Berdasarkan Teorema 2 untuk pemetaaan x
r y
r y
x
2 1
, ,
→ yang tak turun akan
mempunyai titik tetap terbesar. Misalkan
N y
x ∈
, titik tetap terbesar
dengan .
,
2
r y
x ∈
dan
y y
. Kontradiksi dengan titik ekstrim
y x,
, maka
y x,
merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang
terkecil.
Lemma 4 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, jika setiap
titik
1
, S
y x
s s
∈ harus terletak di .
2
r dan
{ }
. ,
: ,
maks arg
2 1
1
r y
x y
x S
x
∈ =
≥
π ,
dengan .
2
r adalah pilihan kesetimbangan
Nash perusahaan-2 yang terendah, maka y
x y
x
s s
, ,
1 1
π π
≥ .
Bukti. Akan dibuktikan:
• Setiap titik
. ,
2 s
s
r y
x ∈
dan
{ }
. ,
: ,
maks arg
2 1
1
r y
x y
x S
x
∈ =
≥
π •
y x
y x
s s
, ,
1 1
π π
≥ Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik
. ,
2 s
s
r y
x ∈
. Karena imbalannya kontinu, maka
mempunyai pilihan minimum .
2
r kontinu
kanan. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg
. ,
2 s
s
r y
x ∉
sedemikian sehingga
s s
x r
y
2
. Dari Lemma 2 diketahui bahwa setiap pilihan
.
2
r adalah tak naik.
Karena itu, himpunan titik di .
2
r tidak
bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan
.
2
r yang tak kontinu.
.
2
r bernilai banyak di
s
x . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk
ε sedemikian
sehingga pilih ε
+
s
x untuk leader yang
akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu
.
2
r bernilai
tunggal di ε
+
s
x . Karena
s s
x r
y
2
dan .
2
r kontinu kanan maka
s s
y x
r +
ε
2
. Diketahui pula
y x,
1
π kontinu di x dan
turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu:
s s
s s
y x
x r
x ,
,
1 2
1
π ε
ε π
+ +
Kontradiksi dengan hipotesis bahwa
s s
y x ,
adalah kesetimbangan Stackelberg. Karena itu haruslah
. ,
2 s
s
r y
x ∈
dan
{ }
. ,
: ,
maks arg
2 1
1
r y
x y
x S
x
∈ =
≥
π terpenuhi atau
x r
x S
x 2
1 1
, maks
arg π
≥
= .
Jadi semua titik di
1
S menghasilkan imbalan
yang sama untuk leader. Dari Lemma 3, y
x, adalah kesetimbangan Cournot-Nash
perusahaan-1 paling terpilih dan y
x, .
2
r ∈
, maka y
x y
x
s s
, ,
1 1
π π
≥ .
4.3 Model Duopoli Cournot
Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar yang akan
menghasilkan model duopoli Cournot. Teorema 6
Jika diketahui bahwa: 1.
Tidak ada kesetimbangan Cournot-Nash yang terletak di batas daerah.
2. .
P adalah log-konkaf atau
. P
memenuhi ,
≥ ∀
+ x
x xP
x P
. 3.
K kuantitas
∃ sedemikian sehingga
. 2
, 1
, ,
= ∀
− ≤
− i
K K
C K
P K
K C
K KP
i i
i i
i
4. P adalah log-konkaf sempurna yaitu
. .
.
2
− P P
P atau
.
i
C ,
maka
{ }
N e
e E
, ,
= .
Sebelum membuktikan Teorema 6 akan diberikan terlebih dahulu lemma berikut ini.
Lemma 5 Jika asumsi Teorema 6 dipenuhi, maka titik
ekstrim kesetimbangan Nash
1
, S
y x
∉ .
Bukti. Akan dibuktikan bahwa:
1 .
2
r di sembarang titik pada fungsi
tanggapan minimal .
2
r , sepanjang
titik tersebut terletak di dalam daerah fisibel.
2
1
, S
y x
∉
1 Berdasarkan Lemma 2, setiap pilihan
dari .
2
r tak naik, maka
.
2
≤ r
. Imbalan untuk perusahaan-2 pada
sembarang titik di .
2
r adalah:
[ ]
[ ]
[ ]
x r
C x
r x
P x
r x
r x
2 2
2 2
2 2
, −
+ =
π
Untuk setiap ≥
x sedemikian sehingga
.
2
r , maka first-order condition
diberikan oleh:
[ ]
,
2 2
2
= ∂
∂ x
r x
r x
π
[ ]
[ ]
[ ]
6
2 2
2 2
2
= −
+ +
+ x
r C
x r
x P
x r
x r
x P
Turunkan 6 terhadap x, sehingga didapat:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
7 1
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
= −
+ +
+ +
+ +
+ x
r x
r C
x r
x P
x r
x r
x r
x P
x r
x r
x P
x r
Substitusi 6 ke 7
[ ]
[ ]
[ ] [
] [
] [
] [ ]
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
= −
+ +
+ +
− +
+ +
+ +
x r
x r
C x
r x
P x
r x
r x
P x
r x
P x
r C
x r
x P
x r
x r
x P
x r
Akan dibuktikan .
2
r .
Andaikan untuk suatu x ,
2
= x
r , maka:
[ ]
[ ] [
] [
] [
]
2 2
2 2
2 2
= +
+ +
− +
+ x
r x
P x
r x
P x
r x
P x
r C
x r
x P
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] {
}
8
2 2
2 2
2 2
= −
+ +
+ +
− x
r C
x r
x P
x r
x P
x r
x P
Berdasarkan hipotesis .
P dan dari 6
[ ]
[ ]
[ ]
2 2
2 2
2
= −
+ +
+ x
r C
x r
x P
x r
x r
x P
Karena .
P dan
.
2
r , maka
[ ]
[ ]
2 2
2
x r
C x
r x
P +
Sehingga 8 kontradiksi dengan hipotesis yaitu
. P
adalah log-konkaf sempurna .
. .
2
+ −
P P
P atau
.
2
C ,
sehingga haruslah .
2
≠ r
untuk .
2
r .
Dan berdasarkan Lemma 2 maka .
2
r .
2 Misalkan
s s
x r
x
2
, adalah
kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader. Karena
y x,
adalah interior solution berdasarkan asumsi, maka harus
memenuhi: ,
1
= ∂
∂ x
y x
π
Jika
s s
x r
x
2
, juga merupakan interior
solution, maka akan memenuhi: ,
,
2 2
1 2
1
≤ ∂
∂ +
∂ ∂
s s
s s
s
x r
y x
r x
x x
r x
π π
Diketahui .
2
r dan
= ∂
∂ y
y x,
1
π y
x xP
+ , karena
. P
dan ≥
x maka
1
∂ ∂
y π
. Sehingga diperoleh ,
2 1
∂ ∂
x x
r x
s s
π
. Akibatnya
s
x x
≠ dan
s
x r
x r
2 2
≠ . Terbukti bahwa titik ekstrim
kesetimbangan Nash
1
, S
y x
∉ .
Bukti Teorema 6. Akan dibuktikan bahwa :
{ }
N e
e E
, ,
= Menurut Proposisi 1a akan dibuktikan:
1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik
berada pada sembarang titik di
i
S daripada di sembarang titik pada N.
2. Masing-masing perusahaan-i lebih
memilih imbalan pada sembarang titik terburuk di N daripada sembarang
imbalan sebagai follower.
Lemma 2 dan Lemma 3 menunjukkan bahwa duopoli kuantitas adalah permainan
supermodular. Jadi kesetimbangan Cournot- Nash ada. Karena ruang strategi efektif
[ ]
R K
i
⊂ ,
merupakan selang tertutup, akibatnya
[ ]
i
K ,
lengkap dan terbatas total lihat Teorema 1. Sehingga ruang strategi
[ ]
i
K ,
merupakan ruang metrik kompak dengan metrik
ρ nilai mutlak. Diketahui pula fungsi imbalan kontinu, maka
kesetimbangan Stackelberg juga ada yaitu
2
S S dan
1
tidak kosong . 1.
Sudah dibuktikan di Lemma 4. 2.
Misalkan
s s
y x ,
adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan
perusahaan-1 sebagai leader dan y
x, adalah titik ekstrim kesetimbangan
Cournot-Nash. Sebagaimana ditunjukkan di Lemma 5
s s
y x
y x
, ,
≠ . Berdasarkan Lemma 3
dan Lemma 4 kedua titik terletak pada .
2
r fungsi tanggapan minimal
perusahaan-2.
9
1 1
1 s
s s
s s
s s
x C
y x
P x
x C
y x
P x
x C
y x
P x
− +
≥ −
+ −
+ dimana pertidaksamaan pertama mengikuti
sifat kesetimbangan Stackelberg yang digambarkan dalam Lemma 4 dan menurut
Lemma 5
1
, S
y x
∉ . Pertidaksamaan kedua
mengikuti sifat kesetimbangan Nash. Karena
1
π menurun pada y, maka pertidaksamaan 9 menghasilkan
x r
y y
x r
s s
2 2
= =
dan .
2
r merupakan fungsi turun sehingga
menghasilkan x
x
s
.Maka untuk setiap y, keuntungan pemain-2 memenuhi:
10
2 2
y C
y x
yP y
C y
x yP
s
− +
− +
Ambil sup
≥ y
pada kedua sisi dari pertidaksamaan 10, berdasarkan definisi
y x,
dan Lemma 4 menghasilkan:
s s
s s
y C
y x
P y
y C
y x
P y
2 2
− +
− +
Ini berarti follower lebih memilih kesetimbangan Cournot-Nash terburuk
daripada kesetimbangan Stackelberg. Cara yang sama dilakukan untuk perusahaan-2
sebagai leader dengan y
x, sebagai titik
ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash. 4.4 Model Duopoli Stackelberg
Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan biaya
yang akan menghasilkan model duopoli Stackelberg.
Teorema 7 Jika
. P
log-konveks sempurna yaitu .
. .
2
− P P
P ,
. =
i
C untuk i=1,2
dan tetap
, lim
y y
x xP
x
∀ =
+
∞ →
, maka
{ }
{ }
2 1
, ,
, ,
S e
l S
l e
E ∪
= .
Bukti. Dari hipotesis diketahui
. P
log konveks sempurna maka log P konveks sempurna.
Berdasarkan Lemma 1, karena log P konveks sempurna maka supermodular
sempurna di y
x, , maka untuk sembarang
2 1
2 1
, y
y x
x :
2 2
2 1
1 2
1 1
log log
log log
y x
P y
x P
y x
P y
x P
+ −
+ +
− +
2 2
2 1
1 2
1 1
log log
y x
P y
x P
y x
P y
x P
+ +
+ +
⇔ 11
2 2
2 1
1 2
1 1
y x
P y
x P
y x
P y
x P
+ +
+ +
⇔ Misal diasumsikan bahwa:
12
2 1
2 2
2 1
1 2
1 1
x C
y x
P x
x C
y x
P x
− +
≥ −
+ Substitusi 11 ke 12, didapat:
2 1
1 2
1 1
2 1
2 1
1 2
1 1
x C
y x
P y
x P
y x
P x
x C
y x
P x
− +
+ +
− +
Kemudian kali silang dengan
2 1
1 1
y x
P y
x P
+ +
2 1
2 1
1 1
1 2
2 1
1 2
1 1
1 1
1 1
x C
y x
P y
x P
y x
P x
x C
y x
P y
x P
y x
P x
+ +
− +
+ +
− +
Karena
2 1
2 1
, y
y x
x , P fungsi turun dan
.
1
C fungsi naik, maka
2 1
1 1
y x
P y
x P
+ +
dan
2 1
1 1
x C
x C
, sehingga diperoleh: 13
2 1
1 2
2 1
1 1
1 1
x C
y x
P x
x C
y x
P x
− +
≥ −
+ Karena 12 berimplikasi 13 maka
1
π adalah SSCP. Untuk membuktikan
2
π adalah SSCP dilakukan cara yang sama,
sehingga
i
π mempunyai SSCP. Akibatnya berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan
.
i
r merupakan fungsi tak turun di kuantitas
pesaing. Diberikan permainan simetri, karena
lim =
+
∞ →
y x
xP
x
maka berdasarkan Teorema 3 diketahui bahwa kedua pemain
lebih memilih kesetimbangan Cournot terkecil
x x,
daripada semua kesetimbangan Cournot yang lain.
Selanjutnya akan dibedakan menjadi dua kasus.
Kasus 1 : Jika x finite Dengan menggunakan proposisi 1 b akan
dibuktikan bahwa : 1.
Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di
i
S daripada di sembarang titik pada N.
2. Masing-masing perusahaan-i lebih
memilih imbalan follower terburuk daripada sembarang titik di N.
Bukti bagian 1.
Dibuktikan di lemma 6. 2.
Misalkan
s s
y x ,
adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan
perusahaan-1 sebagai leader. N
y x
s s
∉ ,
, analog seperti pada lemma 5. Didapat :
y x
P x
y x
P x
y x
P x
s s
s s
s
+ ≥
+ +
dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat Stackelberg dan pertidaksamaan kedua
dari sifat Nash. Karena y
y
s
dan analog dengan Lemma 5,
.
2
r adalah fungsi naik,
maka x
x
s
. Untuk setiap y berlaku : 14
y x
yP y
x yP
s
+ +
Ambil sup
≥ y
pada kedua sisi pertidaksamaan 14 menghasilkan :
x P
x y
x P
y
s s
s
2 +
Ini berarti follower lebih memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada
kesetimbangan Cournot terbaik. Kasus 2 : Jika
+∞ =
x Berdasarkan asumsi, kesetimbangan
Cournot yang berhubungan dengan x
x, adalah 0, karena
lim 2
lim
x
= +
≤
∞ →
∞ →
y x
xP x
xP
x
, yang juga imbalan terkecil untuk pemain.
Karena itu leader selalu mengambil kuantitas finite maka follower akan bereaksi
dengan kuantitas finite sebab
→ + y
x xP
untuk ∞
→ x
, y
∀ tetap. Akibatnya menghasilkan imbalan
kesetimbangan Stackelberg lebih dari 0 untuk kedua pemain. Maka follower akan
memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada Kesetimbangan Nash
yang unik.
Lemma 6 Berdasarkan asumsi Teorema 7, kesimpulan
Lemma 4 diperoleh. Bukti.
Akan dibuktikan: •
Setiap titik .
,
2 s
s
r y
x ∈
dan
{ }
. ,
: ,
maks arg
2 1
1
r y
x y
x S
x
∈ =
≥
π •
y x
y x
s s
, ,
1 1
π π
≥ Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik
. ,
2 s
s
r y
x ∈
. Karena imbalannya kontinu, maka
mempunyai pilihan minimum .
2
r kontinu
kiri. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg
. ,
2 s
s
r y
x ∉
sedemikian sehingga
s s
x r
y
2
. Dari Teorema 7 diketahui bahwa setiap pilihan
.
2
r adalah tak turun.
Karena itu, himpunan titik di .
2
r tidak
bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan
.
2
r yang tak kontinu.
.
2
r bernilai banyak di
s
x . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk
ε sedemikian
sehingga pilih ε
−
s
x untuk leader yang
akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu
.
2
r bernilai
tunggal di ε
−
s
x .
Ini tidak fisibel jika =
s
x , walaupun
y y
∀ = ,
,
1
π . Karena itu haruslah
s
x .
Karena
s s
x r
y
2
dan .
2
r kontinu kiri
maka
s s
y x
r −
ε
2
. Diketahui pula y
x,
1
π kontinu di x dan turun di y, maka
menghasilkan imbalan leader yaitu:
s s
s s
y x
x r
x ,
,
1 2
1
π ε
ε π
− −
Kontradiksi dengan hipotesis bahwa
s s
y x ,
adalah kesetimbangan Stackelberg. Karena itu haruslah
. ,
2 s
s
r y
x ∈
dan x
r x
S
x 2
1 1
, maks
arg π
≥
= . Jadi semua titik
di
1
S menghasilkan imbalan yang sama untuk leader. Dari Teorema 7,
y x,
adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1
paling terpilih dan y
x, .
2
r ∈
, maka y
x y
x
s s
, ,
1 1
π π
≥ .
V. SIMPULAN