * 1

1a ,a π a ,a

π ≥

(

) (

2

)

* 1 2 * 2 * 1

2 a ,a π a ,a

π ≥

(Rasmusen 1990)

Definisi 8 [Kesetimbangan Nash

Subgame-Perfect ]

Suatu kesetimbangan Nash merupakan

subgame-perfect jika strategi para pemain merupakan kesetimbangan Nash di setiap

subgame. (Gibbons 1992)

2.2 Model Cournot dan Stackelberg

Definisi 9 [Model Cournot]

Model Cournot adalah model permainan simultan, setiap perusahaan memilih kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan, barang yang diproduksi homogen, dan fungsi imbalan masing-masing pemain diketahui oleh semua pemain. (Gibbons 1992)

Definisi 10 [Model Stackelberg]

Model Stackelberg adalah sebuah model dinamis, yaitu pemain (leader) bergerak lebih dulu, kemudian diikuti oleh pemain lainnya (follower).

Secara umum, langkah pada permainan ini adalah:

1. Pemain-1 (leader) memilih strategi 1

1 A

a ∈ .

2. Pemain-2 (follower) mengamati a₁

dan menentukan strategi a₂∈A₂. 3. Fungsi imbalan masing-masing

pemain adalah π1

(

a1,a2

)

dan

(

1 2

)

2 a,a

π . (Gibbons 1992) Duopoli Cournot merupakan aplikasi permainan simultan sedangkan duopoli Stackelberg merupakan aplikasi permainan sekuensial.

Berikut adalah definisi, teorema dan lemma yang digunakan untuk pembuktian lemma dan teorema dalam pembahasan.

2.3 Fungsi konveks dan Fungsi Konkaf

Definisi 11 [Fungsi Konveks]

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada selang I. Fungsi f dikatakan konveks di I jika:

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2

f λ + −λ ≤λ + −λ ,

untuk setiap x1,x2∈I dan untuk setiap λ

dengan 0≤λ≤1.

(Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988)

Definisi 12 [Fungsi Konkaf]

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada selang I. Fungsi f dikatakan konkaf di I jika:

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2

f λ + −λ ≥λ + −λ ,

untuk setiap x₁,x₂∈I dan untuk setiap λ dengan 0≤λ≤1.

(Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988)

Definisi 13 [Log Konkaf dan Log Konveks]

1. Fungsi F:R+ →R adalah log konkaf

jika fungsi log F adalah konkaf. 2. Fungsi F:R+ →R adalah log konveks

jika fungsi log F adalah konveks.

(Amir 1996)

2.4 Interior Solution

Definisi 14 [Daerah Fisibel]

Misalkan f,g₁,…,g_m adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada

n

R

C⊂ . Misalkan program nonlinear:

( )

( )

( )

( )

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

⊂ ∈

≤ ≤

≤

n m

R C

g g

g

f P

x

x x

x

x

dimana

, 0 ,

, 0 ,

0

terhadap Minimumkan

2

1 …

Fungsi f disebut fungsi objektif dari (P) dan ketaksamaan g₁

( )

x ≤0,…,g_m

( )

x ≤0 disebut kendala untuk (P). Titik x∈C

yang memenuhi semua kendala dari program (P) disebut titik fisibel untuk (P), dan himpunan semua titik fisibel untuk (P) disebut daerah fisibel untuk (P).

(Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988)

Definisi 15 [Interior Solution]

Interior solution adalah solusi dari suatu masalah optimisasi yang terjadi didalam daerah fisibel.

2.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi 16 [Fungsi Naik dan Fungsi Turun]

a) Fungsi f disebut naik pada selang I jika

( ) ( )

x1 f x2

f < bilamana x1<x2 pada

I.

b) Fungsi f disebut turun pada selang I

jika f

( ) ( )

x₁ > f x₂ bilamana x₁<x₂

pada I.

(Stewart 1998)

2.6 Kekompakan

Definisi 17 [Fungsi Kontinu]

Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika

( ) ( )

x f a f

a x→ =

lim (Stewart 1998)

Definisi 18 [Ruang Metrik]

Misalkan M sembarang himpunan dan ρ adalah fungsi dengan ρ:M×M→

[ )

0,∞ sedemikian sehingga ∀x,y,z∈M

memenuhi: a) ρ

( )

x,x =0 b) ρ

( )

x,y >0,x≠y

c) ρ

( ) ( )

x,y =ρ y,x

d) ρ

( ) ( ) ( )

x,y ≤ρ x,z +ρ z,y

maka ρ disebut metrik untuk M dan

(

M,ρ

)

disebut ruang metrik.

(Goldberg 1976)

Definisi 19 [Barisan Cauchy]

Barisan bilangan real

{ }

xn ∞_n=1 disebut

barisan Cauchy jika: 0

0 ,

,

0 ∃n ∈N∋m n≥n

>

∀ε ⇒ x_m−x_n <ε

(Goldberg 1976)

Definisi 20 [Kekonvergen Barisan]

Barisan bilangan real

{ }

xn ∞_n=1 dikatakan

konvergen ke L jika

{ }

x_n ∞_n=1 mempunyai limit L. (Goldberg 1976)

Definisi 21 [Ruang Metrik Lengkap]

Misalkan

(

M,ρ

)

ruang metrik. M disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan

Cauchy di M konvergen di M.

(Goldberg 1976)

Definisi 22 [Supremum dan Infimum]

1) Suatu bilangan u∈R disebut

supremum (batas atas terkecil) dari

R

S⊆ jika memenuhi dua kondisi berikut:

i. s≤u ∀s∈S

ii. Jika s≤v ∀s∈S, maka u≤v. 2) Suatu bilangan w∈R disebut infimum

(batas bawah terbesar) dari S⊆R jika memenuhi dua kondisi berikut:

i. w≤s ∀s∈S

ii. Jika v≤s ∀s∈S, maka

v

≤

w

. (Bartle dan Sherbert 1982)

Definisi 23 [Terbatas]

Misalkan

(

M,ρ

)

ruang metrik. Himpunan

M

A⊂ dikatakan terbatas jika ∃L>0 sehingga ρ

( )

x,y ≤L ∀x,y∈A.

Jika A terbatas, maka didefinisikan diameter

A sebagai :

( )

x,y sup A

A y x ∈

=

, diam

Jika A tidak terbatas, maka didefinisikan diameter A sebagai: diamA=+∞

(Goldberg 1976)

Definisi 24 [Terbatas Total]

Misalkan

(

M,ρ

)

ruang metrik dan A⊂M . Himpunan A disebut terbatas total jika

, 0

>

∀ε ∃Ai, i=1,…,n dimanaAi ⊂M

dengan diamA_i <ε sehingga _i

n i A

A

1

= ∪

⊂ .

(Goldberg 1976)

Sebagai ilustrasi, ruang metrik

[ ]

a,b dengan

R b

a, ∈ adalah terbatas total.

Definisi 25 [Kompak]

Ruang metrik

(

M,ρ

)

disebut ruang metrik kompak jika

(

M,ρ

)

lengkap dan terbatas

total. (Goldberg 1976)

Teorema 1 [Ruang Metrik Lengkap]

Jika

(

M,ρ

)

adalah ruang metrik lengkap dan A⊂M , maka

(

A,ρ

)

adalah lengkap.

(Goldberg 1976)

Bukti dapat dilihat pada Goldberg (1976). Dari Teorema 1, karena R lengkap maka

[ ]

a,b ⊂R adalah lengkap. Karena

[ ]

a,b

juga terbatas total, maka menurut Definisi 25

[ ]

a,b merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak.

2.7 Titik Tetap Tarski

Definisi 26 [Lattice]

Himpunan S dikatakan lattice jika untuk setiap himpunan dua titik

{ }

x,y ⊂S, ada

supremum untuk

{ }

x,y (dinotasikan dengan

y

x∨ , dikatakan gabungan xdan y) dan

infimum (dinotasikan dengan x∧y,

dikatakan irisan x dan y) dalam S. (Milgrom dan Roberts 1990)

Definisi 27[Complete Lattice]

Misalkan himpunan S adalah lattice. Lattice S disebut complete jika untuk semua himpunan bagian tak kosong T⊂S,

( )

T ∈S

Inf dan Sup

( )

T ∈S.

(Milgrom dan Roberts 1990)

Definisi 28 [Titik Tetap]

Misal diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut:

( )

_Rn

f dt

d _{= = ∈}

x x x x .

,

Titik x* disebut titik tetap jika f

( )

x* =0. Titik tetap disebut titik kritis atau

kesetimbangan. (Tu 1994)

Teorema 2 [Titik Tetap Tarski]

Jika T adalah complete lattice dan

T T

f : → adalah fungsi tak turun, maka f

mempunyai titik tetap. Selain itu, himpunan titik tetap f mempunyai

( )

{

x T f x x

}

Sup ∈ | ≥ sebagai anggota terbesarnya dan Inf

{

x∈T| f

( )

x ≤x

}

sebagai anggota terkecilnya. (Tarski 1955) Bukti dapat dilihat pada Tarski (1955).

Definisi 29 [Order Upper

Semi-Continuous]

Misalkan diberikan complete lattice S dan

S

C⊂ sedemikian sehingga untuk sembarang x∈C dan y∈C,

x y y

x≥ atau ≥ . Fungsi f :S→R adalah

order upper semi-continuous jika

( )C f

( )

x f

(

( )

C

)

x

C

x∈ ,lim→inf sup ≤ inf dan ( )C f

( )

x f

(

( )

C

)

x C

x∈ ,lim→sup sup ≤ sup .

(Milgrom dan Roberts 1990) Misalkan M ≠∅ adalah himpunan pemain dimana M finite atau infinite. Masing-masing pemain m∈M mempunyai himpunan strategi A_m =

{ }

a_m dan strategi pesaingnya dinotasikan dengan a_−m. Fungsi imbalan pemain-m adalah πm

(

am,a−m

)

.

Teorema 3 [Kesetimbangan]

Misalkan a_m dan am adalah anggota

terkecil dan terbesar dari Am , y dan z

adalah dua kesetimbangan dengan y≥z. 1) Jika πm

(

am,a−m

)

naik dalam

m

a₋ , maka π_m

( )

y ≥π_m

( )

z .

2) Jika π_m

(

a_m,a_−m

)

turun dalam

m

a− , maka πm

( )

y ≤πm

( )

z .

Jika kondisi (1) dipenuhi untuk beberapa himpunan bagian pemain M1 dan kondisi (2) dipenuhi untuk pemain lain M\M₁, maka kesetimbangan terbesar adalah kesetimbangan terpilih untuk pemain di M1 dan pilihan terkecil untuk para pemain lainnya, sementara kesetimbangan terkecil adalah pilihan terkecil pemain di

1

M dan pilihan terbesar para pemain sisa. (Milgrom dan Roberts 1990) Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Roberts (1990).

Definisi 30 [ Arg maks]

Arg maks (Argumen maksimum) adalah himpunan nilai yang menyebabkan suatu fungsi mencapai nilai maksimum, yaitu:

( )

x

{

x y

(

y x f

( ) ( )

y f x

)

}

f

x ∈ ∀ ≠ → <

: | maks

arg

III. PEMODELAN

3.1 Kesetimbangan Cournot-Nash dan

Stackelberg

Misalkan P

()

. adalah harga pasar dalam model duopoli dengan produk homogen,

()

.:

[ ) [ )

0,∞ → 0,∞

1

C adalah fungsi biaya perusahaan-1, C2

()

.:

[ ) [ )

0,∞ → 0,∞ adalah fungsi biaya perusahan-2, x adalah kuantitas perusahaan-1 dan y adalah kuantitas perusahaan-2.

Imbalan dari perusahaan-1 adalah:

( )

x y xP

(

x y

)

C1

( )

x

1 , = + −

π

dan imbalan perusahaan-2 adalah:

( )

x y yP

(

x y

)

C₂

( )

y

2 , = + −

π

Definisi 31: Kesetimbangan Cournot-Nash

Kesetimbangan Cournot-Nash adalah pasangan

(

xN,yN

)

sedemikian sehingga

0 , ≥

∀x y berlaku:

(

xN,yN

) ( )

1x,yN dan 2

(

xN,yN

) ( )

2xN,y

1 π π π

π ≥ ≥

Misalkan permainan dilakukan secara sekuensial dan perusahaan-1 sebagai leader. Dalam setiap tahap permainan, pemain

mengetahui apa yang telah terjadi atau yang telah dilakukan oleh pemain lain pada tahap sebelumnya dimana follower mengamati tindakan leader sebelum bertindak.

Definisi 32: Kesetimbangan Stackelberg

Kesetimbangan Stackelberg

(

xs,gs

()

.

)

adalah kesetimbangan subgame perfect dari permainan dua tahap, sedemikian sehingga:

( )

(

( )

)

(

( )

)

( )

ii

(

,

( )

) ( )

, 0

0 ,

,

2 2

1 1

≥ ∀ ≥

≥ ∀ ≥

y y x x

g x

x x g x x

g x i

s s

s s

s s

s s

π π

π π

Kesetimbangan Stackelberg ini terletak pada koresponden tanggapan terbaik pemain-2, yang didefinisikan sebagai:

( )

x

( )

x y

r arg maks ₂ , 0 y

2 = _≥ π

dimana tidak ada x≥0,x≠xs sedemikian sehingga π1

( )

x,y >π1

(

xs,ys

)

, ∀y∈r2

( )

x .

Selanjutnya akan diberikan suatu bentuk ekstensif dari permainan yang diperluas, Digambarkan dalam pohon permainan berikut ini.

Permainan yang diperluas dikonstruksi dari model duopoli sederhana, dimana sebelum permainan berlangsung, perusahaan

memutuskan di periode ke berapakah memilih strategi. Misalkan jika perusahaan memilih strategi pada periode pertama

e l

2

e l

e l

1

2

1

2

2

₁

2 1

Gambar 2 1

dinotasikan dengan early (e), sedangkan bila perusahaan memilih strategi pada periode kedua dinotasikan dengan late (l). Model duopoli sederhana kemudian dimainkan menurut keputusan waktu tersebut, secara sekuensial atau simultan. Permainan simultan terjadi jika kedua pemain memutuskan bergerak pada periode yang sama. Aplikasi dari permainan ini adalah model duopoli Cournot. Jika kedua pemain memutuskan bergerak pada periode yang berbeda terjadi permainan sekuensial, dimana dalam setiap periode permainan, pemain mengetahui apa yang telah terjadi atau yang telah dilakukan oleh pemain lain pada periode sebelumnya. Model duopoli Stackelberg merupakan aplikasi permainan simultan.

Diberikan model duopoli sederhana. Misalkan N adalah himpunan strategi kesetimbangan Nash, S_i adalah himpunan strategi kesetimbangan Stackelberg dengan pemain-i sebagai leader, dan E adalah himpunan subgame perfect Nash equilibria

dari permainan yang diperluas. Elemen dari himpunan E dapat ditulis sebagai pasangan waktu (early (e) atau late (l)) dan model duopoli sederhana (simultan atau sekuensial).

Proposisi 1

Misal diberikan himpunan strategi kesetimbangan subgame perfect dari permainan yang diperluas E dan model duopoli sederhana dengan N ≠∅ dan

2 , 1 , =

∅

≠ i

Si . Ketika π1

( )

e,l >π1

( )

l,l dan

( )

l,e 2

( )

l,l

2 π

π > , maka pernyataan berikut benar:

a. Jika π1

( )

e,e >π1

( )

l,e dan

( )

e,e ₂

( )

e,l

2 π

π > , maka diperoleh

( )

{

e e N

}

E= , , .

b. Jika π₁

( )

l,e >π₁

( )

e,e dan

( )

e,l 2

( )

e,e

2 π

π > , maka diperoleh

( )

{

e,l,S1

} ( )

{

l,e,S2

}

E= ∪ .

Bukti.

a. Dari hipotesis diketahui bahwa pemain-1 lebih baik berada pada kombinasi strategi (e,l) daripada (l,l). Hal yang sama berlaku untuk pemain-2 yang lebih baik berada pada kombinasi strategi (l,e) daripada (l,l). Pemain-1 juga akan lebih memilih imbalan pada kombinasi strategi (e,e) daripada (l,e) dan pemain-2 lebih memilih imbalan pada kombinasi strategi (e,e) daripada (e,l). Maka e adalah strategi dominan untuk kedua pemain tersebut sehingga

( )

{

e e N

}

E= , , .

b. Dari hipotesis diperoleh bahwa pemain-1 lebih memilih hasil kombinasi strategi (e,l) daripada (l,l) dan bahwa pemain-2 lebih memilih hasil kombinasi strategi (l,e) daripada (l,l). Tak ada keuntungan yang akan diperoleh pemain-1 jika mengubah strateginya, demikian pula pemain-2. Akibatnya diperoleh

( )

{

e,l,S1

} ( )

{

l,e,S2

}

IV. PEMBAHASAN

4.1 Asumsi

Berikut ini adalah asumsi yang digunakan dalam memodelkan permainan. a. Harga pasar P

()

. merupakan fungsi

turun danP''

()

. kontinu.

b. Fungsi biaya perusahaan-1 C₁

()

. dan fungsi biaya perusahaan-2 C2

()

. merupakan fungsi naik, C1''

()

.dan

()

.

'' 2

C

kontinu dengan Ci

( )

0 =0.

4.2 Permainan Supermodular

Berikut ini beberapa pegertian mengenai permainan Supermodular yang digunakan untuk menyelesaikan masalah utama yang akan dibahas dalam tulisan ini.

Definisi 33 [Fungsi Supermodular dan

Submodular]

1) Suatu fungsi F:R₊2→R dikatakan

supermodular jika untuk semua 2

1 2 1 x ,y y

x ≥ ≥ ,

(

x1,y1

) (

Fx2,y1

) (

Fx1,y2

) (

Fx2,y2

)

F − ≥ −

2) Suatu fungsi F:R₊2→R dikatakan

submodular jika untuk semua 2

1 2 1 x ,y y

x ≥ ≥ ,

(

x1,y1

) (

Fx2,y1

) (

Fx1,y2

) (

Fx2,y2

)

F − ≤ −

(Amir 1996)

Definisi 34 [Fungsi Supermodular

sempurna dan Submodular sempurna]

1) Suatu fungsi F:R+2→R adalah supermodular sempurna jika untuk semua x1≥x2,y1≥y2,

(

x1,y1

) (

Fx2,y1

) (

Fx1,y2

) (

Fx2,y2

)

F − > −

2) Suatu fungsi F:R+2→R adalah submodular sempurna jika untuk semua

2 1 2 1 x ,y y

x ≥ ≥ ,

(

x1,y1

) (

Fx2,y1

) (

Fx1,y2

) (

Fx2,y2

)

F − < −

(Amir 1996)

Bila dilihat dari turunan keduanya, Definisi 34 dapat ditulis sebagai berikut:

Definisi 35 [Fungsi Supermodular

sempurna dan Submodular Sempurna]

1. Jika F mempunyai turunan kedua yang kontinu dan x y

y x

F

, , 0 2

∀ > ∂ ∂ ∂

maka F

adalah supermodular sempurna. 2. Jika F mempunyai turunan kedua yang

kontinu dan x y y

x F

, , 0 2

∀ < ∂ ∂ ∂

maka F

adalah submodular sempurna.

(Amir 1996)

Definisi 36 [Strict Single-Crossing Property

(SSCP) dan Dual Strict Single-Crossing Property (Dual SSCP) ]

1) Fungsi F:

[ )

0,∞ 2→R mempunyai

Strict Single-Crossing Property atau SSCP di

( )

x,y jika:

(

x1,y2

)

F

( )

x2,y2 F

(

x1,y1

)

F

(

x2,y1

)

F ≥ ⇒ >

semua

untuk x1>x2,y1>y2.

2) Fungsi F:

[ )

0,∞ 2→R mempunyai

dual SSCP di

( )

x,y jika:

(

x1,y2

)

F

( )

x2,y2 F

(

x1,y1

)

F

(

x2,y1

)

F ≤ ⇒ <

semua

untuk x1>x2,y1>y2.

(Amir 1996)

Teorema 4 [Permainan Supermodular]

Duopoli Cournot adalah permainan

ordinally supermodular jika memenuhi asumsi berikut:

1. P

()

. merupakan fungsi turun dan log konkaf.

2. Ci

()

. , i=1,2 merupakan fungsi naik dan kontinu kiri.

3. ∃ kuantitas Q>0 sedemikian sehingga QP

( )

Q −C_i

( )

Q <0, i=1,2

untuk semua Q>Q.

(Amir 1996)

Bukti dapat dilihat pada Amir (1996).

Teorema 5 [Koresponden Tanggapan Terbaik yang Tak Naik dan Tak Turun]

1) Setiap fungsi x

( )

y argmaksF

( )

x,y

0 x *

≥

∈

adalah tak turun di y jika F mempunyai SSCP.

2) Setiap fungsi x

( )

y argmaksF

( )

x,y 0 x * ≥ ∈

adalah tak naik di y jika F mempunyai

dual SSCP.

(Milgrom dan Shannon 1994) Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Shannon (1994).

Lemma 1 [Fungsi Supermodular dan

Submodular]

1. Misal f,g:R+→R, f adalah fungsi konkaf dan g adalah fungsi konveks, maka fungsi bernilai real

1)

( )

x,y → f

(

x+y

)

adalah

submodular pada R+×R+; 2)

( )

x,y → f

(

x−y

)

supermodular

pada lattice ϕ=

{

( )

x,y :y≥0dan

}

y x≥

3)

( )

x,y →g

(

x+y

)

supermodular

pada R+×R+.

2. Misal f,g:R+→R, f adalah fungsi konkaf sempurna dan g adalah fungsi konveks sempurna, maka fungsi bernilai real

1)

( )

x,y → f

(

x+y

)

adalah

submodular sempurna pada +

+_×R

R ;

2)

( )

x,y → f

(

x−y

)

supermodular

sempurna pada lattice

( )

{

x y y≥ x≥y

}

= , : 0dan

ϕ ;

3)

( )

x,y →g

(

x+y

)

supermodular

sempurnapada R+×R+.

(Amir 1996)

Bukti dapat dilihat pada Amir (1996).

Lemma 2

Jika P

()

. adalah log-konkaf atau P

()

. memenuhi P'

( )

x +xP"

( )

x <0 untuk setiap

0

≥

x dan ada kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i Ki sedemikian sehingga

( )

K −C

( )

K ≤KP

( ) ( )

K −C K ,∀K,i=1,2,

KP _{i i i i i}

maka semua kuantitas pada selang

( )

Ki,∞ adalah tindakan terdominasi untuk perusahaan-i dan setiap pilihan dari korespondensi tanggapan terbaik r_i

()

. merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaingnya.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa:

1) Setiap pilihan dari koresponden

tanggapan terbaik ri

()

. merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing (Jika πi adalah dual SSCP maka setiap

pilihan ri

()

.merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing).

2) Semua kuantitas di

( )

K_i,∞ adalah tindakan terdominasi untuk

perusahaan-i.

1) Dari hipotesis diketahui bahwa P

adalah log-konkaf , maka logP

()

. adalah konkaf. Berdasarkan Lemma 1

(

x y

)

P +

log adalah submodular di

( )

_∈ +_× +

R R y

x, , maka untuk

sembarang x1>x2,y1>y2:

(

)

(

)

(

1 2

)

(

2 2

)

1 2 1 1 log log log log y x P y x P y x P y x P + − + ≤ + − +

(

)

(

)

(

(

2 2

)

)

2 1 1 2 1 1 _log log y x P y x P y x P y x P + + ≤ + + ⇔

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

1

2 2 2 1 1 2 1 1 y x P y x P y x P y x P + + ≤ + + ⇔

Misal diasumsikan bahwa:

(

)

( )

(

2 2

)

1

( )

2

( )

2

2 1 1 2 1 1 x C y x P x x C y x P x − + ≤ − +

Substitusi (1) ke ruas kanan (2), sehingga didapat:

(

)

( )

(

)

(

) (

2 1

)

1

( )

2

1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P x − + + + ≤ − +

Kemudian kali silang dengan

(

)

(

1 2

)

1 1 y x P y x P + +

(

) (

₍

)

_{) ( )}

(

) (

₍

)

_{) ( )}

1 2

2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P y x P y x P x + + − + ≤ + + − +

Karena x1>x2,y1>y2 dan berdasarkan hipotesis P'

()

. <0 ( P

fungsi turun), C₁

()

. fungsi naik, maka

(

x1 y1

)

P + <P

(

x₁+y₂

)

dan

( )

1 1

( )

2 1 x C x

C > , sehingga diperoleh:

(

)

( )

(

_{2 1}

)

₁

( )

₂

( )

3

2 1 1 1 1 1 x C y x P x x C y x P x − + < − +

Karena (2) berimplikasi (3) maka π1 mempunyai dual strict single-crossing property (dual SSCP).

Misal diasumsikan bahwa:

(

)

( )

(

2 2

)

2

( )

2

( )

4 2 1 2 1 2 1 y C y x P y y C y x P y − + ≤ − +

Substitusi (1) ke ruas kanan (4), sehingga didapat:

(

)

( )

(

)

(

) (

2 1

)

2

( )

2

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y C y x P y x P y x P y y C y x P y − + + + ≤ − +

Kemudian kali silang dengan

(

)

(

2 1

)

1 1 y x P y x P + +

(

)

( ) (

₍

)

₎

(

)

( ) (

₍

)

₎

1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 y x P y x P y C y x P y y x P y x P y C y x P y + + − + ≤ + + − +

Karena x₁>x₂,y₁>y₂, P

()

. fungsi turun dan C₂

()

. fungsi naik, maka

(

x1 y1

) (

Px2 y1

)

P + < + dan C2

( )

y1 >

( )

2 2 y

C , sehingga diperoleh :

(

)

( )

(

1 2

)

2

( )

2

( )

5 2 1 2 1 1 1 y C y x P y y C y x P y − + < − +

Karena (4) berimplikasi (5) maka π₂ mempunyai dual SSCP, sehingga π_i mempunyai dual SSCP. Akibatnya berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan

()

.

i

r merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing .

2) Berdasarkan hipotesis diketahui bahwa

i

K adalah kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i, maka Ki∈r

( )

0 . Akibatnya imbalan akan menurun jika perusahaan memilih kuantitas lebih dari

i

K , sehingga kuantitas di

( )

Ki,∞ tidak dapat menjadi tanggapan terbaik. Jadi semua kuantitas di

( )

K_i,∞ adalah tindakan terdominasi untuk

perusahaan-i.

Lemma 3

Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli kuantitas adalah permainan supermodular, maka N tidak kosong dan terdapat titik

( )

x,y dimana perusahaan-1 (perusahaan-2 ) menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi (lebih rendah) pada N. Titik

( )

x,y terletak pada r₂

()

. =min r₂

()

. dan merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa:

1) Duopoli kuantitas adalah permainan

supermodular dengan N ≠∅ dan terdapat titik

( )

x,y dimana perusahaan-1 (perusahaan-2) menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi (lebih rendah) pada N.

2) Titik

( )

x,y terletak pada

()

. min

()

.

2 r2

r = dan merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah.

1) Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli kuantitas memenuhi Teorema 4 untuk menjadi permainan supermodular yaitu:

a) P

()

. merupakan fungsi turun dan log konkaf.

b) C_i

()

. merupakan fungsi naik dan kontinu kiri, i=1,2.

c) Karena Ki adalah kuantitas

monopoli optimal untuk perusahaan-i, maka imbalan akan menurun jika perusahaan memilih lebih dari Ki. Akibatnya ada

kuantitas pada selang

( )

K_i,∞ , misal Q, yang menyebabkan perusahaan merugi atau

( )

Q −C

( )

Q <0

QP _i .

Berdasarkan Lemma 2 duopoli kuantitas

menjadi permainan supermodular dengan himpunan tindakan efektif

[ ] [ ]

0,K1×0,K2 . Karena itu, N tidak kosong dan

[ ]

0,Ki

merupakan selang tertutup sehingga merupakan complete lattice, dan menurut Teorema 2, N mempunyai anggota terbesar . Misalkan diberikan anggota terbesar yaitu

( )

x,y . Tetapi berdasarkan Teorema 2, perusahaan-2 sekurang-kurangnya memilih

( )

x,y dari semua kesetimbangan di N, maka pada titik

( )

x,y perusahaan-1 menghasilkan kuantitas tertinggi di N, sedangkan perusahaan-2 menghasilkan kuantitas terendah di N.

2)

( )

x,y ∈ r2

()

. karena pada titik

( )

x,y perusahaan-1 menghasilkan kuantitas tertinggi di N, sedangkan perusahaan-2 menghasilkan kuantitas terendah di N.

Berdasarkan Teorema 2 untuk pemetaaan

( )

x,y →

(

r₁

( ) ( )

y,r₂ x

)

yang tak turun akan mempunyai titik tetap terbesar.

Misalkan

( )

x',y' ∈N titik tetap terbesar dengan

( )

x',y' ∈r2

()

. dan

y

<

y

' . Kontradiksi dengan titik ekstrim

( )

x,y , maka

( )

x,y merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terkecil.

ƒ

Lemma 4

Berdasarkan hipotesis Lemma 2, jika setiap titik

(

xs,ys

)

∈S₁ harus terletak dir₂

()

. dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks

arg _{1 2}

1 x y x y r

S

0 x

∈ =

≥ π ,

dengan r₂

()

. adalah pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah, maka

(

xs,ys

)

1

( )

x,y

1 π

π ≥ .

Bukti.

Akan dibuktikan:

• Setiap titik

(

,

)

2

()

.

s s

r y

x ∈ dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks

arg _{1 2}

1 x y x y r

S

0 x

∈ =

≥ π

• π1

(

xs,ys

)

≥π1

( )

x,y

Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik

(

,

)

2

()

.

s s

r y

x ∈ .

Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2

()

. kontinu kanan.

Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg

(

xs,ys

)

∉r₂

()

. sedemikian sehingga

( )

s s

x r

y > 2 . Dari Lemma 2 diketahui bahwa setiap pilihan r₂

()

. adalah tak naik. Karena itu, himpunan titik dir2

()

. tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r₂

()

. yang tak kontinu. r₂

()

. bernilai banyak di xs. Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε >0 sedemikian sehingga pilih xs+ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik

follower yang unik yaitu r₂

()

. bernilai tunggal di xs+ε. Karena ys >r2

( )

xs dan

()

. 2

r kontinu kanan maka r2

(

xs+ε

)

<ys.

Diketahui pula π1

( )

x,y kontinu di x dan

turun di y, maka menghasilkan imbalan

leader yaitu:

(

)

(

s s

) (

s s

)

y x x

r

x , 2 1 ,

1 ε ε π

π + + >

Kontradiksi dengan hipotesis bahwa

(

_xs _ys

)

, adalah kesetimbangan Stackelberg. Karena itu haruslah

(

,

)

2

()

.

s s

r y

x ∈ dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks

arg _{1 2}

1 x y x y r

S

0 x

∈ =

≥ π

terpenuhi atau S

(

x r

( )

x

)

0 x

2 1 1 argmaksπ ,

≥

= .

Jadi semua titik di S1 menghasilkan imbalan yang sama untuk leader. Dari Lemma 3,

( )

x,y adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan

( )

x,y ∈ r₂

()

. , maka π1

(

xs,ys

)

≥π1

( )

x,y . 4.3 Model Duopoli Cournot

Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar yang akan menghasilkan model duopoli Cournot.

Teorema 6

Jika diketahui bahwa:

1. Tidak ada kesetimbangan Cournot-Nash yang terletak di batas daerah.

2. P

()

. adalah log-konkaf atau P

()

. memenuhi P'

( )

x +xP"

( )

x <0,∀x≥0. 3. ∃ kuantitasK sedemikian sehingga

( )

( )

( ) ( )

. 2 , 1 ,

,

= ∀

− ≤

−

i K

K C K P K K C K

KP i i i i i

4. P adalah log-konkaf sempurna yaitu

() ()

. . '2

()

. 0 " _{P −P <}

P atau C_i'

()

. >0, maka E=

{

( )

e,e,N

}

.

Sebelum membuktikan Teorema 6 akan diberikan terlebih dahulu lemma berikut ini.

Lemma 5

Jika asumsi Teorema 6 dipenuhi, maka titik ekstrim kesetimbangan Nash

( )

x,y ∉S₁.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa:

1) r2'

()

. <0 di sembarang titik pada fungsi

tanggapan minimal r2

()

. , sepanjang titik tersebut terletak di dalam daerah fisibel.

Berdasarkan Teorema 2 untuk pemetaaan

( )

x,y →

(

r₁

( ) ( )

y,r₂ x

)

yang tak turun akan mempunyai titik tetap terbesar.

Misalkan

( )

x',y' ∈N titik tetap terbesar dengan

( )

x',y' ∈r2

()

. dan

y

<

y

' . Kontradiksi dengan titik ekstrim

( )

x,y , maka

( )

x,y merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terkecil.

ƒ Lemma 4

Berdasarkan hipotesis Lemma 2, jika setiap titik

(

xs,ys

)

∈S₁ harus terletak dir₂

()

. dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks

arg _{1 2}

1 x y x y r

S

0 x

∈ =

≥ π ,

dengan r₂

()

. adalah pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah, maka

(

xs,ys

)

1

( )

x,y

1 π

π ≥ .

Bukti.

Akan dibuktikan:

• Setiap titik

(

,

)

2

()

.

s s

r y

x ∈ dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks

arg _{1 2}

1 x y x y r

S

0 x

∈ =

≥ π

• π1

(

xs,ys

)

≥π1

( )

x,y

Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik

(

,

)

2

()

.

s s

r y

x ∈ .

Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2

()

. kontinu kanan.

Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg

(

xs,ys

)

∉r₂

()

. sedemikian sehingga

( )

s s

x r

y > 2 . Dari Lemma 2 diketahui

bahwa setiap pilihan r₂

()

. adalah tak naik. Karena itu, himpunan titik dir2

()

. tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r₂

()

. yang tak kontinu. r₂

()

. bernilai banyak di xs. Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε >0 sedemikian sehingga pilih xs+ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu r₂

()

. bernilai tunggal di xs+ε. Karena ys >r2

( )

xs dan

()

. 2

r kontinu kanan maka r2

(

xs+ε

)

<ys. Diketahui pula π1

( )

x,y kontinu di x dan

turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu:

(

)

(

s s

) (

s s

)

y x x

r

x , 2 1 ,

1 ε ε π

π + + >

Kontradiksi dengan hipotesis bahwa

(

_xs _ys

)

, adalah kesetimbangan Stackelberg. Karena itu haruslah

(

,

)

2

()

.

s s

r y

x ∈ dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks

arg _{1 2}

1 x y x y r

S

0 x

∈ =

≥ π

terpenuhi atau S

(

x r

( )

x

)

0 x

2 1

1 argmaksπ ,

≥

= .

Jadi semua titik di S1 menghasilkan imbalan

yang sama untuk leader. Dari Lemma 3,

( )

x,y adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan

( )

x,y ∈ r₂

()

. , maka π1

(

xs,ys

)

≥π1

( )

x,y .

4.3 Model Duopoli Cournot

Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar yang akan menghasilkan model duopoli Cournot.

Teorema 6

Jika diketahui bahwa:

1. Tidak ada kesetimbangan Cournot-Nash yang terletak di batas daerah.

2. P

()

. adalah log-konkaf atau P

()

. memenuhi P'

( )

x +xP"

( )

x <0,∀x≥0. 3. ∃ kuantitasK sedemikian sehingga

( )

( )

( ) ( )

. 2 , 1 ,

,

= ∀

− ≤

− i K

K C K P K K C K

KP i i i i i

4. P adalah log-konkaf sempurna yaitu

() ()

. . '2

()

. 0 " _{P −P <}

P atau C_i'

()

. >0, maka E=

{

( )

e,e,N

}

.

Sebelum membuktikan Teorema 6 akan diberikan terlebih dahulu lemma berikut ini.

Lemma 5

Jika asumsi Teorema 6 dipenuhi, maka titik ekstrim kesetimbangan Nash

( )

x,y ∉S₁.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa:

1) r2'

()

. <0 di sembarang titik pada fungsi

tanggapan minimal r2

()

. , sepanjang titik tersebut terletak di dalam daerah fisibel.

1) Berdasarkan Lemma 2, setiap pilihan dari r₂

()

. tak naik, maka r₂'

()

. ≤0.

Imbalan untuk perusahaan-2 pada sembarang titik di r₂

()

. adalah:

( )

[

x r2 x

]

r2

( )

xP

[

x r2

( )

x

]

C2

[ ]

r2

( )

x

2 , = + −

π

Untuk setiap x≥0 sedemikian sehingga

()

. 0 2 >

r , maka first-order condition diberikan oleh:

( )

[

]

( )

0 , 2 2 2 = ∂ ∂ x r x r x π

( )

[

x+r₂ x

]

+r₂

( )

xP'

[

x+r₂

( )

x

]

−C₂'

[ ]

r₂

( )

x =0

( )

6

P

Turunkan (6) terhadap x, sehingga didapat:

( )

(

)

[

( )

]

( )

[

( )

]

( )

( )

(

1

)

[

( )

]

[ ]

( )

( )

0

( )

7 1 ' 2 2 " 2 2 " ' 2 2 2 ' ' 2 2 ' ' 2 = − + + + + + + + x r x r C x r x P x r x r x r x P x r x r x P x r

Substitusi (6) ke (7)

( )

(

)

[

( )

]

( )

[

( )

]

( )

[ ]

[

( )

]

( )

[

]

(

( )

)

[

( )

]

( )

[ ]

( )

0

1 1 ' 2 2 " 2 2 " ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' ' 2 2 ' ' 2 = − + + + + − + + + + + x r x r C x r x P x r x r x P x r x P x r C x r x P x r x r x P x r

Akan dibuktikan r₂'

()

. <0.

Andaikan untuk suatu x₀,

( )

0 0

'

2 x =

r , maka:

( )

[

]

[ ]

( )

_[

[

_{( )}

_]

( )

]

( )

[

_{0 2 0}

]

0

" 0 2 0 ' 0 2 0 0 2 ' 2 0 2 0 ' = + + + − + + x r x P x r x P x r x P x r C x r x P

( )

[

]

[

( )

]

( )

[

]

[ ]

( )

{

_{0 2 0 2}' _{2 0}

}

0

( )

8

0 2 0 " 0 2 0 2 ' = − + + + + − x r C x r x P x r x P x r x P

Berdasarkan hipotesis P'

()

. <0 dan dari (6)

( )

[

]

( )

[

( )

]

( )

[

_{2 0}

]

0

' 2 0 2 0 ' 0 2 0 2 0 = − + + + x r C x r x P x r x r x P

Karena P'

()

. <0 dan r₂

()

. >0, maka

( )

[

]

[

2

( )

0

]

' 2 0 2

0 r x C r x

x

P + >

Sehingga (8) kontradiksi dengan hipotesis yaitu P

()

. adalah log-konkaf sempurna

()

() ()

(

−P'2. +P".P. <0

)

atau C2'

()

. >0, sehingga haruslah r2'

()

. ≠0 untuk r2

()

. >0. Dan berdasarkan Lemma 2 maka r₂'

()

. <0. 2) Misalkan

(

xs,r2

( )

xs

)

adalah

perusahaan-1 sebagai leader. Karena

( )

x,y adalah interior solution berdasarkan asumsi, maka harus

memenuhi: 1

( )

, =0

∂ ∂ x y x π

Jika

(

xs,r2

( )

xs

)

juga merupakan interior solution, maka akan memenuhi:

( )

(

)

(

( )

_{) ( )}

0 , , ' 2 2 1 2 1 ≤ ∂ ∂ + ∂ ∂ s s s s s x r y x r x x x r x π π

Diketahui r₂'

()

. <0 dan

( )

=

∂ ∂ y y x, 1 π

(

x y

)

xP' + , karena P'

()

. <0 dan x≥0 maka 1 <0

∂ ∂

y

π

. Sehingga diperoleh

( )

(

)

0 , 2 1 < ∂ ∂ x x r

xs s

π

. Akibatnya x≠xs dan

( ) ( )

s

x r x

r2 ≠ 2 . Terbukti bahwa titik ekstrim

kesetimbangan Nash

( )

x,y ∉S1. Bukti Teorema 6.

Akan dibuktikan bahwa : E=

{

( )

e,e,N

}

Menurut Proposisi 1(a) akan dibuktikan: 1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik

berada pada sembarang titik di Si

daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih

memilih imbalan pada sembarang titik terburuk di N daripada sembarang imbalan sebagai follower.

Lemma 2 dan Lemma 3 menunjukkan bahwa duopoli kuantitas adalah permainan supermodular. Jadi kesetimbangan Cournot-Nash ada. Karena ruang strategi efektif

[ ]

0,Ki⊂R merupakan selang tertutup, akibatnya

[ ]

0,Ki lengkap dan terbatas total

(lihat Teorema 1). Sehingga ruang strategi

[ ]

0,Ki merupakan ruang metrik kompak

dengan metrik ρ nilai mutlak. Diketahui pula fungsi imbalan kontinu, maka kesetimbangan Stackelberg juga ada yaitu

2

S

S1dan tidak kosong .

1. Sudah dibuktikan di Lemma 4.

2. Misalkan

(

xs,ys

)

adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader dan

( )

x,y adalah titik ekstrim kesetimbangan

Cournot-Nash. Sebagaimana ditunjukkan di Lemma 5

( ) (

_{x,y ≠ x}s_,ys

)

_{. Berdasarkan Lemma 3}

dan Lemma 4 kedua titik terletak pada

()

. 2

r fungsi tanggapan minimal perusahaan-2.

(

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

( )

9

1 1 s s s s s s s x C y x P x x C y x P x x C y x P x − + ≥ − + > − +

dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat kesetimbangan Stackelberg yang digambarkan dalam Lemma 4 dan menurut Lemma 5

( )

x,y ∉S₁. Pertidaksamaan kedua mengikuti sifat kesetimbangan Nash. Karena

1

π menurun pada y,maka pertidaksamaan (9) menghasilkan r₂

( )

xs =ys<y=r₂

( )

x dan r₂

()

. merupakan fungsi turun sehingga menghasilkan xs>x.Maka untuk setiap y, keuntungan pemain-2 memenuhi:

( )

x y C2

( )

y yP

( )

x y C2

( )

y

( )

10

yP + − > s+ −

Ambil sup y≥0 pada kedua sisi dari pertidaksamaan (10), berdasarkan definisi

( )

x,y dan Lemma 4 menghasilkan:

( )

_{x y C}

( )

_{y y}s_P

(

_xs _ys

) ( )

_{C y}s

P

y + − ₂ > + − ₂

Ini berarti follower lebih memilih kesetimbangan Cournot-Nash terburuk daripada kesetimbangan Stackelberg. Cara yang sama dilakukan untuk perusahaan-2 sebagai leader dengan

( )

x,y sebagai titik ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash.

4.4 Model Duopoli Stackelberg

Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan biaya yang akan menghasilkan model duopoli Stackelberg.

Teorema 7

Jika P

()

. log-konveks sempurna yaitu

() ()

. . '2

()

. 0 " _{P −P >}

P , Ci

()

. =0 untuk i=1,2 dan limxP

(

x y

)

0, y tetap

x→∞ + = ∀ , maka

( )

{

e,l,S1

} ( )

{

l,e,S2

}

E= ∪ .

Bukti.

Dari hipotesis diketahui P

()

. log konveks sempurna maka log P konveks sempurna.

Berdasarkan Lemma 1, karena log P konveks sempurna maka supermodular sempurna di

( )

x,y , maka untuk sembarang

2 1 2

1 x ,y y

x > > :

(

)

(

)

(

1 2

)

(

2 2

)

1 2 1 1 log log log log y x P y x P y x P y x P + − + > + − +

(

)

(

)

(

(

2 2

)

)

2 1 1 2 1 1 _log log y x P y x P y x P y x P + + > + + ⇔

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

11

2 2 2 1 1 2 1 1 y x P y x P y x P y x P + + > + + ⇔

Misal diasumsikan bahwa:

(

)

( )

(

_{2 2}

)

₁

( )

₂

( )

12

2 1 1 2 1 1 x C y x P x x C y x P x − + ≥ − +

Substitusi (11) ke (12), didapat:

(

)

( )

(

)

(

) (

2 1

)

1

( )

2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P x − + + + > − +

Kemudian kali silang dengan

₍

(

)

₎

2 1 1 1 y x P y x P + +

(

) (

₍

)

_{) ( )}

(

) (

₍

)

_{) ( )}

1 2

2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P y x P y x P x + + − + > + + − +

Karena x1>x2,y1>y2, P fungsi turun dan

()

.

1

C fungsi naik, maka

(

x1 y1

) (

Px1 y2

)

P + < + dan

( )

_{1 1}

( )

₂

1 x C x

C > , sehingga diperoleh:

(

)

( )

(

_{2 1}

)

₁

( )

₂

( )

13

2 1 1 1 1 1 x C y x P x x C y x P x − + ≥ − +

Karena (12) berimplikasi (13) maka π1

adalah SSCP. Untuk membuktikan π₂ adalah SSCP dilakukan cara yang sama, sehingga π_i mempunyai SSCP. Akibatnya berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan ri

()

. merupakan fungsi tak turun di kuantitas pesaing.

Diberikan permainan simetri, karena

(

)

0

lim + =

∞

→ xPx y

x maka berdasarkan

Teorema 3 diketahui bahwa kedua pemain lebih memilih kesetimbangan Cournot terkecil

( )

x,x daripada semua kesetimbangan Cournot yang lain. Selanjutnya akan dibedakan menjadi dua kasus.

Kasus 1 : Jika x finite

Dengan menggunakan proposisi 1 (b) akan dibuktikan bahwa :

1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di S_i daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih

memilih imbalan follower terburuk daripada sembarang titik di N.

Bukti bagian

1. Dibuktikan di lemma 6.

2. Misalkan

(

xs,ys

)

adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader.

(

xs,ys

)

∉N, analog seperti pada lemma 5. Didapat :

(

x y

)

xP

( )

x y x P

(

x y

)

P

xs s+ s > + ≥ s s+

dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat Stackelberg dan pertidaksamaan kedua dari sifat Nash. Karena ys <y dan analog dengan Lemma 5, r₂

()

. adalah fungsi naik, maka xs<x. Untuk setiap y berlaku :

(

x y

)

yP

(

x y

)

( )

14

yP s+ > +

Ambil supy≥0 pada kedua sisi pertidaksamaan (14) menghasilkan :

(

x y

)

xP

( )

x P

ys s+ s > 2

Ini berarti follower lebih memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada kesetimbangan Cournot terbaik.

Kasus 2 : Jika x=+∞

Berdasarkan asumsi, kesetimbangan Cournot yang berhubungan dengan

( )

x,x adalah 0, karena lim

( )

2 lim

( )

0

x→∞xP x≤x→∞xPx+y= ,

yang juga imbalan terkecil untuk pemain. Karena itu leader selalu mengambil kuantitas finite maka follower akan bereaksi dengan kuantitas finite sebab

(

x+y

)

→0

xP untuk x→∞, ∀ytetap. Akibatnya menghasilkan imbalan kesetimbangan Stackelberg lebih dari 0 untuk kedua pemain. Maka follower akan memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada Kesetimbangan Nash yang unik.

ƒ Lemma 6

Berdasarkan asumsi Teorema 7, kesimpulan Lemma 4 diperoleh.

Bukti.

Akan dibuktikan:

• Setiap titik

(

,

)

2

()

.

s s

r y

x ∈ dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks

arg _{1 2}

1 x y x y r

S

0 x

∈ =

≥ π

• π1

(

xs,ys

)

≥π1

( )

x,y

Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik

(

,

)

2

()

.

s s

r y

x ∈ .

Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2

()

. kontinu kiri.

Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg

(

xs,ys

)

∉r2

()

. sedemikian sehingga

( )

s s

x r

y > 2 . Dari Teorema 7 diketahui

bahwa setiap pilihan r₂

()

. adalah tak turun. Karena itu, himpunan titik dir2

()

. tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r₂

()

. yang tak kontinu. r₂

()

. bernilai banyak di xs. Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε>0 sedemikian sehingga pilih xs−ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu r₂

()

. bernilai tunggal di xs−ε.

Ini tidak fisibel jika xs =0, walaupun

( )

0,y =0,∀y

1

π . Karena itu haruslah

0

>

s

x .

Karena ys >r2

( )

xs dan r2

()

. kontinu kiri maka r₂

(

xs−ε

)

<ys. Diketahui pula

( )

x,y

1

π kontinu di x dan turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu:

(

)

(

_xs _{,r x}s

) (

_xs_,ys

)

1 2

1 ε ε π

π − − >

Kontradiksi dengan hipotesis bahwa

(

_xs_,ys

)

_{adalah kesetimbangan Stackelberg.} Karena itu haruslah

(

xs,ys

)

∈r2

()

. dan

( )

(

x r x

)

S

0 x

2 1

1 argmaksπ ,

≥

= . Jadi semua titik

di S1 menghasilkan imbalan yang sama

untuk leader. Dari Teorema 7,

( )

x,y adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan

( )

x,y ∈r₂

()

. , maka

(

xs,ys

)

1

( )

x,y

1 π

V. SIMPULAN

Dalam tulisan ini dibahas model duopoli, dengan strategi yang dipilih adalah kuantitas. Setiap perusahaan dapat memilih strategi secara simultan atau sekuensial agar imbalan yang didapat maksimum. Permainan simultan terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama. Permainan sekuensial terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda. Duopoli Cournot dan Stackelberg masing-masing merupakan

aplikasi permainan simultan dan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan. Harga pasar yang log konkaf akan menimbulkan model duopoli Cournot. Pada kasus ini pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi turun. Jika harga pasarnya log konveks dan tak ada biaya produksi, pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi naik dan akan menimbulkan model duopoli Stackelberg.

VI. DAFTAR PUSTAKA

Amir R. 1996. Cournot oligopoly and the

theory of supermodular games. Games and economic behavior 15:132-148.

Amir R, Grilo I. 1999. Stackelberg versus cournot equilibrium. Games and economic behavior 26: 1-21.

Bartle RG, Sherbert DR. 1982.

Introduction to real analysis. New York: John Wiley and Sons, Inc.

Chiang AC, Wainwright K. 2005.

Fundamental methods of mathematical economic. Ed. Ke-4. New York: Mc Graw-Hill Companies, Inc.

Gibbons R. 1992. Games theory for applied economists. New Jersey: Princeton University Press.

Goldberg RR. 1976. Methods of real

analysis. Ed. Ke-2. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Hamilton J, Slutsky S. 1990. Endogenous timing in duopoly games: stackelberg or cournot equilibria. Games and economic behavior 2:29-46.

Milgrom P, Roberts J. 1990.

Rationalizability, learning and equilibrium games with strategic complementarities. Econometrica 58:1255-1277.

Milgrom P, Shannon C. 1991. Monotone comparative statics. IMSSS Paper, Stanford University.

Milgrom P, Shannon C. 1994. Monotone

comparative statics. Econometrica 62:157-180.

Peressini AL, Sullivan FE, Uhl, Jr JJ. 1988. The mathematics of nonlinear programming. New York: Springer-Verlag New York Inc.

Rasmusen E. 1990. Games and

information. Cambridge: Blackwell.

Stewart J. 2001. Kalkulus. Ed. Ke-4, jilid 1. Gunawan N & Susila IN, penerjemah ; Hardani W, Mahanani N, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus Fourth Edition.

Tarski A. 1955. A lattice-theoritical fixpoint theorem and its application. Pacific J. Math 5:285-309.

Tu PNV. 1994. Dynamical system an

introduction with application in economics and biologi. Germany: Springer-Verlag.

Wikipedia. 2006. Arg max.

http://en.wikipedia.org/wiki/Arg_max [31 Desember 2006].

V. SIMPULAN

Dalam tulisan ini dibahas model duopoli, dengan strategi yang dipilih adalah kuantitas. Setiap perusahaan dapat memilih strategi secara simultan atau sekuensial agar imbalan yang didapat maksimum. Permainan simultan terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama. Permainan sekuensial terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda. Duopoli Cournot dan Stackelberg masing-masing merupakan

aplikasi permainan simultan dan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan. Harga pasar yang log konkaf akan menimbulkan model duopoli Cournot. Pada kasus ini pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi turun. Jika harga pasarnya log konveks dan tak ada biaya produksi, pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi naik dan akan menimbulkan model duopoli Stackelberg.

VI. DAFTAR PUSTAKA

Amir R. 1996. Cournot oligopoly and the

theory of supermodular games. Games and economic behavior 15:132-148.

Amir R, Grilo I. 1999. Stackelberg versus cournot equilibrium. Games and economic behavior 26: 1-21.

Bartle RG, Sherbert DR. 1982.

Introduction to real analysis. New York: John Wiley and Sons, Inc.

Chiang AC, Wainwright K. 2005.

Fundamental methods of mathematical economic. Ed. Ke-4. New York: Mc Graw-Hill Companies, Inc.

Gibbons R. 1992. Games theory for applied economists. New Jersey: Princeton University Press.

Goldberg RR. 1976. Methods of real

analysis. Ed. Ke-2. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Hamilton J, Slutsky S. 1990. Endogenous timing in duopoly games: stackelberg or cournot equilibria. Games and economic behavior 2:29-46.

Milgrom P, Roberts J. 1990.

Rationalizability, learning and equilibrium games with strategic complementarities. Econometrica 58:1255-1277.

Milgrom P, Shannon C. 1991. Monotone comparative statics. IMSSS Paper, Stanford University.

Milgrom P, Shannon C. 1994. Monotone

comparative statics. Econometrica 62:157-180.

Peressini AL, Sullivan FE, Uhl, Jr JJ. 1988. The mathematics of nonlinear programming. New York: Springer-Verlag New York Inc.

Rasmusen E. 1990. Games and

information. Cambridge: Blackwell.

Stewart J. 2001. Kalkulus. Ed. Ke-4, jilid 1. Gunawan N & Susila IN, penerjemah ; Hardani W, Mahanani N, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus Fourth Edition.

Tarski A. 1955. A lattice-theoritical fixpoint theorem and its application. Pacific J. Math 5:285-309.

Tu PNV. 1994. Dynamical system an

introduction with application in economics and biologi. Germany: Springer-Verlag.

Wikipedia. 2006. Arg max.

http://en.wikipedia.org/wiki/Arg_max [31 Desember 2006].