Kasus Homoskedastik Contoh Aplikasi

56 Dengan notasi matriks, persamaan 4.26 dapat dinyatakan dengan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n i n n i i n i X X X X X X Y Y Y ε ε ε β β β M M M M M M M M M M 2 1 2 1 2 1 12 11 1 1 1 1 4.27 Y = X β + ε Masing-masing kasus baik homoskedastik dan heteroskedastik akan diterapkan pada model regresi linier. Kesalahan random diasumsikan independen dan identik berdistribusi tidak diketahui. Metode CRLB dan konsep statistik cukup dapat digunakan untuk mencari estimator tak bias dan mempunyai variansi minimum jika fungsi kepadatan probabilitas fkp diketahui. Namun karena kesalahan random diasumsikan distribusinya tidak diketahui, maka fkp tidak diketahui. Oleh karena itu, kedua metode tersebut tidak dapat digunakan, maka digunakan BLUE untuk mencari estimator yang tak bias dan mempunyai variansi minimum.

4.5.1 Kasus Homoskedastik

Berdasarkan persamaan 4.27 asumsi kesalahan random pada model regresi linier untuk kasus homoskedastik adalah : 1. = ε E 2. I E Cov T 2 σ εε ε = = Dari pembahasan diperoleh estimator β ˆ untuk model linier pada kasus homoskedastik adalah 4.28 Y X X X T T 1 ˆ − = β 57 Berdasarkan pada persamaan 4.28, maka dapat dihitung matriks sebagai berikut ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 2 1 12 11 2 2 12 1 1 11 1 1 1 1 1 1 n n i i n i n i T X X X X X X X X X X X X X X M M M M M M L L L L L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = n n i i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i i X X X X X X X X X X n 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 − = = = = = = = = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n n i i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i T i X X X X X X X X X X n X X ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i i n i n i n i T Y X Y X Y Y Y Y X X X X X X Y X 1 2 1 1 1 1 2 2 12 1 1 11 1 1 1 M M L L L L L L Persamaan 4.28 dibuktikan apakah mempunyai sifat BLUE. Estimator tersebut diuji apakah memenuhi kriteria yang telah diberikan.

1. Estimator Linier

58 Estimator Y X X X T T 1 ˆ − = β merupakan estimator yang linier terhadap observasi Y. Dengan menghasilkan bahwa T T X X X L 1 − = , maka syarat linier untuk persamaan 4. 26 terpenuhi.

2. Tak Bias Menurut lemma 4.1 syarat tak bias adalah L X = I, sehingga

I X X X X T T = − 1 atau β β β = = = − − X X X X Y X X X E T T T T 1 1 ˆ . Jadi ˆ β merupakan estimator tak bias dari β. 3. Terbaik Syarat terbaik yaitu estimator bersifat tak bias dan mempunyai variansi minimum. Sebelumnya akan dihitung variansi dari ˆ β . Variansi dari ˆ β merupakan vektor diagonal dari matriks kovariansi ˆ β . Persamaan 4.18 memberikan kovariansi ˆ β , yaitu 1 2 − X X T σ . ˆ β Cov dibuktikan mempunyai variansi minimum dari semua estimator linier tak bias yang lain. Misalkan ˆ β estimator linier tak bias lain dari β. Oleh karena estimator linier, maka dapat dimisalkan bentuknya sebagai [ ] Y U X X X T T + = − 1 ˆ β Dengan U suatu matriks konstanta sebarang. Langkah selanjutnya mencari kovariansi dari ˆ β . 59 [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 1 1 1 ˆ − − − − + + = + + = X X X U I U X X X U X X X Y Cov U X X X Cov T T T T T T T T T σ β Karena syarat tak bias, maka T T U X UX = = 0 . Persamaan di atas menjadi [ ] T T T UU Cov UU X X Cov 2 1 2 ˆ ˆ σ β σ β + = + = − ∗ Matriks T UU adalah definit positif, karena semua diagonalnya berbentuk kuadrat. Jadi terbukti bahwa variansi dari setiap unsur dari vektor ∗ β ˆ selalu lebih besar atau paling kecil sama dengan variansi unsur ˆ β yang sesuai. Berdasarkan bukti di atas, ketiga kriteria telah dipenuhi, maka Y X X X T T 1 ˆ − = β dengan formulasi matriks yang diberikan merupakan estimator linier tak bias terbaik BLUE.

4.5.2 Kasus Heteroskedastik