47
4.4.2 Metode pengali Lagrange
Metode pengali Lagrange digunakan untuk optimasi, dalam kasus ini
mencari L yang dapat meminimumkan variansi
θ
ˆ
. Meminimumkan variansi
θ
ˆ
berarti meminimumkan variansi
i
θ
ˆ
untuk i = 1, 2, ..., p. Syarat tak bias menjadi kendala dalam meminimumkan variansi
i
θ
ˆ
. Jadi ada proses minimisasi sebanyak p dan masing-masing proses minimisasi mempunyai p kendala.
4.4.2.1 Kasus Homoskedastik
Meminimumkan
j T
i i
Ia a
Var
2
ˆ
σ θ
= ,
dengan kendala
ik k
T i
X a
δ
=
i, k = 1, 2, ...,p.
Untuk
k
X
= ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
−
1 1
2 1
1
k n
k k
X X
X
M merupakan vektor konstanta berukuran n x 1.
ik
δ
didefinisikan sebagai
⎩ ⎨
⎧ =
≠ =
k i
k i
ik
, 1
,
δ
Fungsi Lagrange dari proses minimisasi tersebut dapat dituliskan
1 2
ik k
T i
n k
i k
i T
i
X a
a J
a
δ σ
λ
− +
=
∑
=
Dengan
λ
i k
adalah pengali tak tentu Lagrange. Hasil turunan pertama dari
i
J
terhadap
i
a
adalah
48
4.10
k p
k i
k i
i i
X a
a J
∑
=
+ =
∂ ∂
1 2
2
λ
σ
Misalkan
i
λ
=
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
λ λ
λ
2 1
i p
i i
M
merupakan vektor Lagrange berukuran p x 1 dan
[ ]
p
X X
X X
L
2 1
=
merupakan matriks berukuran n x p, maka persamaan 4.10 dapat dinyatakan sebagai
i i
i i
X a
a J
λ σ
+ =
∂ ∂
2
2
Syarat perlu untuk meminimumkan Var
i
θ
ˆ
adalah 4.11
1. 0 =
∂ ∂
i i
a J
, sehingga
i i
X a
λ σ
2
2 1
− =
4.12 2.
= −
= ∂
∂
ik k
T i
i k
i
X J
a
δ
λ
, sehingga
ik k
T i
X
a
δ
=
Persamaan 4.12 dapat dituliskan dalam bentuk kombinasi sebagai berikut
i
T p
T j
T j
T i
T
a
x x
x x
x
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
+ −
M M
1 1
1
=
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
1 M
M
49
4.13
i i
T
e a
X =
Dengan
T
X
=
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
x x
x
T p
T T
M
2 1
merupakan matriks berukuran p x n,
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
=
jn j
j i
a a
a a
M
2 1
merupakan vektor berukuran n x 1,
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
= 1
M M
j
e merupakan vektor berukuran p x 1dengan elemen ke- i = 1.
Hasil substitusi persamaan 4.11 ke persamaan 4.13 adalah 4.14
i i
T
e X
X =
− λ
σ
2
2 1
Berdasarkan persamaan 4.14, maka diperoleh vektor pengali tak tentu Lagrange yaitu
4.15
i T
i
e X
X
1 2
2 1
−
= −
λ σ
Hasil substitusi persamaan 4.14 ke persamaan 4.11 adalah
50
4.16
i T
i
e X
X X
a
1 −
=
Misalkan matriks L =
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
pn p
p n
n
a a
a a
a a
a a
a
L M
O M
M L
L
2 1
2 22
21 1
12 11
dinyatakan sebagai
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
a a
a
T p
T T
L M
2 1
dan estimator
θ
ˆ
untuk kasus homoskedastik dituliskan dengan
ˆ
θ
,
sehingga vektor
ˆ
θ
dapat dituliskan sebagai berikut
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
= ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
− −
−
Y X
X X
Y X
X X
Y X
X X
Y Y
Y
T T
T p
T T
T T
T T
T p
T T
e e
e
a a
a
1 1
2 1
1 2
1
ˆ M
M
θ
4.17
Y X
X X
e e
e
T T
T p
T T
1 2
1 −
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
= M
Matriks I =
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
= ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
1 1
1
2 1
L M
O M
M L
L M
T p
T T
e e
e
merupakan matriks
identitas berukuran p x p, maka persamaan 4.17 menjadi
Y X
X X
T T
1
ˆ
−
=
θ
51
4.4.2.2 Kasus Heteroskedastik