Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
18
Misalnya, dengan notasi yang sudah jelas maksudnya, maka taksiran bagi
2 1
, ,
,
p
β β
β β
=
diberikan oleh
1
f Y
Z Z
Z b
− =
−
dengan demikian vektor
o
b akan meminimumkan jumlah kuadrat galat.
3.2 Jumlah Kuadrat Galat Sum Square Error
Penaksiran Kuadrat terkecil dari θ adalah meminimumkan jumlah kudrat galat
dari parameter θ yaitu
θˆ, didefenisikan sebagai:
{ }
2 1
,
∑
=
− =
n i
i
f Y
S θ
ξ θ
Untuk menghitung jumlah kuadrat galat dapat juga dilakukan dengan menggunakan matrik sebagai berikut:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
n
Y Y
Y Y
f f
f f
f Y
f Y
S ,
, ,
, ,
, ,
, ,
2 1
1
= =
− −
=
θ ξ
θ ξ
θ ξ
θ θ
θ θ
Untuk menemukan nilai dugaan kuadrat terkecil θˆ, persamaan
[ ]
[ ]
θ θ
θ f
Y f
Y S
− −
= dideferensialkan terhadap
θ dan akan menghasilkan
p
persamaan normal. Persamaan normal itu berbentuk:
θ θ
θ θ
θ θ
ξ θ
ξ θ
θ ξ
ˆ 1
ˆ 1
, ,
,
= =
= =
∂ ∂
−
∂
∂
∑ ∑
i n
i i
n i
i
f f
f Y
Dan selanjutnya dapat dilakukan penaksiran parameter model nonlinier dengan menggunakan kuadrat terkecil dan melakukan pengiterasian dengan menggunakan
iterasi Gauss Newton dan iterasi jalan tengah Marquardt.
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
19
3.3 Algoritma Marquardt Compromise
Menentukan nilai awal yaitu
1 1
, ,
,
− p
θ θ
θ
dan didalam pengiterasiannya notasi awal berubah menjadi
1 1
, ,
,
− p
g g
g
. Selanjutnya menyelesaiakan persamaaan normal dari suatu model regresi nonlinier yang akan ditaksir, dan kemudian
menentukan nilai perkalian skalar dinotasikan dengan λ dengan
1 ≤
λ dan
matriks identitas
I
. Iterasi pada metode ini akan berhenti pada saat nilai iterasi tersebut sudah konvergen.
Persamaan iterasi ditulis sebagai berikut :
θ θ
θ θ
λ θ
θ θ
θ
ˆ 1
1
ˆ
= −
+
∂ ∂
+ −
= S
I D
D t
k n
n n
n n
n
Dan pada proses iterasi notasi parameter yang ditaksir akan menjadi
n
g n
k n
n n
n n
n
g g
S I
g D
g D
t g
g
∂
∂ +
− =
− +
1 1
λ
3.4 Algoritma Gauss Newton
Pada umumnya proses iterasi Gauss Newton dilakukan dengan langkah sebagai berikut:
1 Dianggap
ˆ θ sebagai estimasi awal untuk θ
2 Hitung
i i
b +
=
+ 1
ˆ ˆ
θ θ
3 Nilai
1
ˆ
+ i
θ digunakan sebagai nilai untuk menghampiri model linier 4
Kemudian kembali lagi ke langkah pertama dan menghitung nilai
b
untuk setiap iterasi, nila
b
yang baru ditambahkan kepada penaksiran yang didapat dari iterasi sebelummya.
5 Iterasi dilanjutkan untuk melihat apakah hasilnya konvergen atau tidak.
Sridewi Nainggolan : Perbandingan Metode Marquardt Compromise Dan Metode Gauss Newton Dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinier, 2010.
20
3.5 Penyelesaian Contoh
