Estimator Linier Estimator Tak Bias

38 2. ε independen dan terdistribusi identik dengan Eε = 0 dan Covε = σ² I I merupakan matriks identitas berukuran n x n

4.1.2 Model Linier Pada Kasus Heteroskedastik

Model linier dikatakan mempunyai sifat heteroskedastik jika homogenitas variansi kesalahan random tidak dipenuhi. Model liner pada kasus heteroskedastik sama seperti persamaan 4. 1 tetapi asumsi-asumsi pada model berbeda. Asumsi model linier pada kasus heteroskedastik : 1. EY = X θ 2. ε independen dan terdistribusi identik dengan Eε = 0 dan Covε = σ² C C merupakan matriks definit positif yang diketahui berukuran n x n

4.2 Estimator Linier

Menurut Kay 1992 : 163, estimator dikatakan linier jika estimator tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari n i Y Y Y , , , , 1 L L . Misalkan a = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n a a a M 2 1 merupakan vektor berukuran n x 1. jika θ ˆ merupakan parameter yang berbentuk skalar, maka θ ˆ dapat dinyatakan dengan j n j j Y a ∑ = = 1 ˆ θ 39 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n n Y Y Y a a a M L 2 1 2 1 ˆ θ = Y a T Dengan Y = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n Y Y Y M 2 1 merupakan vektor berukuran n x 1. Jika parameter yang akan diestimasi sebanyak p, yaitu parameter yang berbentuk vektor berukuran p x 1, maka untuk setiap estimator linier dapat dituliskan dengan 4.2 ∑ = = n j j ij i Y a 1 ˆ θ dengan i = 1, 2, ..., p [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n in i i Y Y Y a a a M L 2 1 2 1 = Y a T I Dengan i a = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ in i i a a a M 2 1 merupakan vektor berukuran n x 1 40 Estimator i θ ˆ untuk i = 1, 2, ..., p dapat dinyatakan dalam bentuk vektor dengan ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ ∑ ∑ = = = n j j pj n j j j n j j ij p Y a Y a Y a 1 1 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ M M θ θ θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ p θ θ θ ˆ ˆ ˆ 2 1 M = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + + n pn p p n n n n Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a Y a L M L L 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ p θ θ θ ˆ ˆ ˆ 2 1 M = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n pn p p n n Y Y Y a a a a a a a a a M L M O M M L L 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 θ ˆ = L Y Dengan θ ˆ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ p θ θ θ ˆ ˆ ˆ 2 1 M merupakan vektor parameter berukuran p x 1. 41 L = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ pn p p n n a a a a a a a a a L M O M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 merupakan matriks berukuran p x n. Pada kasus homoskedastik dan kasus heteroskedastik mempunyai bentuk estimator linier sama.

4.3 Estimator Tak Bias

Salah satu syarat BLUE adalah estimator harus tak bias. Estimator tak bias artinya harga harapan estimator dari suatu parameter sama dengan parameter yang diestimasi, sehingga dapat dinyatakan ke dalam persamaan berikut : 4.3 E θ θ − ˆ = 0 Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan tentang estimator linier. Jika syarat tak bias dikenakan pada estimator dalam bentuk vektor, maka diperoleh persamaan sebagai berikut : 4.4 E θ ˆ = E L Y = L E Y = θ Salah satu asumsi dari model linier pada kasus homoskedastik dan kasus heteroskedastik adalah E Y = X θ, sehingga dari persamaan 4.4 diperoleh 4.5 E θ ˆ = L X θ = θ Persamaan 4.5 memberikan suatu syarat cukup dan perlu untuk L agar θ ˆ tak bias. Lemma 4.1 42 Kesalahan random ε dalam model linier diasumsikan mempunyai mean nol atau E[ ε]=0. Estimator linier θ ˆ dikatakan tak bias jika L X = I, dengan I merupakan matriks identitas. Kay, 1993 Bukti : E θ θ − ˆ = E [ L Y – ] = E [ LX + ε – ] = E [ L X + L ε - ] = E [ L X – I + L ε ] = E [ L X – I ] + E [ L ε ] Diasumsikan bahwa E [ ε ] = 0, maka E [ L ε ] = L E [ ε ] = 0 E θ θ − ˆ = E [ L X – I ] = L X – I Jika dipenuhi LX – I = 0, maka E θ θ − ˆ = 0. jadi θ ˆ tak bias.

4.4 Estimator Terbaik