Model Duopoli Cournot PEMBAHASAN

Berdasarkan Teorema 2 untuk pemetaaan x r y r y x 2 1 , , → yang tak turun akan mempunyai titik tetap terbesar. Misalkan N y x ∈ , titik tetap terbesar dengan . , 2 r y x ∈ dan y y . Kontradiksi dengan titik ekstrim y x, , maka y x, merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terkecil. ƒ Lemma 4 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, jika setiap titik 1 , S y x s s ∈ harus terletak di . 2 r dan { } . , : , maks arg 2 1 1 r y x y x S x ∈ = ≥ π , dengan . 2 r adalah pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah, maka y x y x s s , , 1 1 π π ≥ . Bukti. Akan dibuktikan: • Setiap titik . , 2 s s r y x ∈ dan { } . , : , maks arg 2 1 1 r y x y x S x ∈ = ≥ π • y x y x s s , , 1 1 π π ≥ Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik . , 2 s s r y x ∈ . Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum . 2 r kontinu kanan. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg . , 2 s s r y x ∉ sedemikian sehingga s s x r y 2 . Dari Lemma 2 diketahui bahwa setiap pilihan . 2 r adalah tak naik. Karena itu, himpunan titik di . 2 r tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan . 2 r yang tak kontinu. . 2 r bernilai banyak di s x . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε sedemikian sehingga pilih ε + s x untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu . 2 r bernilai tunggal di ε + s x . Karena s s x r y 2 dan . 2 r kontinu kanan maka s s y x r + ε 2 . Diketahui pula y x, 1 π kontinu di x dan turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu: s s s s y x x r x , , 1 2 1 π ε ε π + + Kontradiksi dengan hipotesis bahwa s s y x , adalah kesetimbangan Stackelberg. Karena itu haruslah . , 2 s s r y x ∈ dan { } . , : , maks arg 2 1 1 r y x y x S x ∈ = ≥ π terpenuhi atau x r x S x 2 1 1 , maks arg π ≥ = . Jadi semua titik di 1 S menghasilkan imbalan yang sama untuk leader. Dari Lemma 3, y x, adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan y x, . 2 r ∈ , maka y x y x s s , , 1 1 π π ≥ .

4.3 Model Duopoli Cournot

Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar yang akan menghasilkan model duopoli Cournot. Teorema 6 Jika diketahui bahwa: 1. Tidak ada kesetimbangan Cournot-Nash yang terletak di batas daerah. 2. . P adalah log-konkaf atau . P memenuhi , ≥ ∀ + x x xP x P . 3. K kuantitas ∃ sedemikian sehingga . 2 , 1 , , = ∀ − ≤ − i K K C K P K K C K KP i i i i i 4. P adalah log-konkaf sempurna yaitu . . . 2 − P P P atau . i C , maka { } N e e E , , = . Sebelum membuktikan Teorema 6 akan diberikan terlebih dahulu lemma berikut ini. Lemma 5 Jika asumsi Teorema 6 dipenuhi, maka titik ekstrim kesetimbangan Nash 1 , S y x ∉ . Bukti. Akan dibuktikan bahwa: 1 . 2 r di sembarang titik pada fungsi tanggapan minimal . 2 r , sepanjang titik tersebut terletak di dalam daerah fisibel. 2 1 , S y x ∉ 1 Berdasarkan Lemma 2, setiap pilihan dari . 2 r tak naik, maka . 2 ≤ r . Imbalan untuk perusahaan-2 pada sembarang titik di . 2 r adalah: [ ] [ ] [ ] x r C x r x P x r x r x 2 2 2 2 2 2 , − + = π Untuk setiap ≥ x sedemikian sehingga . 2 r , maka first-order condition diberikan oleh: [ ] , 2 2 2 = ∂ ∂ x r x r x π [ ] [ ] [ ] 6 2 2 2 2 2 = − + + + x r C x r x P x r x r x P Turunkan 6 terhadap x, sehingga didapat: [ ] [ ] [ ] [ ] 7 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + + + + + + + x r x r C x r x P x r x r x r x P x r x r x P x r Substitusi 6 ke 7 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + + + + − + + + + + x r x r C x r x P x r x r x P x r x P x r C x r x P x r x r x P x r Akan dibuktikan . 2 r . Andaikan untuk suatu x , 2 = x r , maka: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 = + + + − + + x r x P x r x P x r x P x r C x r x P [ ] [ ] [ ] [ ] { } 8 2 2 2 2 2 2 = − + + + + − x r C x r x P x r x P x r x P Berdasarkan hipotesis . P dan dari 6 [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 = − + + + x r C x r x P x r x r x P Karena . P dan . 2 r , maka [ ] [ ] 2 2 2 x r C x r x P + Sehingga 8 kontradiksi dengan hipotesis yaitu . P adalah log-konkaf sempurna . . . 2 + − P P P atau . 2 C , sehingga haruslah . 2 ≠ r untuk . 2 r . Dan berdasarkan Lemma 2 maka . 2 r . 2 Misalkan s s x r x 2 , adalah kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader. Karena y x, adalah interior solution berdasarkan asumsi, maka harus memenuhi: , 1 = ∂ ∂ x y x π Jika s s x r x 2 , juga merupakan interior solution, maka akan memenuhi: , , 2 2 1 2 1 ≤ ∂ ∂ + ∂ ∂ s s s s s x r y x r x x x r x π π Diketahui . 2 r dan = ∂ ∂ y y x, 1 π y x xP + , karena . P dan ≥ x maka 1 ∂ ∂ y π . Sehingga diperoleh , 2 1 ∂ ∂ x x r x s s π . Akibatnya s x x ≠ dan s x r x r 2 2 ≠ . Terbukti bahwa titik ekstrim kesetimbangan Nash 1 , S y x ∉ . Bukti Teorema 6. Akan dibuktikan bahwa : { } N e e E , , = Menurut Proposisi 1a akan dibuktikan: 1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di i S daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih memilih imbalan pada sembarang titik terburuk di N daripada sembarang imbalan sebagai follower. Lemma 2 dan Lemma 3 menunjukkan bahwa duopoli kuantitas adalah permainan supermodular. Jadi kesetimbangan Cournot- Nash ada. Karena ruang strategi efektif [ ] R K i ⊂ , merupakan selang tertutup, akibatnya [ ] i K , lengkap dan terbatas total lihat Teorema 1. Sehingga ruang strategi [ ] i K , merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak. Diketahui pula fungsi imbalan kontinu, maka kesetimbangan Stackelberg juga ada yaitu 2 S S dan 1 tidak kosong . 1. Sudah dibuktikan di Lemma 4. 2. Misalkan s s y x , adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader dan y x, adalah titik ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash. Sebagaimana ditunjukkan di Lemma 5 s s y x y x , , ≠ . Berdasarkan Lemma 3 dan Lemma 4 kedua titik terletak pada . 2 r fungsi tanggapan minimal perusahaan-2. 9 1 1 1 s s s s s s s x C y x P x x C y x P x x C y x P x − + ≥ − + − + dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat kesetimbangan Stackelberg yang digambarkan dalam Lemma 4 dan menurut Lemma 5 1 , S y x ∉ . Pertidaksamaan kedua mengikuti sifat kesetimbangan Nash. Karena 1 π menurun pada y, maka pertidaksamaan 9 menghasilkan x r y y x r s s 2 2 = = dan . 2 r merupakan fungsi turun sehingga menghasilkan x x s .Maka untuk setiap y, keuntungan pemain-2 memenuhi: 10 2 2 y C y x yP y C y x yP s − + − + Ambil sup ≥ y pada kedua sisi dari pertidaksamaan 10, berdasarkan definisi y x, dan Lemma 4 menghasilkan: s s s s y C y x P y y C y x P y 2 2 − + − + Ini berarti follower lebih memilih kesetimbangan Cournot-Nash terburuk daripada kesetimbangan Stackelberg. Cara yang sama dilakukan untuk perusahaan-2 sebagai leader dengan y x, sebagai titik ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash. 4.4 Model Duopoli Stackelberg Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan biaya yang akan menghasilkan model duopoli Stackelberg. Teorema 7 Jika . P log-konveks sempurna yaitu . . . 2 − P P P , . = i C untuk i=1,2 dan tetap , lim y y x xP x ∀ = + ∞ → , maka { } { } 2 1 , , , , S e l S l e E ∪ = . Bukti. Dari hipotesis diketahui . P log konveks sempurna maka log P konveks sempurna. Berdasarkan Lemma 1, karena log P konveks sempurna maka supermodular sempurna di y x, , maka untuk sembarang 2 1 2 1 , y y x x : 2 2 2 1 1 2 1 1 log log log log y x P y x P y x P y x P + − + + − + 2 2 2 1 1 2 1 1 log log y x P y x P y x P y x P + + + + ⇔ 11 2 2 2 1 1 2 1 1 y x P y x P y x P y x P + + + + ⇔ Misal diasumsikan bahwa: 12 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 x C y x P x x C y x P x − + ≥ − + Substitusi 11 ke 12, didapat: 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P x − + + + − + Kemudian kali silang dengan 2 1 1 1 y x P y x P + + 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P y x P y x P x + + − + + + − + Karena 2 1 2 1 , y y x x , P fungsi turun dan . 1 C fungsi naik, maka 2 1 1 1 y x P y x P + + dan 2 1 1 1 x C x C , sehingga diperoleh: 13 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 x C y x P x x C y x P x − + ≥ − + Karena 12 berimplikasi 13 maka 1 π adalah SSCP. Untuk membuktikan 2 π adalah SSCP dilakukan cara yang sama, sehingga i π mempunyai SSCP. Akibatnya berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan . i r merupakan fungsi tak turun di kuantitas pesaing. Diberikan permainan simetri, karena lim = + ∞ → y x xP x maka berdasarkan Teorema 3 diketahui bahwa kedua pemain lebih memilih kesetimbangan Cournot terkecil x x, daripada semua kesetimbangan Cournot yang lain. Selanjutnya akan dibedakan menjadi dua kasus. Kasus 1 : Jika x finite Dengan menggunakan proposisi 1 b akan dibuktikan bahwa : 1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di i S daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih memilih imbalan follower terburuk daripada sembarang titik di N. Bukti bagian 1. Dibuktikan di lemma 6. 2. Misalkan s s y x , adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader. N y x s s ∉ , , analog seperti pada lemma 5. Didapat : y x P x y x P x y x P x s s s s s + ≥ + + dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat Stackelberg dan pertidaksamaan kedua dari sifat Nash. Karena y y s dan analog dengan Lemma 5, . 2 r adalah fungsi naik, maka x x s . Untuk setiap y berlaku : 14 y x yP y x yP s + + Ambil sup ≥ y pada kedua sisi pertidaksamaan 14 menghasilkan : x P x y x P y s s s 2 + Ini berarti follower lebih memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada kesetimbangan Cournot terbaik. Kasus 2 : Jika +∞ = x Berdasarkan asumsi, kesetimbangan Cournot yang berhubungan dengan x x, adalah 0, karena lim 2 lim x = + ≤ ∞ → ∞ → y x xP x xP x , yang juga imbalan terkecil untuk pemain. Karena itu leader selalu mengambil kuantitas finite maka follower akan bereaksi dengan kuantitas finite sebab → + y x xP untuk ∞ → x , y ∀ tetap. Akibatnya menghasilkan imbalan kesetimbangan Stackelberg lebih dari 0 untuk kedua pemain. Maka follower akan memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada Kesetimbangan Nash yang unik. ƒ Lemma 6 Berdasarkan asumsi Teorema 7, kesimpulan Lemma 4 diperoleh. Bukti. Akan dibuktikan: • Setiap titik . , 2 s s r y x ∈ dan { } . , : , maks arg 2 1 1 r y x y x S x ∈ = ≥ π • y x y x s s , , 1 1 π π ≥ Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik . , 2 s s r y x ∈ . Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum . 2 r kontinu kiri. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg . , 2 s s r y x ∉ sedemikian sehingga s s x r y 2 . Dari Teorema 7 diketahui bahwa setiap pilihan . 2 r adalah tak turun. Karena itu, himpunan titik di . 2 r tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan . 2 r yang tak kontinu. . 2 r bernilai banyak di s x . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε sedemikian sehingga pilih ε − s x untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu . 2 r bernilai tunggal di ε − s x . Ini tidak fisibel jika = s x , walaupun y y ∀ = , , 1 π . Karena itu haruslah s x . Karena s s x r y 2 dan . 2 r kontinu kiri maka s s y x r − ε 2 . Diketahui pula y x, 1 π kontinu di x dan turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu: s s s s y x x r x , , 1 2 1 π ε ε π − − Kontradiksi dengan hipotesis bahwa s s y x , adalah kesetimbangan Stackelberg. Karena itu haruslah . , 2 s s r y x ∈ dan x r x S x 2 1 1 , maks arg π ≥ = . Jadi semua titik di 1 S menghasilkan imbalan yang sama untuk leader. Dari Teorema 7, y x, adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan y x, . 2 r ∈ , maka y x y x s s , , 1 1 π π ≥ .

V. SIMPULAN