himpunan harga variabel acak
t X
yang mungkin. Jika
t X
merupakan variabel acak diskrit yang terjadi dari sejumlah harga tak berhingga yang dapat dihitung dalam
suatu himpunan bilangan cacah tidak negatif, maka
. .
. 2,
1, ,
I
. Jika
t X
merupakan variabel acak kontinu yang tidak negatif, maka
x x
I :
.
Dalam proses stokastik istilah variabel acak
t X
dapat diartikan sebagai variabel
keadaan. Jika
. .
. 2,
, 1
t
dalam himpunan
. .
. 2,
1, ,
T
dan
N ,
. .
. 1,
,
t X
dalam himpunan N
, .
. .
2, 1,
,
I , maka
1 X
menggambarkan keadaan pada waktu pertama dan
2 X
menggambarkan kadaan pada waktu kedua dan seterusnya. Jadi, variabel
t X
menggambarkan keadaan pada waktu t atau langkah t .
2.4 Rantai Markov
Teori rantai Markov pertama kali dikemukakan oleh Andrey Markov pada tahun 1906, seorang matematikawan dari Rusia yang hidup pada tahun 1856 sampai 1922. Ia
mengungkapkan teori bahwa suatu kejadian yang akan datang bergantung pada keadaan saat ini dan bukan pada kejadian masa lalu.
Berdasarkan teori yang diungkapkan oleh Markov. Dengan kata lain, rantai Markov merupakan suatu teknik yang terdapat di dalam ilmu probabilitas yang bisa
digunakan untuk menganalisis pergerakan suatu probabilitas dari suatu keadaan ke keadaan lainnya.
2.4.1 Definisi
Rantai markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas yang lebih umum dikenal dengan proses stokastik. Rantai Markov merupakan proses
stokastik dari variabel-variabel acak
. .
. 3,
2, 1,
, ,
t
X
t
yang membentuk suatu deret dan memenuhi sifat Markov.
2.4.2 Sifat Markov
Misalkan proses stokastik
. .
. 2,
1, ,
,
t X
t
mempunyai keadaan berupa himpunan berhingga atau himpunan terbilang. Secara umum ruang keadaan ini dapat dinotasikan
sebagai himpunan
. .
. 2,
1, ,
. Jika pada waktu t proses tersebut berada di keadaan i , maka kejadian ini dituliskan sebagai
i X
t
. Proses stokastik disebut rantai Markov jika untuk tiap
. .
. 2,
1, ,
t
, berlaku:
i X
j X
P i
X i
X i
X j
X P
t t
t t
t t
t
1 1
1 1
., .
. ,
, 2.12
Untuk setiap ,
, .,
. .
,
1
j i
i i
t
dan untuk setiap
n . Persamaa 2.12 disebut sifat
Markov.
2.4.3 Matriks Probabilitas Transisi
Probabilitas
i X
j X
P P
t t
ij
1
disebut sebagai probabilitas transisi. Probabilitas transisi menyatakan probabilias bersyarat conditional probability dari sistem yang
berada dalam i pada saat t jika diketahui bahwa sistem ini berada dalam j pada saat 1
t
. Misalkan proses stokastik
. .
. 1,
, ,
t
X
t
adalah suatu rantai Markov. Matriks probabilitas transisi satu langkah dari
. .
. 1,
, ,
t
X
t
, dinotasikan dengan P , adalah suatu matriks dengan elemen ke
j i,
nya adalah
ij
p . Jadi,
ij i
i i
j j
p p
p p
p p
p p
p p
p p
P
2 1
1 12
11 10
02 01
00
Elemen-elemen dari matriks P bernilai tak negatif
, untuk
,
j
i p
ij
dan jumlah elemen-elemen pada satu baris di matriks probabilitas transisi ini haruslah sama dengan satu
0
. .
. 2,
1, ,
, 1
j ij
i p
. Matriks transisi ini digunakan dalam menganalisis kelakuan rantai markov dalam beberapa langkah ke depan dan juga
setelah proses berjalan lama.
2.4.4 Persamaan Chapman-Kolmogorov
Misalkan
t ij
P menyatakan probabiltas proses pada keadaan ke i akan berada pada
keadaan j setelah proses mengalami t transisi. Jadi,
t ij
P dapat dituliskan
, ,
,
j i
t i
X j
X P
P
t m
t t
ij
2.13
dapat dilihat bahwa
ij ij
P P
1
. Selanjutnya, dengan menggunakan law of total probability, untuk semua
,
m t
, dan semua ,
j
i ,
m t
ij
P
=
i X
j X
P
t m
t
=
,
k t
t m
t
i X
k X
P i
X k
X j
X P
=
0
k t
ik m
kj
P P
2.14
persamaan 2.14 dikenal dengan persamaan Chapman-Kolmogorov, akan memberikan suatu metode untuk mengitung peluang transisi dalam t langkah.
Misalkan
t
P adalah matriks dengan elemen-elemennya merupakan probabilitas transisi dalam t
t ij
P . Dari persamaan 2.14 diperoleh
t t
t t
t
P P
P P
P P
P P
1 1
2 1
1 1
1
2.15 dengan kata lain, matriks probabilitas transisi dalam t langkah dapat diperoleh dengan
mengalikan matriks probabilitas transisi satu langkah P sebanyak t kali. Suatu rantai Markov yang pada awalnya berada pada keadaan i setelah satu transisi
akan berada pada keadaan j yang diberikan oleh suku
j i,
dari matriks P . Secara umum, jika didefinisikan vektor baris
. .
. ,
,
2 1
, dengan
i
menyatakan probabilitas rantai Markov berada si keadaan i pada permulaan proses sehingga
probabilitas setelah satu transisi rantai Markov tersebut berada di keadaan j dengan notasi
1 j
diberikan oleh
1 k
ki k
j
P
,
. .
. 1,
,
i
definisikan
. .
. ,
,
2 1
t t
t
,
. .
. 2,
, 1
t
Sebagai vektor distribusi probabilitas dari keadaan rantai Markov setelah t transisi. Dengan menggunakan persamaan Chapman-Kolmogorov di atas, diperoleh
t t
P
2.16
BAB 3 PEMBAHASAN
3.1 Teori Pengambilan Keputusan
M. Iqbal Hasan 2004, hal: 9 mengatakan bahwa keputusan merupakan suatu pemecahan masalah sebagai suatu hukum yang dilakukan melalui pemilihan satu
alternatif dari beberapa alternatif. P. Siagian 1987, hal: 317 menyatakan bahwa keputusan ialah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan yang
terbaik dari sejumlah alternatif yang ada. Mengambil atau membuat keputusan adalah suatu proses yang dilaksanakan
orang berdasarkan pengetahuan dan informasi yang ada padanya pada saat tersebut, dengan pengharapan bahwa sesuatu akan terjadi Kuntoro Mangkusubroto et al,
1987. P. Siagian 1987, hal: 317 mengatakan bahwa pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang diperlukan guna
membuktikan dan memperlihatkan pilihan terbaik. M. Iqbal Hasan 2004, hal: 10 menyatakan bahwa pengambilan keputusan merupakan suatu proses pemilihan
alternatif terbaik dari beberapa alternatif secara sistematis untuk ditindaklanjuti atau digunakan sebagai suatu cara pemecahan masalah.
3.1.1 Fungsi Pengambilan Keputusan
Pengambilan keputusan sebagai suatu kelanjutan dari cara pemecahan masalah memiliki fungsi antara lain sebagai berikut :
