2.7 Titik Tetap Tarski
Definisi 26 [ Lattice]
Himpunan S dikatakan lattice jika untuk setiap himpunan dua titik
{ }
S ⊂
y x
, , ada
supremum untuk
{ }
y x
, dinotasikan dengan
y x
∨ , dikatakan gabungan x dan y dan
infimum dinotasikan dengan y
x
∧ ,
dikatakan irisan x dan y dalam S.
Milgrom dan Roberts 1990
Definisi 27 [Complete Lattice]
Misalkan himpunan S adalah lattice. Lattice S disebut complete jika untuk semua
himpunan bagian tak kosong S
T ⊂ ,
S T
∈ Inf
dan S
T ∈
Sup .
Milgrom dan Roberts 1990
Definisi 28 [Titik Tetap] Misal diberikan sistem persamaan
diferensial SPD sebagai berikut:
n
R f
dt d
∈ =
=
x x
x x
.
, Titik
x disebut titik tetap jika
=
x f
. Titik tetap disebut titik kritis atau
kesetimbangan. Tu 1994
Teorema 2 [Titik Tetap Tarski] Jika T adalah complete lattice dan
T T
f →
: adalah fungsi tak turun, maka f
mempunyai titik tetap. Selain itu, himpunan titik tetap f mempunyai
{ }
x x
f T
x Sup
≥ ∈ |
sebagai anggota terbesarnya dan
{ }
x x
f T
x Inf
≤ ∈ |
sebagai anggota terkecilnya. Tarski 1955
Bukti dapat dilihat pada Tarski 1955. Definisi 29 [
Order Upper Semi- Continuous]
Misalkan diberikan complete lattice S dan S
C ⊂ sedemikian sehingga untuk
sembarang C
x ∈ dan
C y
∈ , x
y y
x ≥
≥ atau . Fungsi
R S
f →
: adalah
order upper semi-continuous jika C
f x
f
C x
C x
inf sup
lim
inf ,
≤
→ ∈
dan C
f x
f
C x
C x
sup sup
lim
sup ,
≤
→ ∈
. Milgrom dan Roberts 1990
Misalkan ∅
≠ M
adalah himpunan pemain dimana M finite atau infinite.
Masing-masing pemain M
m ∈
mempunyai himpunan strategi
{ }
m m
a A
= dan strategi
pesaingnya dinotasikan dengan
m
a
−
. Fungsi imbalan pemain-m adalah
m m
m
a a
−
, π
.
Teorema 3 [Kesetimbangan]
Misalkan
m
a dan
m
a adalah anggota
terkecil dan terbesar dari
m
A , y dan z
adalah dua kesetimbangan dengan
z y
≥ . 1
Jika
m m
m
a a
−
, π
naik dalam
m
a
−
, maka
z y
m m
π π
≥ .
2 Jika
m m
m
a a
−
, π
turun dalam
m
a
−
, maka
z y
m m
π π
≤ .
Jika kondisi 1 dipenuhi untuk beberapa himpunan bagian pemain
1
M dan kondisi
2 dipenuhi untuk pemain lain
1
\ M M
, maka kesetimbangan terbesar adalah
kesetimbangan terpilih untuk pemain di
1
M dan pilihan terkecil untuk para pemain
lainnya, sementara
kesetimbangan terkecil adalah pilihan terkecil pemain di
1
M dan pilihan terbesar para pemain sisa.
Milgrom dan Roberts 1990 Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan
Roberts 1990. Definisi 30 [ Arg maks]
Arg maks Argumen maksimum adalah himpunan nilai yang menyebabkan suatu
fungsi mencapai nilai maksimum, yaitu:
{ }
x f
y f
x y
y x
x f
x
→ ≠
∀ ∈
: |
maks arg
Wikipedia 2006
III. PEMODELAN
Kategori