Kasus Homoskedastik Metode pengali Lagrange

47

4.4.2 Metode pengali Lagrange

Metode pengali Lagrange digunakan untuk optimasi, dalam kasus ini mencari L yang dapat meminimumkan variansi θ ˆ . Meminimumkan variansi θ ˆ berarti meminimumkan variansi i θ ˆ untuk i = 1, 2, ..., p. Syarat tak bias menjadi kendala dalam meminimumkan variansi i θ ˆ . Jadi ada proses minimisasi sebanyak p dan masing-masing proses minimisasi mempunyai p kendala.

4.4.2.1 Kasus Homoskedastik

Meminimumkan j T i i Ia a Var 2 ˆ σ θ = , dengan kendala ik k T i X a δ = i, k = 1, 2, ...,p. Untuk k X = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 1 2 1 1 k n k k X X X M merupakan vektor konstanta berukuran n x 1. ik δ didefinisikan sebagai ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = k i k i ik , 1 , δ Fungsi Lagrange dari proses minimisasi tersebut dapat dituliskan 1 2 ik k T i n k i k i T i X a a J a δ σ λ − + = ∑ = Dengan λ i k adalah pengali tak tentu Lagrange. Hasil turunan pertama dari i J terhadap i a adalah 48 4.10 k p k i k i i i X a a J ∑ = + = ∂ ∂ 1 2 2 λ σ Misalkan i λ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ λ 2 1 i p i i M merupakan vektor Lagrange berukuran p x 1 dan [ ] p X X X X L 2 1 = merupakan matriks berukuran n x p, maka persamaan 4.10 dapat dinyatakan sebagai i i i i X a a J λ σ + = ∂ ∂ 2 2 Syarat perlu untuk meminimumkan Var i θ ˆ adalah 4.11 1. 0 = ∂ ∂ i i a J , sehingga i i X a λ σ 2 2 1 − = 4.12 2. = − = ∂ ∂ ik k T i i k i X J a δ λ , sehingga ik k T i X a δ = Persamaan 4.12 dapat dituliskan dalam bentuk kombinasi sebagai berikut i T p T j T j T i T a x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − M M 1 1 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 M M 49 4.13 i i T e a X = Dengan T X = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ x x x T p T T M 2 1 merupakan matriks berukuran p x n, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = jn j j i a a a a M 2 1 merupakan vektor berukuran n x 1, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 M M j e merupakan vektor berukuran p x 1dengan elemen ke- i = 1. Hasil substitusi persamaan 4.11 ke persamaan 4.13 adalah 4.14 i i T e X X = − λ σ 2 2 1 Berdasarkan persamaan 4.14, maka diperoleh vektor pengali tak tentu Lagrange yaitu 4.15 i T i e X X 1 2 2 1 − = − λ σ Hasil substitusi persamaan 4.14 ke persamaan 4.11 adalah 50 4.16 i T i e X X X a 1 − = Misalkan matriks L = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ pn p p n n a a a a a a a a a L M O M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 dinyatakan sebagai ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a a a T p T T L M 2 1 dan estimator θ ˆ untuk kasus homoskedastik dituliskan dengan ˆ θ , sehingga vektor ˆ θ dapat dituliskan sebagai berikut ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − Y X X X Y X X X Y X X X Y Y Y T T T p T T T T T T T p T T e e e a a a 1 1 2 1 1 2 1 ˆ M M θ 4.17 Y X X X e e e T T T p T T 1 2 1 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M Matriks I = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 2 1 L M O M M L L M T p T T e e e merupakan matriks identitas berukuran p x p, maka persamaan 4.17 menjadi Y X X X T T 1 ˆ − = θ 51

4.4.2.2 Kasus Heteroskedastik