Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
4
2. Menaksir parameter pada model eksponensial dalam regresi nonlinier
dengan metode kuadrat terkecil 3.
Melakukan iterasi dengan iterasi jalan tengah Marquardt dan iterasi Gauss Newton.
4. Kedua iterasi dilakukan sampai hasilnya konvergen
5. Menyelesaikan contoh kasus dengan menggunakan metode Marquardt dan
metode Gauss Newton. 6.
Membandingkan penaksiran yang dilakukan melalui iterasi jalan tengah Marquardt dan iterasi Gauss Newton.
1.7 Tinjauan Pustaka
Draper and Smith, 1966 Secara umum model nonlinier dapat ditulis sebagai berikut:
ε θ
θ θ
ξ ξ
ξ
+ =
p k
f Y
, ,
, ;
, ,
,
2 1
2 1
Dengan
galat parameter
bebas peubah
respon peubah
Y
= =
= =
ε θ
ξ
Persamaan dapat diperingkas menjadi: ε
θ ξ
+ =
, f
Y Atau
θ ξ,
f y
E =
Jika diasumsikan bahwa =
ε E
dan diasumsikan galat-galatnya tidak berkorelasi, yang berarti
2
σ ε =
V Pada umumnya
2
, ~
σ ε N
yang berarti galat-galatnya berdistribusi normal serta saling bebas satu sama lain.
Bila n data amatannya berbentuk:
ku u
u u
Y ξ
ξ ξ
, ,
, ,
2 1
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
5
Untuk n
u ,
, 2
, 1
=
dapat dituliskan dalam bentuk alternatifnya
u u
f Y
ε θ
ξ +
= ,
Dengan
u
ε adalah galat ke n
u
, 2
, 1
= dapat diperingkas menjadi
u u
f Y
ε θ
ξ +
= ,
dengan
ku u
u u
ξ ξ
ξ ξ
, ,
,
2 1
=
Asumsi kenormalan dan kebebasan galat dapat dituliskan sebagai :
2
, ~
σ ε
I N
n
ε ε
ε ε
, ,
,
2 1
=
= Vektor nol I = Matriks Identitas
Dan keduanya berukuran sama Jumlah kuadrat galat untuk model nonlinier didefenisikan sebagai:
{ }
∑
=
− =
n u
u u
f Y
S
1 2
, θ
ξ θ
Gallant, 1942 Atau
{ }
2 1
,
∑
=
− =
n u
u u
f Y
SSE θ
ξ θ
Steven C Chapra
Terdapat banyak kasus dalam rekayasa dimana model-model taklinear harus dicocokkan pada data. Dalam konteks yang sekarang model-model ini
didefenisikan sebagai model yang mempunyai ketergantungan taklinier pada parameter-parameternya.
Misalnya:
x a
e a
x f
1
1
−
− =
Tidak terdapat cara untuk memanipulasi persamaan ini sehingga sesuai dengan bentuk umum persamaan:
e z
a z
a z
a z
a y
n m
+ +
+ +
+ =
2 2
1 1
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
6
Mohammad Ehsanul Karim Metode Gauss Newton atau yang sering disebut metode linearisasi menggunakan
expansi deret Taylor untuk menghampiri model regresi nonlinier menjadi bentuk linier dan menggunakan kuadrat terkecil untuk menaksir parameter. Misalkan
modelnya berbentuk
u u
f Y
ε θ
ξ + =
, dan
p
θ θ
θ ,
, ,
20 10
adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter
p
θ θ
θ
, ,
2 1
Nilai-nilai awal itu mungkin merupakan dugaan kasar belaka atau mungkin pula merupakan nilai-nilai dugaan awal bersasarkan informasi yang tersedia. Nilai-
nolai awal itu diharapka n akan diperbaiki dalam proses iterasi.
Sanjoyo,2006 Metode Jalan Tengah Marquardt mengaplikasikan metode iterasi seperti halnya
pada Metode Gauss Newton yaitu bertujuan menghasilkan jumlah kuadrat galat yang paling minimum.
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
7
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
