STATISTIK

STANDAR KOMPETENSI : MENERAPKAN ATURAN KONSEP STATISTIKA DALAM PEMECAHAN MASALAH.

Apabila kita mengunjungi kantor desa atau kecamatan maka akan kita jumpai data tentang keadaan penduduk di desa tersebut atau diwilayah kecamatan itu. Demikian juga kalau kita berkunjung ke kantor instansi pemerintah atau swasta tentu akan dijumapai data tentang keadaan karyawan/pegawai instansi tersebut serta data-data lain yang berhubungan dengan lingkup kerja instasi tersebut.

Statistika merupakan alat bantu untuk memberi gambaran tentang suatu kejadian atau permasalahan dalam bentuk yang sederhana baik berupa angka, tabel maupun grafik.

A. DATA STATISTIK

Kompetensi Dasar : Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika, populasi dan sampel.

Indikator : - Statistik dan statistika dibedakan sesuai dengan definisinya.

- Populasi dan sampel dibedakan berdasarkan karakteristiknya.

Mula-mula statistik hanya sekedar keterangan mengenai penduduk, berapa banyak penduduk di suatu negara, berapa banyak rakyat dengan kelompok umur tertentu yang dapat dijadikan prajurit, berapa banyak penduduk yang masih anak-anak dan sebagainya.

Keterangan-keterangan tersebut digunakan untuk meemperlancar

banyak digunakan sesuai dengan kebutuhan yang makin lama makin meningkat.

1. Pengertian Statistik

Sesuai perkembangannya pengertian statistik dapat dibedakan sebagai berikut :

a. Secara Sederhana.

Statistik adalah himpunan keterangan atau data berbentuk angka baik yang belum disusun atau sudah disusun dalam bentuk tabel.

Dalam pengertian ini kata statistik dapat berarti :

1. Sebagai kumpulan angka mengenai suatu masalah sehingga dapat memberikan gambaran mengenai masalah tertentu.

2. Sebagai suatu ukuran yang dihitung dari sekumpulan data, yang merupakan wakil dari data tersebut.

b.Secara Umum ( sebagai ilmu )

Dikaitkan dengan ilmu pengetahuan dan metode ilmiah kata statistik sering disebut statistika yang berarti suatu cara atau metode ilmiah yang mempelajari cara-cara pengumpulan, pengolahan, penyajian, penganalisaan dan penafsiran data yang berbentuk angka.

Dalam pengertiannya sebagai ilmu ini pula terkandung pengertian metode statistika dan teori statistika

Metode statistika adalah cara untuk menganalisa dan menafsirkan data yang berbentuk angka. Sedangkan teori statistika adalah asas yang menggunakan aksioma-aksioma untuk menyelidiki persoalan-persoalan yang penting dalam perencanaan eksperimen.

c.Berdasarkan cara pengerjaannya statistika dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Statistik Diskriptif/Deduktif.

Yaitu ilmu statistika yang membicarakan mengenai penyusunan data dalam daftar, pembuatan dan penyajian dalam bentuk diagram serta penarikan kesimpulan dari data tersebut yang sifatnya tidak berlaku umum.

Yaitu ilmu statistika yang memuat aturan-aturan dan cara-cara yang digunakan sebagiai alat untuk menarik kesimpulan secara umum, dibuat ramalan secara ilmiah dan akhirnya diuraikan tentang sebab akibatnya.

2. Pengertian Data.

Yang dimaksud dengan data dalam statistika adalah suatu himpunan keterangan dalam serangkaian pengamatan. Jika pengamatan dilakukan terhadap sebagian dari anggota obyek pengamatan (penyelidikan) maka disebut sampel. Anggota sampel ini dimaksudkan sebagi wakil dari semua anggota obyek penyelidikan tadi. Sedangkan keseluruhan yang menjadi obyek penyelidikan disebut populasi.

Nilai-nilai yang diperoleh dari sampel dinamakan statistik, sedangkan nilai-nilai yang diperoleh dari populasi disebut parameter.

Suatu data dikatakan baik jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut : a. obyektif.

b. bisa mewakili.

c. mempunyai kesalahan baku kecil. d. tepat waktu

e. relevan.

Syarat a, b dan c di atas sering disebut sebagai syarat data yang dapat dipercaya kebenarannya ( reliable ), sedangkan syarat d dan e hanya lebih menunjukkan manfaat dan kegunaannya.

3. Macam-macam dan Cara Pengumpulan Data.

Data dalam statistikan dapat dibedakan berdasarkan peninjauannya sebagai berikut :

a. Menurut sifatnya data dapat dibedakan menjadi :

1. Data Kuantitatif yaitu data yang dinyatakan dengan angka. 2. Data Kualitatif yaitu data yang tidak berbentuk angka.

1) Data Diskret adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung. 2) Data Kontinyu adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. b. Menurut Sumbernya data dapat dibedakan menjadi :

1. Data Internal ( Interen ) yaitu data yang diperoleh dan menggambarkan keadaan atau kegiatan di dalam suatu organisasi.

2. Data eksternal ( Ekstern ) yaitu data yang diperoleh dan menggambarkan keadaan atau kegiatan diluar organisasi.

c. Menurut Cara Memperolehnya data dapat dibedakan menjadi :

1. Data Primer yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu organisasi atau perseorangan langsung dari obyeknya.

2. Data Sekunder yaitu data yang diperoleh dalam bentuk sudah jadi ,sudah dikumpulkan dan diolah pihak lain serta biasanya sudah dalam bentuk publikasi.

d. Menurut Waktu Pengumpulannya, data dibedakan menjadi :

1. Data Cross Section yaitu data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu yang bisa menggambarkan keadaan atau kegiatan pada waktu tertentu.

2. Data Berkala yaitu data yang dikumpulkan dari waktu kewaktu untuk memberikan gambran tentang perkembangan suatu kegiatan dari waktu kewaktu.

Untuk mengumpulkan data ada dua teknik cara pengumpulannya yaitu : 1. Sensus, yaitu cara pengumpulan data jika seluruh elemen populasi

diselidiki satu persatu. Data yang diperoleh dari pengolahan sensus disebut data sebenarnya atau parameter.

2. Sampling, yaitu cara pengumpulan data jika yang diselidiki hanya sampel dari populasi.

Pada dasarnya cara pengambilan sampel ada dua cara yaitu :

a. Random ialah cara pemilihan sampel yang sedemikian rupa sehingga setiap elemen mendapat kesempatan yang sama untuk menjadi anggota sampel.

b. Non Random ialah cara pemilihan sampel jika setiap elemen tidak mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih.

Sedangkan untuk mengumpulkan data dapat dilakukan dengan metode/cara sebagai berikut :

a. Melakukan wawancara ( interview )

Yaitu cara pengumpulan data dengan bertanya langsung kepada obyek penelitian. Kebaikan metode ini adalah data yang diperoleh dapat dipertanggungjawabkan dan dijamin kebenarannya, sedangkan kelemahannya adalah memakan banyak waktu dan biaya.

b. Mengadakan Pengamatan ( observasi )

Yaitu cara pengumpulan data dengan mengamati, mendengar dan meelihat langsung masalah yang diselidiki. Kebaikan metode ini adalah data yang diperoleh dapat dipertanggungjawabkan dan dijamin kebenarannya, sedang kelemahannya adalah memungkinkan perbedaan dalam menentukan kesimpulan,tergantung pada pengamat itu sendiri.

c. Menggunakan lembar pertanyaan ( Kuisioner/angket )

Yaitu cara pengumpulan data dengan memberi lembaran beri daftar pertanyaan yang diberikan kepada seseorang ( sumber data ) untuk dijawab. Kebaikannya adalah dapat atau baik digunakan untuk memperoleh data yang sifatnya rahasia dan tempatnya jauh/tersebar, sedangkan kelemahannya adalah kadang-kadang kebenaran dari jawaban yang diberikan diragukan dan kemungkinan menerima balasan sangat kecil.

d. Mengadakan Koleksi ( Studi Literatur )

Yaitu pengumpulan data dengan cara mencari disurat kabar, majalah, brosur, selebaran dan sebagainya. Kebaikan metode ini adalah dapat memilih data yang baik berbobot dan relevan dengan cepat dan hemat, sedangkan kelemahannya adalah data yang diperoleh tergantung pada sumber yang diambil.

Setelah data diperoleh dan dikumpulkan maka selanjutnya data tersebut disusun, diatur dan digolong-golongkan. Penyususunan, pengaturan dan penggolongan data tersebut pada dasarnya ada dua cara yaitu dengan cara array dan tabel / daftar.

1. Array

Array adalah cara penyusunan data menurut urutan besarnya, cara ini hanya baik digunakan kalau datanya sedikit.

Contoh 1

Hasil ulangan matematika dari 8 siswa kelas III berdasarkan nomor urut absensi adalah sebagai berikut :

40, 65, 60, 65, 65, 70, 57, 51, 60, 51, 60, 60, 55, 57, 55, 60, 45, 60.

Data seperti di atas belum dapat diketahui secara cepat berapa nilai terendah dan tertingginya serta nilai terbanyak yang diperoleh siswa.

Untuk menjawab pertanyaan tersebut maka data dapat disusun menurut urutan besarnya ( Array ) sebagai berikut :

70

65, 65, 65

60, 60, 60, 60, 60, 60 57, 57

55, 55 51, 51 45 40

2. Tabel/Daftar Distribusi Frekuensi.

Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi dua yaitu : Tabel distribusi frekuensi bilangan dan tabel distribusi frekuensi kategori.

a. Tabel Distribusi Frekuensi Bilangan.

Pada tabel ini akan terlihat datanya berupa bilangan-bilangan (data kuantitatif yang disusun dengan nilai tunggal atau nilai kelompok (bergolong).

1) Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Tunggal.

Pada tabel distribusi frekuensi nilai tunggal data digolongkan dalam bentuk tunggal.

Contoh 2

Hasil ulangan matematika di kelas II sebanyak 40 siswa berdasarkan nomor urut absensi adalah sebagai berikut :

7, 6, 7, 2, 6, 4, 4, 6, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 5, 6, 5, 8, 9 4, 7, 5, 6, 6, 5, 5, 8, 7, 6, 7, 10, 8, 3, 7, 3, 6, 9, 4, 5

Untuk mendapat gambaran yang lebih jelas, kesimpulan yang cepat dan mudah dari data di atas, maka data tersebut dapat diatur dan disusun dalam tabel distribusi frekuensi nilai tunggal sebagai berikut:

Hasil Ulangan Matematika Kelas III

Nilai Turus / Tally Frekuensi 2

3 4 5 6 7 8 9 10

l lll llll llll llll llll llll llll ll lll ll l

1 3 4 9 10

7 3 2 1

Tabel distribusi frekuensi nilai tunggal ini selanjutnya disebut data berbobot.

2) Tabel Distribusi Nilai Kelompok.

Hal-hal yang perlu diperhatikan sebelum menyusun tabel distribusi nilai kelompok yaitu :

b. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum c. Daerah Jangkau/Range ( R )

R = Nilai Maksimum – Nilai Minimum d. Banyak Kelas ( k ) dapat ditentukan dengan rumus

k = 1 + 3,3 log n

e. Panjang Kelas Interval/Lebar Kelas Interval ( i ) i =

k R contoh 3

Hasil pengukuran tingga siswa ( cm ) suatu kelas adalah sebagai berikut : 151 149 134 153 147 147 156 149

155 151 148 151 152 156 148 150 143 136 159 136 141 143 163 153 158 160 140 154 153 154 158 140

Susunlah data tersebut kedalam tabel distribusi frekuensi nilai kelompok ! Jawab :

n = 32

nilai maksimum = 163 nilai minimum = 134 R = 163 – 134 = 29 k = 1 + 3,3 log 32 = 1 + 3,3 ( 1,5051 ) = ! + 4,96683 = 5,96683

= 6 ( dibulatkan ke atas ) i = 29/6

= 4,83

= 5 ( dibulatkan ke atas )

Tabel distribusi frekuensinya sebagai berikut

134 – 138 lll 3

139 – 143 llll 5

144 – 148 llll 4

149 – 153 llll llll 10

154 – 158 llll ll 7

159 – 163 Ill 3

Tabel distribusi frekuensi nilai berkelompok ini selanjutnya disebut data berkelompok.

Beberapa istilah yang terdapat pada data berkelompok :

a. Batas kelas ( class limits ) yaitu dea buah nilai yang membatasi suatu kelas interval. Nilai terkecil disebut batas kelas bawah atau batas bawah sedangkan nilai terbesar disebut batas kelas atas atau batas atas. Sebagai contoh pada tabel frekuensi di atas : 134 adalah batas bawah kelas pertama, 148 adalah batas atas kelas pertama, 139 adalah batas bawah kelas ke-2, dan seterusnya. Semua nilai batas bawah dan batas atas tersebut disebut juga sebagai batas semu kelas.

b. Batas kelas nyata / batas nyata / tepi kelas.

Batas kelas nyata / tepi kelas merupakan rata – rata hutung nilai batas atas dengan batas bawah kelas berikutnya. Mesalnya pada tabel frekuensi pada contoh 3 di atas batas kelas nyata/ tepi kelas antara kelas pertama dan ke-2 adalah 138,5 diperoleh dari

2 139 138

.

Atau dapat dikatakan bahwa 138,5 adalah tepi atas kelas pertama dan tepi bawah kelas ke-2. Perhitungan tepi kelas juga dapat dilakukan sebagai berikut :

- Tepi kelas bawah ( Tb ) = Batas kelas bawah ( Bb ) – 0,5 - Tepi kelas atas ( Ta ) = Batas kelas atas ( Ba ) + 0,5.

Catatan : nilai 0,5 merupakan salah mutlak dari pengukuran data.

Misalnya :

- tepi atas kelas ke-4 adalah 153 + 0,5 = 153,5. c. Titik tengah kelas interval / class mark / mid point.

Titik tengah kelas merupakan nilai tengah dari setiap kelas interval. Untuk menentukan nilai tengah kelas dapat dihitung sebagai berikut : Nilai tengah =

2 1

( Batas bawah + Batas atas)

Nilai tengah kelas ini sering juga disebut tanda kelas, dan dapat dipandang sebagai wakil kelasnya.

Tabel distribusi frekuensi sesuai dengan kebutuhannya untuk pengolahan data dikembangkan mnjadi tabel distribusi frekuensi komulatif dan tabel distribusi frekuensi relatif.

3. Tabel distribusi frekuensi komulatif.

Frekuensi komulatif ada 2 macam yaitu :

a. Frekuensi komlatif kurang dari, yaitu jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai tertentu (nilai tepi kelas tertentu )

b. Frekuensi komlatif lebih dari, yaitu jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai tertentu (nilai tepi kelas tertentu )

Untuk membuat tabel distribusi frekuensi komulatif dari suatu tabel frekuensi data berkelompok hendaknya ditambah satu kelas di atasnya / sebelumnya yang frekuensinya 0.

Contoh 4

Dari tabel frekuensi pada contoh 3 di atas dapat dibuat tabel distribusi frekuensi komulatif sebagai berikut :

Tinggi (cm)

Frekuensi ( f )

Tepi Kelas atas

Frek Kom. <

Frek. Kom. >

129 - 133 0 133,5 0 32

134 – 138 3 138,5 3 29

139 – 143 5 143,5 8 24

144 – 148 4 143,5 12 20

149 – 153 10 148,5 22 10

159 – 163 3 158,5 32 0

4. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif.

Frekuensi relatif merupakan banyaknya frekuensi yang dinyatakan dalam bentuk persentase. Frekuensi relatif pada masing – masing kelas dihitung berdasarkan banyaknya frekuensi pada masing – masing kelas dibagi dengan banyaknya data dikalikan dengan 100 %.

Contoh 5

Dari tabel frekuensi pada contoh 3 di atas dapat dibuat tabel distribusi frekuensi komulatif sebagai berikut :

Tinggi (cm) Frekuensi ( f ) Frek. Relatif

134 – 138 3 9,4

139 – 143 5 15,6

144 – 148 4 12,5

149 – 153 10 31,2

154 – 158 7 21,9

159 – 163 3 9,4

Jumlah 32 100

b. Tabel Distribusi Frekuensi Kategori.

Pada tabel distribusi frekuensi kategori penggolongan datanya tidak berdasarkan bilangan – bilangan , tetapi didasarkan pada sifat – sifat yang sesuai ( data kuantitatif ).

Misalnya tabel distribusi frekuensi berikut adalah contoh tabel distribusi frekuensi kategori :

Agama yang di anut siswa kelas III Akuntansi 1 Agama Frekuensi ( f )

Islam 35

Kristen 2

Katholik 2

Latihan 1

1. Apa yang dimaksud dengan data statistik, sampel dan populasi ? 2. Apa sajakah syarat data yang reliable itu ? jelaskan !

3. Data Kuantitatif debedakan menjadi 2 macam, sebutkan dan jelaskan dengan member kan contoh masing – masing !

4. Apakah yang dimaksud dengan pengumpulan data dengan cara koleksi ? Sebutkan kelemahan dan keuntungan pengumpulan data dengan cara tersebut !

5. Hasil pengumpulan data nilai matematika 40 siswa kelas II A 1 adalah sebagai berikut :

8, 5, 4, 6, 3, 4, 9, 5, 8, 3, 6, 6, 6, 7, 5, 7, 6, 8, 4, 3, 6, 7, 6, 5, 6, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 7, 4, 5, 6, 6, 6, 6.

a. Susunlah data tersebut dalam tabel distribusi frekuensi nilai tunggal ! b. Berapakah banyaknya siswa yang mendapat nilai 6 ke atas ?

c. Berapakah banyaknya siswa yang mendapat nialai kurang dari 5 ? d. Berapa persenkah siswa yang mendapat nilai lebih dari 5 tetapi kurang

dari 6 ?

6. Buatlah tabel distribusi frekuensi nilai kelompok dari data berikut: Berat badan dalam Kg, dari 80 orang karyawan kantor. 89 61 68 84 75 82 68 90 62 88

67 97 73 79 88 73 60 93 71 59 73 57 61 65 75 87 74 62 95 78 73 81 66 78 82 75 94 77 69 74 65 71 75 62 76 53 74 76 75 63 78 63 77 85 72 88 78 75 99 64 76 63 93 72 96 65 71 78 80 76 85 68 75 60 79 86 65 62 67 85

B. PENYAJIAN DATA.

Kompetensi Dasar : Menyajikan data dalam bentuk diagram dan tabel

Indikator : - Data disajikan dalam bentuk tabel - Data disajikan dalam bentuk diagram

Pada dasarnya ada dua cara penyajian data yaitu dengan bentuk tabel dan dalam bentuk diagram. Pembuatan tabel distribusi frekuensi dan macam – macamnya sudah kita bahas dalam pembahasan sebelumnya, oleh sebab itu tidak akan kita ulangi lagi.

Setelah data tersusun dalam bentuk tabel, maka langkah selanjutnya adalah menyajikan data tersebut dalam bentuk diagram atau grafik. Kegunaan grafik / diagram adalah untuk :

2. Mempercepat pengertian ; lebih mudah membaca gambar dari pada membaca daftar angka – angka)

3. Mengurangi kejenuhan melihat angka – angka. 4. Menunjukkan arti secara menyeluruh dengan mudah.

Macam – macam diagram yang sering digunakan diantaranya adalah

1. Diagram lambang / gambar / piktogram.

Piktogram adalah cara penggambaran data statistika dengan bentuk gambar – gambar dengan skala tertentu untuk menunjukkan besaran masing – masing data

Contoh 6

Media Pembelajaran yang dimiliki di ruang praktik komputer adalah sebagai berikut :

Jenis Media Frekuensi

Komputer 25

Lap top 15

Catatan : data karangan

Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk gambar diagram gambar sebagai berikut :

Media Pembelajaran yang dimiliki di ruang praktik Komputer

Kesulitan dalam membuat diagram gambar akan muncul jika mendapatkan data yang banyaknya bukan merupakan kelipatan satuan gambar. Sisa dari kelipatan tersebut susah untu digambar dan susah pula untuk

= 5 unit

dibaca, sehingga diagram lambang ini hanya lebih cocok untuk menunjukkan perbandingan dari pada penentuan nilai.

b. Diagram batang / balok.

Diagram batang digunakan untuk membandingkan data maupun untuk menunjukkan hubungan suatu data dengn data keseluruhan.

Ada beberapa macam diagram balok yang dapat digunakan untuk menggambarkan data statistik yaitu :

i) Diagram balok tunggal.

Diagram balok tunggal atau sederhana hanya mgnggambatkan satu variabel data saja..

Contoh 7

Jumlah penjualan pesawat TV dari 5 buah toko elektronik selama bulan Agustus adalah sebagai berikut :

Toko Banyaknya TV yang terjual

A 15

B 20

C 50

D 45

E 40

Catatan : data karangan

Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk diagram balok tunggal sebagai berikut :

Penjualan 5 buah TV dari 5 buah toko elektronik. 50

Dapat pula digambarkan dalam diagram balok tunggal horisontal sebagai berikut :

Penjualan 5 buah TV dari 5 buah toko elektronik.

ii) Diagram Balok / Batang Ganda.

A

Cat

B

Cat

C

Cat D

Cat E_Cat

15 20

Toko

A

Cat

Bat atan

C. D.

E. 0

0. _{15 20}

40 45 50 Jumlah pesawat TV

Diagram balok ganda adalah diagram balok yang nembandingkan lebih dari satu variabel pada suatu periode tertentu. Pada diagram balok ini perlu adanya keterangan sebagai petunjuk terhadap data yang disajikan

Contoh 8

Keadaan siswa SMK Amarta, tahun Pelajaran 2005 / 2007 adalah sebagai berikut :

Jurusan Jumlah Siswa

Tingkat I Tingkat II Tingkat III Jumlah

AK 60 70 80 235

AP 75 80 75 230

PJ 115 85 70 270

Jumlah 270 240 227 735

Catatan : data karangan

Jika data tersebut disajikan dalam bentuk diagram batang berganda adalah sebagai berikut:

Keadaan Siswa Amarta Tahun Pelajaran 2005 / 2006

Atau dapat pula disajikan dalam bentuk diagram balok susun sebagai berikut : 40

80

60

0 20

AK AP PJ

Tk III

JML

Jurusan

300 JML

iii) Diagram Lingkaran ( pie chart )

Penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi – bagi menjadi beberapa bagian / juring lingkaran sesuai dengan macam data yang disajikan, selanjutnya setiap bagian diberi keterangan.

Contoh 9

Keadaan siswa Amarta adalah sebagai berikut : Tingkat Jumlah Siswa

I II III

270 240 225

Jumlah 735

Jika akan disajikan dalam diagram lingkaran sebaiknya dibuat tabel sebagai berikut :

Tingkat Jumlah Sudut Pusat Lingkaran Persentase

I 270 0

725

270_{x360 = 132}0 100%

725

270 _{x = 36,7 %}

II 240 0

725

240 _{x360 = 118}0 _100%

725

240 _{x = 32,7 %}

III 225 0

725

225 _{x360 = 110}0 _100%

725 225 _x

= 30,6 %

Jumlah 735 3600 _{100 %}

Diagram Lingkaran :

100

AK AP PJ

Tk III

Keadaan siswa SMK Amarta Tahun Pelajaran 2005/2006

iv) Diagram Garis

Untuk data dengan variabel kontinu, penyajiannya lebih sesuai dengan diagram garis.

Contoh 10

Dengan menggunakan termometer setiap 1 jam sekali diadakan pengukuran suhu badan seorang pasien rumah sakit.

Hasil pengukurannya dicatat sebagai berikut : Nama Pasien : ANGELA

Jam 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 Suhu (o_{c) 39,1 39,4 39,7 40,0 39,8 39,6 39,5}

Keterangan : Data karangan

Jika disajikan dalam diagram garis maka grafiknya adalah sebagai berikut :

Tingkat III

30,6 % Tingkat I_36,7% Tingkat II 32,7%

40,0

39,5

12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00

Ada kemungkinan kita memperkirakan nilai diantara dua beberapa nilai pada diagram garis. Hal seperti ini disebut interpolasi, Kemungkinan lain adalah kita memperkirakan titik-titik pada perpanjangan garis dengan maksud memperkirakan nilai statistik

berikutnya yang disebut ekstrapolasi.

v) Histogram dan Poligon

Histogram dan Poligon adalah dua grafik yang mewakili distribusi frekuensi.Grafik histogram merupakan kelompok batang-batang yang berhimpitan yang menunjukkan hubugan antara kelas-kelas (diwakili oleh tepi-tepi kelas) dengan frekuensinya. Lebar batang menunjukkan panjang interval kelas dan tingginya menunjukkan besar frekuensi, Jadi dapat dikatakan bahwa histogram adalah diagram batang dari tabel distribusi frekuensi bilangan nilai berkelompok.

Poligon frekuensi/poligon adalah suatu diagram garis yang diperoleh dengan cara menghubungkan titik tengah puncak persegi panjang dari histogram secara berurutan, biasanya dimulai dari kedua ujung pertengahan dari kelas sebelum dan sesudahnya.

Contoh 11

Buatlah Histogram dan Poligon dari tabel distribusi frekuensi berikut : Berat badan 50 siswa SMK SAWO JAJAR (dalam kg)

Berat Frekuensi

47 – 49 10

50 – 52 12

53 – 55 15

39,0

56 – 58 8

59 – 61 5

( Keterangan data karangan ).

Jawab :

Sebelum membuat histogram dan poligon tabel di atas harus dilengkapi dahulu menjadi sebagai berikut :

Berat F Titik tengah

44 – 46 - 45

47 – 49 10 48

50 – 52 12 51

53 – 55 15 54

56 – 58 8 57

59 – 61 5 60

62 – 64 - 63

Jumlah 50

Histogram dan Poligon

Berat badan 50 siswa SMK SAWO JAJAR

43,5 46,5 49,5 52,5 55,5 58,5 61,5 64,5 vi) Kurva Ogive/ogif

Ogif adalah suatu grafik yang menujukkan distribusi frekuensi komlatif. Ogif disebut juga poligon frekuensi komulatif.

Grafik yang menunjukkan distribusi frekuensi komulatif kurang dari disebut ogif positif, sedangkan grafik yang menunjukkan grafik frekuensi komulatif lebih dari disebut ogif negatif.

20

10 15

5 0

Poligon

48 51 54 57 60 63

Buatlah grafik pada tabel distribusi frekuensi Berat badan 50 siswa SMK SAWO JAJAR pada contoh 11 di atas !

Jawab

Sebelum menggambar ogif tabel frekuensi tersebut dilengkapi sebagai berikut :

Nilai F Tepi atas F kom < F kom >

41 – 46 - 46,5 0 50

47 – 49 10 49,5 10 40

50 – 52 12 52,5 22 28

53 – 55 15 55,5 37 13

56 – 58 8 58,5 45 5

59 – 61 5 61,5 50 0

Jumlah 50

Ogif : Berat Badan 50 siswa SMK SAWOJAJAR

46,5 49,5 52,5 55,5 58,5 61,5

Latihan 2

1. Korban kecelakaan lalu lintas di Kabupaten Pati pada triwulan pertama tahun 2005 tercatat sebagai berikut :

Dewasa : 8 orang, remaja : 16 orang, anak-anak : 4 orang

( Keterangan data karangan ).

Gambarlah data tersebut dalam bentuk :

50

10 30

Ogif positif

Ogif negatif

Tepi kelas F k.

a) Diagram Lambang ( 1 lambang mewakili 4 orang ) b) Diagram lingkaran

c) Diagram balok

2) Pada setiap ulang tahunnya, Bima mencatat berat dan tinggi badannya, tercatat sebagai berikut:

Tahun Tinggi (cm) Berat (kg)

2000 152 39

2001 154 40

2002 156 43

2003 159 41

2004 161 46

2005 163 48

2006 165 54

( Keterangan data karangan ).

Buatlah diagram yang memuat data tersebut sehingga tertulis dalam satu diagram dalam bentuk

a) diagram balok b) diagram garis

3) Diketahui data mengenai upah buruh PT Pringgondani sebagai berikut : Upah ( ribuan Rp) f

51 - 57 8

58 - 64 11

65 - 71 17

72 – 78 12

79 – 85 9

86 – 92 3

( Keterangan data karangan ).

Buatlah :

a) Histogram b) Poligon

c) Tabel Distribusi Frekwensi Komulatif d) Ogif Positif

e) Ogif Negatif

4) Dari data soal nomor 3 hitunglah :

b) Jumlah karyawan yang upahnya kurang dari Rp. 78.500,00 c) Berapa persen karyawan yang upahnya diatas Rp. 78.500,00

d) Berapa persen karyawan yang upahnya diantara Rp. 65.000,00 sampai Rp. 71.000,00

5) Buatlah sebuah tabel yang menyajikan data tentang keadaan siswa disekolahmu, mengenai tingkat, jenis kelamin dan program keahlian, kemudian disajikan dalam bentuk diagram yang sesuai.

C. UKURAN TENDENSI SENTRAL

Kompetensi Dasar : Menentukan Ukuran Pemusatan Data

Indikator : - Mean, Median dan Modus debedakan sesuai dengan pengertiannya.

- Mean , Median dan Modus dihitung sesuai dengan data tunggal dan data kelompok.

Salah satu tugas dari statistik adalah mencari suatu nilai sehingga nilai-nilai dalam suatu kelompok data memusat. Nilai yang menjadi pusat suatu kelompok data atau pusat distribusi frekuensi disebut ukuran pemusatan atau ukuran tendensi sentral. Nilai ata ukuran ini harus dapat mewakili rangkaian data tersebut. Yang termasuk ukuran tensensi sentral diantaranya adalah:

1. Mean ( Nilai rata-rata )

yang dimaksud dengan mean disini adalah rata-rata hitung ( mean aritmatika). Mean ini adalah salah satu ukuran tendensi sentral yang sudah kita kenal sehari-hari dan paling sering digunakan.

Secara umum mean dari sekumpulan data adalah jumlah semua bilangan/data dibagi dengan banyaknya bilangan/data.

i) Mean data tunggal.

Mean data tunggal dapat dituliskan dalam bentuk sederhana sebagai berikut: X =

n x

Contoh 13

Nilai ulangan matematika dari seorang siswa SMK adalah sebagai berikut : - Ekonomi : 8

- Kewirausahaan : 8,5 - Bahasa Indonesia : 7,5 - Matematika : 9 - Bahasa Inggris : 7

Mean dari ulangan-ulangan tersebut adalah : X =

n x



=

5

7 9 5 , 7 5 , 8

8   

= 5 40

= 8

ii) Mean Data Berbobot

Untuk Mean Data Berbobot dapat dihitung sebagai berikut :

Contoh 14

Tentukan Mean dari data berikut :

Nilai ulangan matematika siswa kelas 3P1 Nilai 5 6 7 8 9 Frekuensi 6 8 13 10 3 Jawab :

Untuk menentukan meannya maka tabel tersebut diubah dan dilengkapi seperti berikut :

Nilai (x) f f.x

5 6 30

X =

f fx

 

7 13 91

8 10 80

9 3 27

Jumlah 40 276

Nilai rata-rata (mean) ulangan matematika kelas 3P1 adalah: x =

f fx

 

= 40 276

= 6,9

iii) Mean Data Berkelompok

Secara umum data berkelompok dapat dihitung sebagai berikut :

Contoh 15

Hitunglah mean dari data berikut :

Berat Badan 50 siswa SMK SAWO JAJAR

Berat F

47 – 49 10

50 – 52 12

53 – 55 15

56 – 58 8

59 – 62 5

Jumlah 50

Jawab

Tabel frekuensi tersebut di atas harus dilengkapi sebagai berikut : Berat f Titik tengah (x) f.x

47 – 49 10 48 480

50 – 52 12 51 612

53 – 55 15 54 810

56 – 58 8 57 456

59 – 62 5 60 300

Jumlah 50 2.658

X =

f fx



 f = frekuensi

x =

f fx

 

= 50

658 . 2

= 51,36

Cara lain untuk menghitung mean data berkelompok adalah dengan menggunakan rata-rata sementara atau rata-rata duga kemudian dihitung dengan rumus :

Contoh 16

Pada contoh 15 jika dihitung dengan menggunakan rata-rata sementara dengan mengambil nilai rata-rata sementara X0 = 54 adalah sebagai berikut :

Berat F Titik tengah (x) Defiasi(d) f.d

47 – 49 10 48 -6 -60

50 – 52 12 51 -3 -36

53 – 55 15 54 0 0

56 – 58 8 57 3 24

59 – 62 5 60 6 30

Jumlah 50 -42

X = X0 +

f fd

 

= 54 + 50

) 42 (

= 54 – 0,84 = 53,16 Keterangan :

- sebaiknya pemilihan rata-rata sementara ditempatkan pada kelas

X = X0 +

f fd

 

X0 = rata – rata sementara

- Rata-rata sementara merupakan titik tengah interval pada kelas interval dimana deviasinya atau simpangannya 0.

- Menetukan deviasi berarti menentukan bilangan yang menunjukkan penyimpangan dari nilai rata-rata sementara.

Untuk memudahkan cara menghitung mean data berkelompok seperti di atas dapat dilakukan dengan memfaktorkan interval kelasnya (i), sehingga dalam menentukan deviasi kita tinggal memperhatikan nilai rata-rata sementara (Xo) yang defiasinya 0, dan untuk kelas di atasnya deviasinya berturut-turut adalah : -1, -2, -3 dan seterusnya, sedangkan kelas di bawah nilai deviasinya bertambah 1 sehingga berturut-turut menjadi : +1, +2, +3, …….

Dengan demikian rata-rata hitungnya dihitung sebagai berikut :

Cara menghitung mean yang demikian disebut cara koding. Contoh 17

Jika diselesaikan dengan cara koding data di atas menjadi sebagai berikut :

Berat F Titik tengah (x) u Fu

47 – 49 10 48 -2 -20

50 – 52 12 51 -1 -12

53 – 55 15 54 0 0

56 – 58 8 57 1 8

59 – 62 5 60 2 10

Jumlah 50 -19

X = X0 + i

f fu

 

= 54 + 3

50 ) 14 (

= 54 – 0,84 = 53,16

X = X0 +

i f fu

 

i = panjang kelas interval u = x_ixo

2. Median.

Median dari sekumpulan bilangan/data adalah bilangan atau data yang ditengah-tengah setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.

i) Median Data Tunggal

Contoh 18

Tentukan median dari : a) 8, 5, 6, 3, 6, 1, 6, 2, 4, 7, 5 b) 8, 5, 7, 9, 2, 1

Jawab :

Sebelum menentukan median data harus diurutkan menjadi : a) 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8

mediannya adalah 5 b) 1, 2, 5, 7, 8, 9

median = 2

7 5

= 6

ii) Median Data Berbobot.

Untuk menentukan median data berbobot sebaiknya menggunakan tabel distribusi frekuensi komulatif kurang dari atau sama dengan. Tabel ini selain untuk menunjukkan jumlah komulatif data sampai nilai tertentu, juga sekaligus bisa untuk mengetahui posisi data (urutan data).

Contoh 19

Hitunglah nilai median dari data berikut : Nilai ulangan matematika kelas 3P1

Nilai 5 6 7 8 9 Frekuensi 6 8 13 10 3

Jawab:

Dibuat tabel frekuensi komulatif sebagai berikut :

Nilai f F kom ≤ Urutan

5 6 6 1 – 6

6 8 14 7 – 14

7 13 27 15 – 27

8 10 37 28 – 37

9 3 40 38 – 40

Karena jumlah datanya 40 maka mediannya terletak antara data pada urutan ke 20 dan ke 21 sehingga :

Median = 2

7 7

= 7

iii) Median Data Berkelompok.

Untuk menentukan median data berkelompok ikuti langkah-langkah sebagai berikut :

- Buatlah tabel distribusi frekuensi komulatif kurang dari. - Tentukan letak kelas median, dengan perhitungan : Letak kelas median =

2 1

n, n = banyaknya data. - hitung median dengan rumus :

n

2

1 _{= letak kelas median} Tb = tepi bawah kelas median

fka = frekuensi komulatif kelas di atasnya. i = panjang interval kelas

Contoh 20

Median = Tb + i

f fka n

med



2 1

Hitunglah median dari data tentang berat badan 50 siswa SMK SAWOJAJAR pada contoh 15 di atas !

Jawab :

Berat F f kom <

47 – 49 10 10

50 – 52 12 22

53 – 55 15 37

56 – 58 8 45

59 – 62 5 50

Jumlah 50

Letak kelas median = ₂1 n = 21.50

= 25 (kelas ke-3) Tb3 = 53,5

fka = 22 fmed = 15

i = 3

maka median = 53,5 + 25₁₅223

= 53,5 + 0,6 = 54,1

3. Modus

Modus dari sekumpulan data (bilangan )adalah data yang paling banyak muncul atau data yang mempunyai frekuensi terbanyak.

i) Modus Data Tunggal

Contoh 21

b) 8, 6, 5, 3, 6, 5, 6, 2, 5 c) 8, 6, 5, 6, 5, 8, 6, 8, 5 d) 2, 4, 3, 5, 7, 6

Jawab : a) Modus = 6 b) Modus = 6 dan 5 c) tidak ada modus d) tidak ada modus

ii) Modus Data Berbobot

Contoh 22

Tentukan modus dari data tentang ulangan matematika kelas 3P1 pada contoh 19 di atas.

Jawab :

Nilai f

5 6

6 8

7 13

8 10

9 3

Modus = 7 (mempunyai frekuensi paling banyak)

iii) Modus Data Berkelompok

untuk menentukan modus data berkelompok dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

- Menentukan kelas modus : yaitu kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi.

- Menghitung modus dengan rumus :

Modus = Tb + i

d d

d . 2 1

1

Tb = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.

d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.

Contoh 23

Hitunglah median dari data tentang berat badan 50 siswa SMK SAWOJAJAR pada contoh 15 di atas !

Jawab :

Berat F

47 – 49 10

50 – 52 12

53 – 55 15

56 – 58 8

59 – 62 5

Jumlah 50

Kelas modus adalah kelas ke-3 : Tb = 52,5

d1 = 15 – 12 = 3

d2 = 15 – 8 = 7

Nilai Modus = 52,5 + ₃3₇.3

= 52,5 + 0,9 = 53,4

Latihan 3

1. Tentukan mean dari data berikut: a) 5, 4, 5, 6, 5, 7, 8, 9, 6, 8 b)

Nilai 5 6 7 8 9 10 Frekuensi 9 19 16 1 3 2 c)

56 – 58 59 - 61 62 - 64

42 27 8

2. Hitung nilai x pada tabel berikut : a) Jika x = 7,7

Nilai 5 6 7 x 12 Frekuensi 4 3 5 5 3 b) Jika x = 3,75

Nilai 2 3 4 5 6 Frekuensi 2 3 x 2 1

3. Nilai rata – rata ulangan bahasa inggris dari 39 siswa adalah 8, jika nilai salah satu siswa lainnya digabung maka nilai rata – ratanya menjadi 8,05. Berapakah nilai siswa yang ditambahkan tersebut ?

4. Tentukan median dari data berikut : a) 4, 5, 3, 2, 5, 6, 8, 7, 3

b) 21, 25, 19, 28, 24, 23, 27, 29, 18, 20 c)

X 5 3 4 6 7 9 F 6 2 4 7 3 2

5. Tabungan 30 siswa selama seminggu dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut :

Tabungan frekuensi

11 – 15 2

16 – 20 3

21 – 25 4

26 – 30 9

31 – 35 7

36 – 40 4

41 – 45 1

Jumlah 30

Berapa rupiahkah median dari tabungan siswa tersebut ? 6. Hitunglah modus dari data berikut.

b) 22, 24, 23, 26, 20, 26, 24 c) 22, 24, 26, 24, 26, 22

7. Nilai Ujian 80 siswa tertulis sebagai berikut : Nilai frekuensi

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 25

81 – 90 20

91 - 100 12

D. UKURAN DISPERSI

Kompetensi Dasar : Menentukan Ukuran Penyebaran Data

Indikator : - Jangkuan, Simpangan rata – rata, Simpangan baku, Jangkauan semi inter kuartil dan Jangkauan persentil ditentukan dari suatu data.

- Nilai standar (Z-score) ditentukan dari suatu data

- Koefisien variasi ditentukan dari suatu data.

Seperti apa yang sudah disebutkan di muka bahwa ukuran tendensi sentral merupakan nilai yang mewakili sekumpulan bilangan. Ternyata nilai – nilai tersebut belum merupakan wakil yang baik, tetapi hanya memberikan

selain ukuran tendensi sentral perlu ditambah suatu keterangan mengenai penyebaran nilai data tersebut. Penyebaran nilai tersebut dinamakan variasi atau dispersi atau ukuran penyebaran. Yang termasuk ukuran dispersi antara lain adalah :

1. Range (Jangkauan)

Range dari sekumpulan bilangan adalah selisih antara bilangan tertinggi (maksimum) dengan bilangan terendah (minimum).

Contoh 24

Tentukan range dari : 5, 6, 3, 4, 7, 19, 10, 11 Jawab :

Nilai tertinggi = 19 Nilai terendah = 3 Range = 19 – 3 = 16

Untuk menentukan range data berkelompok ada dua cara yaitu :

i) range adalah titik tengah dari kelas yang tertinggi dikurangi titik tengah dari nilai terendah .

ii) range adalah batas atas nyata (tepi atas) dari kelas tertinggi dikurangi batas bawah nyata (tepi bawah dari kelas terendah.

Contoh 25

Tentukan range dari data berikut : Nilai Frekuensi

50 – 52 5

53 – 55 18

56 – 58 42

59 – 61 27

62 – 64 8

Dengan cara i) Range = 63 – 51 = 12 dengan cara ii)

2. Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata adalah ukuran disfersi yang menyatakan penyebaran nilai-nilai (data) terhadap rata-ratanya. Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan/data merupakan nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.

i) Simpangan Rata-rata Data Tunggal

Jika sekelompok bilangan-bilangan adalah : x1, x2, x3, x4, ….,xn

dan rata-ratanya = x

maka simpangan rata-rata : SR = n x x x x x x x

x1  2   3  ... n 

=

n x x 

Jadi simpangan rata-rata data tunggal :

Contoh 26

Tentukan simpangan rata-rata dari : 7, 5, 6, 2 Jawab :

x = 4

2 6 5 7  

= 4 20 = 5 SR = 4 5 2 5 6 5 5 5

7      

= 4

3 1 0 2  

SR =

n x x 

= 4 6

= 1,5

ii) Simpangan Rata-rata Data Berbobot

simpangan rata-rata untuk data berbobot dapat dihitung dengan rumus :

Contoh 28

Hitunglah simpangan rata-rata dari data berikut : Ulangan matematika kelas 3P1

Nilai 5 6 7 8 9 Frekuensi 6 8 13 10 3 Jawab :

Nilai (x) f f.x x x f x x

5 6 30 1,9 11,4

6 8 48 0,9 7,2

7 13 91 0,1 1,3

8 10 80 1,1 11

9 3 27 2,1 6,3

Jumlah 40 276 37,2

x = 40 276

= 6,9 SR =

40 2 , 37

= 0,93

iii) Simpangan Rata-rata Data Berkelompok

Simpangan rata-rata data berkelompok pada hakekatnya dapat dihitung dengan rumus yang sama dengan data berbobot yaitu :

SR =

n x x f  

Contoh 28

Pada tabel berikut ini diketahui ratanya 53,46. tentukan simpangan rata-ratanya !

Berat Badan 50 siswa SAWOJAJAR

Berat fekuensi

47 – 49 10

50 – 52 12

53 – 55 15

56 – 58 8

59 – 62 5

Jumlah 50

Jawab :

Tabel di atas dilengkapi sebagai berikut :

Berat f x x x f x x

47 – 49 10 48 5,46 54,6

50 – 52 12 51 2,46 29,52

53 – 55 15 54 0,54 8,1

56 – 58 8 57 3,54 28,32

59 – 62 5 60 6,54 32,7

Jumlah 50 153,24

SR = 50

24 , 153

= 3,06

3. Simpangan Baku / Deviasi Standar

Simpangan baku suatu rangkaian data atau bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan / jumlah frekuensi, atau akar dari rata-rata deviasi

SR =

n x x f  

Secara statistik dirumuskan sebagai berikut :

Rumus tersebut selanjutnya dapat disederhanakan menjadi :

Untuk data yang telah disusun dalam tabel frekuensi ( data berbobot atau data berkelompok), simpangan baku dihitung dengan rumus sebaga berikut :

Atau disederhanakan menjadi : Atau

Catatan : d = deviasi

Contoh 29

Tentukan simpangan baku dari : 7, 5, 6, 2 Jawab :

x =

4 2 6 5 7  

= 5 s = 4 ) 5 2 ( ) 5 6 ( ) 5 5 ( ) 5 7

( _ 2_{ } 2_{ } 2_{ } 2

= 40419

= 14₄

= 3,5

= 1,87 s = s = s = f x x f    ( )2

s = 2

)

(

2 f fx f fx    



s = 2

)

(

2 f fd f fd    



Contoh 30

Tentukan simpangan baku dari data Berat Badan Siswa SMK SAWOJAJAR dari contoh 15 !

Jawab :

Berat f x x - x (x - x) 2 F (x - x) 2

47 – 49 10 48 -5,46 29,81 298,1

50 – 52 12 51 -2,46 6,05 72,6

53 – 55 15 54 0,54 0,31 4,65

56 – 58 8 57 3,54 12,53 100,24

59 – 62 5 60 6,54 42,77 213,85

Jumlah 50 689,44

S = 50 44 , 689

= 13,79

= 3,7

Atau dapat dihitung sebagai berikut :

Berat f d fd d 2 _fd 2

47 – 49 10 -6 -60 36 360

50 – 52 12 -3 -36 9 108

53 – 55 15 0 0 0 15

56 – 58 8 3 24 9 72

59 – 62 5 6 30 36 180

Jumlah 50 -42 720

s = 2

5042 50

72 _{ (} ₎

= 14,4 0,71

= 13,69

= 3,7

Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data menjadi 4 bagian yang sama setelah data-data itu diurutkan dengan garis bilangan dapat ditunjukkan sebagai bertikut :

X1 Q1 Q2 Q3 Xn

X1 = nilai minimum

Q1 = kuartil bawah (kuartil pertama)

Q2 = kuartil tengah (kuartil ke dua)

Q3 = kuartil atas (kuartil ke tiga)

Xn = nilai maksimum

Jangkauan semi inter kuartil atau simpangan kuartil (Qd) didefinisikan sebagai berikut :

i) Simpangan Kuartil Data Tunggal

Untuk menentukan nilai kuartil langkah – langkahnya sama dengan menentukan median, yang berbeda adalah letaknya saja.

Letak kuartil data tunggal ditentukan dengan rumus :

Contoh 31

Tentukan simpangan kuartil dari a) 5, 17, 8, 13, 12, 10, 15

b) 25, 27, 24, 22, 20, 18 Jawab :

a) setelah diurutkan data menjadi 5, 8, 10, 12, 13, 15, 17 Qd =

2 1

(Q3 – Q1)

Qi = 4 i

(n + 1) i = 1, 2, 3

letak Q1 = ₄1 (7+1)

= 2

Artinya nilai Q1 adalah data nomor urut 2 (suku ke-2)

sehingga nilai Q1 = 8

letak Q3 = 43 (7+1) = 6

Artinya nilai Q3 adalah suku ke-6

Jadi nilai Q3 = 15

Simpangan kuartil : Qd = ₂1 (15-8) = 3,5

b) setelah diurutkan menjadi : 18, 20, 22, 24, 25, 27 letak Q1 = 41 (6+1)

= 1 ₄3

Artinya Q1 terletak pada suku pertama ditambah 43 kali selisih antara suku pertama dan ke-2

Nilai Q1 = 18 + ₄3 (20-18)

= 18 + 1,5 = 19,5 letak Q3 = 4

3 (6+1) = 5 ₄1

Artinya Q3 terletak pada suku ke-5 ditambah 41 kali selisih antara suku ke-6 dan suku ke-5

Jadi nilai Q3 = 25 + ₄1 (27-25)

= 25 + 12 = 25,5

Contoh 32

Tentukan simpangan kuartil dari :

Nilai Frekuensi

6 2

6,5 3

7 6

7,5 4

8 3

9 2

Jawab:

Untuk menentukan nilai kuartil data tersebut, terlebih dahulu dibuat tabel frekuensi komulatif sebagai berikut :

Nilai Frekuensi F kom ≤

6 2 2

6,5 3 5

7 6 11

7,5 4 15

8 3 18

9 2 20

Qd = ₂1 _{( 7,875-6,625)} = 21 (8,55)

= 4,275 Catatan :

Karena ₂1 (Q3+Q1) = 64,39 dan ₂1 (Q3-Q1) = 4,275, maka 50 % dari nilai tersebut

terletak pada simpangan (64,39  4,275).

5. Jangkauan Persentil.

Letak Q1 = ₄1 (20+1) = 541

Nilai Q1 = 6,5 + ₄1 _{(7- 6,5)} = 6,5 + 0,125 = 6,625 Letak Q3 = 4

3

(20+1) = 15₄3

Nilai Q3 = 7,5 + 43 (8-7,5) = 7,5 + 0,375 = 7,875

Persentil dari sekumpulan bilangan merupakan nilai yang membagi kelompok bilangan tersebut atas seratus bagian yang sama banyaknya setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.

Jangkauan 10 – 90 persentil = P90 – P10

untuk menghitung persentil caranya identik dengan cara menghitung median maupun kuartil yaitu dengan membuat tabel frekuensi komulatif kurang dari dan menentukan terlebih dahulu letak kelas persentil.

P10 merupakan persentil ke 10.

letak kelas P10 = 100

10 .n

nilai P10 dihitung dengan rumus :

P10 = Tb + i

f fka n

] .

[

10 10010 

Demikian juga P90 yang merupakan persentil yang ke 90 :

Letak kelas P90 = 100

90 .n

Nilai P90 dihitung dengan rumus :

P90 = Tb + i

f fka n

] [

90 10090 

Contoh 33

Tentukan 10 – 90 Persentil dari data berikut : Nilai frekuensi

40 – 49 5

50 – 59 15

60 - 69 14

70 – 79 10

80 – 89 4

90 – 99 2

Jawab :

40 – 49 5 5

50 – 59 15 20

60 - 69 14 34

70 – 79 10 44

80 – 89 4 48

90 – 99 2 50

Letak kelas P10 = 100 10 .n = 100 10 x 50 = 5

Nilai P10 = Tb + i f fka n ] . [ 10 10010 

= 39,5 + ]10 5

0 5 [ 

= 39,5 + 10 = 49,5 Letak kelas P90 =

100 90 .n = 100 90 x 50 = 45

P90 = 79,5 + ]10 4

44 45

[ 

= 79,5 + 2,5 = 82

Jangkauan 10 – 90 persentil = 82 – 49,5 = 32,5 Catatan :

Karena 1₂ ( P90 + P10) = 67,75 dan ₂1 (P90 – P10) = 16,25 maka 80% dari nilai

6. Angka Baku

Angka baku digunakan untuk mengetahui kedudukan suatu obyek yang diselidiki terhadap keadaan pada umumnya ( nilai rata-rata ) kumpulan obyek tersebut.

Angka baku ( Z ) dihitung dengan menggunakan rumus :

Contoh 34

Pada suatu hari seorang pedagang buah-buahan memperoleh keuntungan Rp 13.000,00 dari hasil penjualan dagangannya. Sedangkan seorang pedagang beras pada hari yang sama memperoleh keuntungan sebesar Rp 8.000,00. keuntungan rata-rata pedagang buah pada hari tersebut Rp10.000,00 dengan simpangan baku Rp 2.500,00. sedangkan rata-rata dan simpangan bamu pedagang beras berturut-turut Rp 6.000,00. siapakah diantara kedua pedagang tersebut yang usahanya lebih maju ?

Jawab :

Pedagang buah :

x = 13.000,00 x = 10.000,00 s = 2.500,00

maka : Z = 13.000₂,00_.500 10_,00.000,00 = 3_2..000_500,,00₀₀

= 1,2 Pedagang beras :

x = 8.000,00 x = 6.000,00 s 1.000,00

maka : Z = 8.000₁,00_.000 6_,00.000,00 = ₁2_..₀₀₀000_,,₀₀00

Z = s

x x

X = obyek/data yang diselidiki

x = nilai rata-rata data yang

diselidiki

Dari hasil perhitungan tersebut maka berarti usaha pedagan buah 1,2 simpangan baku di atas rata-rata, sedangkan usah pedagang beras adalah dua simpangan baku di atas rata-rata hasil usaha pedagang beras seluruhnya. Karena nilai Z untuk pedagang beras lebih besar dari nilai Z pedagang buah maka usaha pedagang beras lebih maju dibanding usaha pedagang buah.

6. Koefisien Variasi / Variabilitas

Koefisien Variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata sekumpilan data yang dinyatakan dengan persentase. Jadi rumus Koefisian Variasi (KV):

Besar kecilnya koefisien Variasi menunjukkan baik tidaknya sekumpulan data. Jika koefisien variasi semakin kecil maka sekumpulan data semakin baik / homogen, sebaiknya jika koefisien variasinya semakin besar maka sekumpulan data makin heterogen

.

Contoh 35

Rata-rata nilai matematika suatu kelas adalah 8,25 dengan simpangan baku 0,75. Hitunglah besarnya koefisien variasi !

Jawab :

x = 8,25 s = 0,75

KV = x s

x 100% = ₈0_,,₂₅75x 100% = 9,09 %

Latihan 4

1. diketahui sekelompok data : i) 4, 6, 5, 10, 12, 7, 11, 15, 12

ii) 23, 25, 24, 21, 23, 20, 9, 15, 18, 29 untuk masing-masing data tersebut tentukan :

a) simpangan rata-rata. b) simpangan baku c) simpangan kuartil.

KV = x s

2. Diketahui tinggi badan 80 orang siswa (dalam cm ) adalah sebagai berikut : Tinggi 154 155 156 157 158 159 160 161 162

Frekuensi 3 8 9 13 18 12 8 7 2 Hitunglah :

a) simpangan rata-rata b) simpangan kuartil 3. dari data berikut :

Berat (kg) frekuensi

50 – 54 2

55 – 59 5

60 -64 4

65 – 69 7

70 – 74 24

75 – 79 15

80 – 89 3

Jumlah 60

4. Nakula dan Sadewa adalah siswa kelas X di SMK yang berbeda. Pada waktu kenaikan kelas Nakula mendapat nilai matematika 8,5 sedangkan Sadewa 6,5. siapakah yang memiliki prestasi yang lebih baik bila nilai rata-rata matematika sekolah Nakula 8,7 dengan simpangan baku 5, sedangkan nilai rata-rata matematika sekolah Sadewa 6,0 dengan simpangan baku 5,5 ?

5. Nilai ulangan statistik dari dua kelas yang berbeda tercata sebagai berikut :

Nilai Kelas A Kelas B

48 – 53 5 3

54 – 59 8 5

60 – 65 15 9

66 – 71 10 15

72 – 77 3 7

78 – 83 2 4

Kelas manakah yang penyebaran nilainya lebih merata ? Hitunglah :

a) simpangan kuartil b) jangkauan persentil

EVALUASI

1. Cara pengambilan sample yang dilakukan sedemikian sehingga setiap elemen mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sample, disebut …

A. sampling

B. sensus

C. random

D. undian

E. kuis

2. Data yang diperoleh dari hasil pengolahan sensus disebut …. A. obyektif

B. bisa mewakili C. relevan D. tepat waktu E. parameter

3. Bagi seorang pemimpin perusahaan secara umum statistik berguna untuk ….

B. Mengetahui besar produksi

C. Mengetahui hubungan penjualan dan pemasaran

D. Sebagai dasar untuk mengambil kebijakan dimasa yang akan datang E. Menentukan kenaikan harga penjualan

4. Data mengenai jumlah NEM terendah yang diterima di suatu sekolah, dilihat dari waktu pengumpulannya termasuk data ….

A. Primer B. Kuantitatif C. Cross Section D. Berkala E. Kontinu

5. Data tentang industri tempat siswa mengadakan prakerin yang diperoreh sekolah dari siswanya, dilihat dari sumbernya termasuk data ….

A. Ekstern B..Intern C. Primer D. Skunder E. Berkala

6. Dari 100 obyek penelitian diketahui bahwa nilai tertinggi 79 dan nilai terendah 9. Jika data tersebut akan disusun dalam tabel distribusi frekuensi nilai kelompok, maka banyak kelasnya adalah ….

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 12

7. Hasil ulangan matematika di suatu sekolah tercatat sebagai berikut :

Nilai Frekuensi

30 – 39 7

40 – 49 12

50 – 59 18

60 – 69 20

70 – 79 13

80 – 89 7

90 – 99 3

Jika ditentukan bahwa yang nilainya kurang dari 59,5 harus mengikuti ulangan perbaikan, maka siswa yang tidak harus mengikuti ulangan perbaikan adalah ….

C. 43 orang D. 57 orang E. 70 orang

8. Titik tengah dan batas bawah nyata kelas ke- 4 dari tabel frekuensi pada soal no 7 adalah ….

A. 64,5 dan 59,5 B. 64,5 dan 69,5 C. 54,5 dan 59,5 D. 54, 5 dan 60 E. 64,5 dan 60

9. Berikut ini adalah kegunaan grafik / diagram, kecuali …. A. Mempercepat pengertian

B. Menunjukkan arti secara menyeluruh C. Memperjelas penyajian data

D. Menambah kejenuhan melihat angka – angka E Mempermudah pengertian

10. Dari pendataan jenis pekerjaan orang tua murid di suatu kelas diperoleh data

sebagai berikut :

11. Diagram di bawah ini

menunjukkan cara yang ditempuh oleh 180 orang siswa SMK untuk berangkat ke sekolah . Jumlah siswa yang tidak jalan kaki adalah …

No. Jenis Pekerjaan Frekuensi

1. PNS 10

2. BUMN 5

3. TNI 4

4. Swasta 23

5. Lain – lain 8

Diagram lingkaran untuk pegawai BUMN digambarkan dengan juring sebesar ….

A. 10 o

B. 36 o

C. 50 o

D. 72 o

E. 144 o

Naik sepeda

motor 40 %

Naik becak 5 %

Jalan kaki 20 % Naik mobil 15 % Lain-lain

A. 18 siswa B. 36 siswa C. 72 siswa D. 144 siswa E. 172 siswa

12. Memperkirakan nilai berikutnya pada perpanjangan diagram garis disebut ….

A. Estimasi

B. Interpolasi

C. Ekstrapolasi

D. Polarisasi

E. Meramalkan

13. Diagram batang dari tabel distribusi frekuensi data kelompok disebut ….

A. Ogif

B. Piktogram

C. Poligon

D. Kartogram

E. Histogram

14. Hasil tes matematika di suatu kelas tersusun sebagai berikut :

15. Nilai rata – rata ulangan matematika dari 30

siswa adalah 5,8. Jika ditambah nilai dari 8 siswa lagi, rata – rata nya menjadi 6,0 maka nilai rata – rata 8 siswa tersebut adalah …

A.5,9 B.6,0 C.6,5

D. 6,6

E. 6,75

16. Dari 2 kelompok data, yaitu kelompok A berjumlah 60 rata – ratanya 500 dan kelompok B berjumlah 40 rata – ratanya 750. Rata – rata gabungan 2 kelompok tersebut adalah ….

A. 600

B. 625

C. 650

D. 700

E. 725

17. Nilai ulangan suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa tercatat sebagai berikut Nilai Frekuensi

31 – 40 4

41 – 50 6

51 – 60 20

61 – 70 10

71 – 80 9

81 – 90 8

91 – 100 3

Siswa dinyatakan kompeten jika nilainya lebih dari 60, maka siswa yang tidak kompeten …

A. 16,7 % B. 30 % C. 50 % D. 70 % E. 83,3 %

8 siswa nilainya 5, 15 siswa nilainya 6, 10 siswa nilainya 7, 5 siswa nilainya 8 dan siswa lainya nilainya sama . Jika nilai rata – rata ulangan kelas tersebut 6,5 maka nilai siswa lainnya tersebut adalah ….

A. 6,5

B. 7,5

C. 8,5

D. 9

E. 10

18. Diketahui data sebagai berikut :

Nilai 4 5 6 7 4,5 6,5

Frekuensi 2 9 3 5 4 7

Median dari data tersebut adalah ….

A. 5

B. 5,5

C. 5,85

D. 6

E. 7

19. Median dari data : 9, 8, 2, 5, 7, 1 adalah ….

A. 3,5

B. 5

C. 5,5

D. 6

E. 7

20. Jika 9 adalah rata – rata dari 2, x, 10, 12 dan 15, maka x adalah ….

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

E. 6

21. Dari data di bawah nilai dari mean – modus adalah ….

22. Upah karyawan suatu pabrik tiap

minggunya dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut :

Upah Frekuensi Matematika SMK Bisman XII

Nilai Frekuensi

3 3

4 6

5 5

6 4

7 2

54 A. -1,2

B. -0,2 C. 0,2 D. 1,2

E. 9,2 Kebanyakan karyawan tersebut _{mendapat upah sebesar ….} A. Rp 51.500,00

B. Rp 51.800,00 C. Rp 52.00,00 D. Rp 52.300,00

40 – 44 4

45 – 49 10

50 – 54 16

55 – 59 12

60 – 64 8

23. Simpangan rata – rata dari : 10, 12, 14, 11, 13 adalah ….

A. 3

B. 2

C. 1,5

D. 1,2

E. 1

24. Besarnya simpangan kuartil dari : 4, 4, 5, 3, 2, 6, 6, 6, 7, 4, 6 adalah ….

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

E. 6

25. Simpangan kuartil dari data di bawah ini adalah ….

Nilai 4 4,5 5 6 6,5 7

Frekuensi 5 7 3 9 4 2

A. 0,25

B. 0,50

C. 0,75

D. 1,00

E. 1,50

26. Nilai ulangan matematika suatu kelas adalah sebagai berikut :

Nilai Frekuensi

31 – 40 4

41 – 50 10

51 – 60 15

61 – 70 9

Jika 25 % dari jumlah tersebut tidak perlu mengikuti ulangan perbaikan, maka batas nilai terkecil yang tidak perlu mengikuti ulangan perbaikan adalah ….

A. 61,61

B. 55,05

C. 54,50

D. 54,05

E. 46,50

27. Perhatikan data berikut :

Nilai Frekuensi

31 – 40 4

41 – 50 10

51 – 60 15

61 – 70 9

71 – 80 2

Jika 90 % dari jumlah siswa tersebut dinyatakan lulus, maka batas terkecil yang lulus adalah ….

A. 40,50

B. 45,50

C. 61,72

D. 65,50

E. 68,28

28. Dari sekelompok data diketahui rata – ratanya = 2,75 m dan simpangan bakunya = 0,55 m. Koefisien variasi kelompok data tersebut adalah ….

A. 0,2 %

B. 2 %

C. 5 %

D. 20 %

E. 50 %

29. Masa pakai sejenis lampu pijar adalah rata – rata 1,200 jam dengan simpangan standar 180 jam. Jika sebuah lampu yang dibeli seseorang mempunyai angka baku ( z skor ) = 0,3, maka lampu tersebut dapat dipakai selama ….

A. 1.146 jam

B. 1.254 jam

C. 1.260 jam

E. 1.754 jam

30. Rata – rata kerugian dan simpangan standar dari sekelompok pedagang berturut – turut adalah Rp 10.000,00 dan Rp 2.500,00 . Jika kerugian seorang pedagang Rp 13.000,00 maka angka baku kerugian pedagang tersebut adalah ….

A. –1,2

B. –0,83

C. 0,83

D. 1,2

E. 2

C. 43 orang D. 57 orang E. 70 orang

8. Titik tengah dan batas bawah nyata kelas ke- 4 dari tabel frekuensi pada soal no 7 adalah ….

A. 64,5 dan 59,5 B. 64,5 dan 69,5 C. 54,5 dan 59,5 D. 54, 5 dan 60 E. 64,5 dan 60

9. Berikut ini adalah kegunaan grafik / diagram, kecuali …. A. Mempercepat pengertian

B. Menunjukkan arti secara menyeluruh C. Memperjelas penyajian data

D. Menambah kejenuhan melihat angka – angka E Mempermudah pengertian

10. Dari pendataan jenis pekerjaan orang tua murid di suatu kelas diperoleh data

sebagai berikut :

11. Diagram di bawah ini

menunjukkan cara yang ditempuh oleh 180 orang siswa SMK untuk berangkat ke sekolah . Jumlah siswa yang tidak jalan kaki adalah …

Matematika SMK Bisman XII

No. Jenis Pekerjaan Frekuensi

1. PNS 10

2. BUMN 5

3. TNI 4

4. Swasta 23

5. Lain – lain 8

52 Diagram lingkaran untuk

pegawai BUMN digambarkan dengan juring sebesar ….

A. 10 o

B. 36 o

C. 50 o

D. 72 o

E. 144 o

Naik sepeda

motor 40 %

Naik becak 5 %

Jalan kaki 20 %

Naik mobil 15 %

Lain-lain

A. 18 siswa B. 36 siswa C. 72 siswa D. 144 siswa E. 172 siswa

12. Memperkirakan nilai berikutnya pada perpanjangan diagram garis disebut ….

A. Estimasi

B. Interpolasi

C. Ekstrapolasi

D. Polarisasi

E. Meramalkan

13. Diagram batang dari tabel distribusi frekuensi data kelompok disebut ….

A. Ogif

B. Piktogram

C. Poligon

D. Kartogram

E. Histogram

14. Hasil tes matematika di suatu kelas tersusun sebagai berikut :

15. Nilai rata – rata ulangan matematika dari 30

siswa adalah 5,8. Jika ditambah nilai dari 8 siswa lagi, rata – rata nya menjadi 6,0 maka nilai rata – rata 8 siswa tersebut adalah …

A.5,9 B.6,0 C.6,5

D. 6,6

E. 6,75

16. Dari 2 kelompok data, yaitu kelompok A berjumlah 60 rata – ratanya 500 dan kelompok B berjumlah 40 rata – ratanya 750. Rata – rata gabungan 2 kelompok tersebut adalah ….

A. 600

B. 625

C. 650

D. 700

E. 725

17. Nilai ulangan suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa tercatat sebagai berikut :

Matematika SMK Bisman XII

Nilai Frekuensi

31 – 40 4

41 – 50 6

51 – 60 20

61 – 70 10

71 – 80 9

81 – 90 8

91 – 100 3

53 Siswa dinyatakan kompeten jika nilainya

lebih dari 60, maka siswa yang tidak kompeten …

A. 16,7 % B. 30 % C. 50 % D. 70 % E. 83,3 %

8 siswa nilainya 5, 15 siswa nilainya 6, 10 siswa nilainya 7, 5 siswa nilainya 8 dan siswa lainya nilainya sama . Jika nilai rata – rata ulangan kelas tersebut 6,5 maka nilai siswa lainnya tersebut adalah ….

A. 6,5

B. 7,5

C. 8,5

D. 9

E. 10

18. Diketahui data sebagai berikut :

Nilai 4 5 6 7 4,5 6,5

Frekuensi 2 9 3 5 4 7

Median dari data tersebut adalah ….

A. 5

B. 5,5

C. 5,85

D. 6

E. 7

19. Median dari data : 9, 8, 2, 5, 7, 1 adalah ….

A. 3,5

B. 5

C. 5,5

D. 6

E. 7

20. Jika 9 adalah rata – rata dari 2, x, 10, 12 dan 15, maka x adalah ….

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

E. 6

21. Dari data di bawah nilai dari mean – modus adalah ….

22. Upah karyawan suatu pabrik tiap

minggunya dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut :

Upah Frekuensi

Matematika SMK Bisman XII

Nilai Frekuensi

3 3

4 6

5 5

6 4

7 2

54 A. -1,2

B. -0,2 C. 0,2 D. 1,2

E. 9,2 Kebanyakan karyawan tersebut _{mendapat upah sebesar ….} A. Rp 51.500,00

B. Rp 51.800,00 C. Rp 52.00,00 D. Rp 52.300,00

40 – 44 4

45 – 49 10

50 – 54 16

55 – 59 12

60 – 64 8

23. Simpangan rata – rata dari : 10, 12, 14, 11, 13 adalah ….

A. 3

B. 2

C. 1,5

D. 1,2

E. 1

24. Besarnya simpangan kuartil dari : 4, 4, 5, 3, 2, 6, 6, 6, 7, 4, 6 adalah ….

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

E. 6

25. Simpangan kuartil dari data di bawah ini adalah ….

Nilai 4 4,5 5 6 6,5 7

Frekuensi 5 7 3 9 4 2

A. 0,25

B. 0,50

C. 0,75

D. 1,00

E. 1,50

26. Nilai ulangan matematika suatu kelas adalah sebagai berikut :

Nilai Frekuensi

31 – 40 4

41 – 50 10

51 – 60 15

61 – 70 9

71 – 80 2

Jika 25 % dari jumlah tersebut tidak perlu mengikuti ulangan perbaikan, maka batas nilai terkecil yang tidak perlu mengikuti ulangan perbaikan adalah ….

A. 61,61

B. 55,05

C. 54,50

D. 54,05

E. 46,50

27. Perhatikan data berikut :

Nilai Frekuensi

31 – 40 4

41 – 50 10

51 – 60 15

61 – 70 9

71 – 80 2

Jika 90 % dari jumlah siswa tersebut dinyatakan lulus, maka batas terkecil yang lulus adalah ….

A. 40,50

B. 45,50

C. 61,72

D. 65,50

E. 68,28

28. Dari sekelompok data diketahui rata – ratanya = 2,75 m dan simpangan bakunya = 0,55 m. Koefisien variasi kelompok data tersebut adalah ….

A. 0,2 %

B. 2 %

C. 5 %

D. 20 %

E. 50 %

29. Masa pakai sejenis lampu pijar adalah rata – rata 1,200 jam dengan simpangan standar 180 jam. Jika sebuah lampu yang dibeli seseorang mempunyai angka baku ( z skor ) = 0,3, maka lampu tersebut dapat dipakai selama ….

A. 1.146 jam

B. 1.254 jam

C. 1.260 jam

D. 1.290 jam

E. 1.754 jam

30. Rata – rata kerugian dan simpangan standar dari sekelompok pedagang berturut – turut adalah Rp 10.000,00 dan Rp 2.500,00 . Jika kerugian seorang pedagang Rp 13.000,00 maka angka baku kerugian pedagang tersebut adalah ….

A. –1,2

B. –0,83

C. 0,83

D. 1,2

E. 2

ooooooo