Langkah langkah pembuatan ini dapat diulangi sampai diperoleh sebuah lintasan dengan n-1 edge.
2.1.8 Matriks dan Graf
Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. Jika A adalah matriks m x n, maka
notasi matriksnya dapat ditulis sbb:
=
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a A
2 1
2 22
21 1
12 11
Definisi 2.8 Suatu matriks A berorde n x n disebut simetris jika
T
A = A. Berikut adalah contoh matriks simetris:
3 5
4 5
1 3
4 3
2
;
− −
− 3
2 2
2 1
1 2
1
Definisi 2.9 Transpos dari suatu matriks A berorde m x n adalah matriks B berorde m x n yang
didefinisikan oleh:
ij ji
a b
=
Untuk j = 1,2, … ,n dan I = 1,2, …,m.Transpos dari suatu matriks A dinyatakan oleh
T
A .
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
Jika
=
6 5
4 3
2 1
A maka
= 6
3 5
2 4
1
T
A
Matriks-matriks yang dapat menyajikan model graf tersebut antara lain : • Matriks Sekawan Incidence
• Matriks Kedampingan Adjacency
Sebagai contoh, untuk graf seperti di bawah ini
Matriks Adjacency
Gambar 2.13.Graf V4
V5
V2 V3
V1 e6
e5 e4
e3 e2
e1 e8
e7
V1 V2
V3 V4
V5 V1
1 1
1 1
V2 1
1 V3
1 1
1 1
V4 1
1 1
V5 1
1 1
Universitas Sumatera Utara
Matriks Incidence :
Teorema 2.4 Jika A adalah matriks kedampingan dari sebuah graf sederhana, entri ke-ij dari
n
A sama dengan banyaknya lintasan dengan panjang n untuk verteks j, n=1,2,…
Bukti Dengan menggunakan induksi, pada kasus n=1,
1
A adalah A. Entri ke-ij adalah 1 jika terdapat sebuah edge dari I ke j, yang merupakan sebuah lintasan dengan panjang 1,
dan 0 jika tidak terdapat edge. Sehingga teorema tersebut benar untuk kasus n =1.Langkah dasar telah terbukti.
Asumsikan bahwa teorema tersebut benar untuk n, maka A
A A
n n
=
+1
Sehingga entri ke-I dalam
1 +
n
A diperoleh dengan saling mengalikan unsur unsur pada
baris ke-I dari
n
A dengan unsur unsur pada kolom ke-k dari A dan menjumlahkannya.
e1 e2
e3 e4
e5 e6
e7 e8
V1 1
1 1
1 V2
1 1
V3 1
1 1
1 V4
1 1
1 V5
1 1
1
Universitas Sumatera Utara
Kolom ke-k dari A
Baris ke-i dari
m j
m j
n
t t
t t
s s
s s
A
2 1
2 1
,..., ,...,
,
=
m m
j j
t s
t s
t s
t s
+ +
+ +
+ ...
...
2 2
1 1
=entri ke-ik dalam
1 +
n
A
Menurut induksi,
j
s
menyatakan banyaknya lintasan dengan panjang n dari I ke j dalam graf G. Maka
j
t
dapat 0 atau 1. Jika
j
t
adalah 0, maka tidak terdapat edge dari j ke k, sehingga terdapat
=
j j
t s
lintasan dengan panjang n+1 dari i ke k, dimana edge terakhirnya adalah j,k. Jika
j
t
adalah 1, maka terdapat sebuah edge dari verteks j ke verteks k lihat gambar. Karena terdapat
j
s
lintasan dengan panjang n dari verteks i ke verteks j, maka terdapat
j j
j
s t
s =
lintasan dengan panjang n+1 dari i ke k, yang edge terakhirnya adalah j,k lihat gambar.
i j
k
Gambar 2.14 Lintasan i ke k
Universitas Sumatera Utara
Dengan menjumlahkan semua j, maka akan dihitung semua lintasan dengan panjang n+1 dari I ke k.ehingga entri ke-i dalam
1 +
n
A menyatakan banyaknya lintasan dengan
panjang n+1 dari i ke k sehingga langkah induktif terbukti. Menurut Prinsip induksi matematika, teorema tersebut berlaku.
2.1.9 Graf Planar
Kategori