didapatkan berturut-turut adalah n-3, n-4,…, 3,2,1.Jadi secara keseluruhan terdapat n-1 + n-2 +…+ 2 + 1 =
2 1
− n
n
buah.
Definisi 2.3 Suatu graf G disebut bipartite dwi pihak apabila V G merupakan gabungan dari 2
himpunan tak kosong
2 1
v dan
v dan setiap garis dalam G menghubungkan suatu titik
dalam
1
v dengan titik dalam
2
v . Apabila dalam graf bipartite setiap verteks dalam
1
v berhubungan dengan setiap verteks dalam
2
v , maka grafnya disebut graf bipartite lengkapsimbol
n m
k
,
.
Gambar 2.4 Graf bipartite
2.1.3 Komplemen Graf
Komplemen suatu graf G simbol G dengan n verteks adalah suatu graf sederhana dengan
a. Verteks-verteks G sama dengan verteks-verteks G. Jadi V G = VG b. Edge G adalah komplemen verteks-verteks G terhadp graf lengkapnya
n
K .
G E
K E
G E
n
− =
Universitas Sumatera Utara
Verteks-verteks yang dihubungkan dengan edge dalam G tidak terhubung dalam G .Sebaliknya, verteks- verteks yang terhubung dalam G menjadi tidak terhubung
dalam G .
Contoh : Gambarlah G dari graf berikut ini.
b a
c d
e
Gambar 2.5.Graf G
Pada gambar diatas verteks-verteks yang tidak dihubungkan dengan edge dalam G adalah edge dengan titik ujung {a,d},{a,e},{b,c},dan {b,e}.Sehingga G sbb:
Universitas Sumatera Utara
a b
c d
e
Gambar 2.6 Graf G 2.1.4.Graf BerlabelBerbobot
Graf berlabel berbobot adalah graf yang setiap ruasnya mempunyai nilaibobot berupa bilangan non negatif.Dalam graf berbobot bisa dipakai graf berarah maupun
graf tidak berarah.
Contoh :
Gambar 2.7.Graf Berbobot 2.1.5 Subgraf
Definisi 2.4 Misalkan G V,E adalah suatu graf.Graf G‘V‘, E‘ adalah Subgraf bila dan hanya
bila:
B D
F
C G
E H
A 3
19 8
13 3
3 4
2 2
2 12
6
3
Universitas Sumatera Utara
a. V
⊆ V b.
E ⊆ E
c. Setiap edge dalam H memiliki verteks ujung yang sama dengan edge tersebut dalam G.
Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka G‘ adalah Subgraf yang dibentuk oleh V‘
Contoh
Gambar 2.8 Subgraf Spanning Subgraph
e
e e
e
e C
D A
B
G
e e
A B
D
G’ :
G’ subgraf dari G
e
e e
A B
D
G’ :
G’ spanning subgrapf dari
Universitas Sumatera Utara
2.1.6 Lintasan dan Sirkuit
Definisi 2.5 Misalkan
v dan
n
v adalah verteks-verteks dalam sebuah graf. Sebuah lintasan dari v
ke
n
v dengan panjang n adalah sebuah barisan berselang seling dari
1 +
n
verteks n dan n edge yang berawal dengan verteks
v dan berakhir dengan verteks
n
v , ,
, ,
,... ,
, ,
,
1 2
2 1
1 n
n n
v e
v v
e v
e v
−
dengan edge
1
e insiden pada verteks
i i
v dan
v
1 −
untuk I = 1,2, …,n.
Teorema 2.2 Di dalam suatu graf baik berarah maupun tidak berarah dengan n verteks , jika ada
suatu lintasan dari verteks
1
v ke verteks
2
v , maka ada suatu lintasan dengan tidak lebih dari n-1 rusuk dari verteks
1
v ke verteks
2
v .
Bukti: Misalkan ada suatu lintasan dari
1
v ke
2
v . Misalkan pula
1
v , … ,
i
v , …,
2
v adalah barisan verteks yang ditemui lintasan itu ketika ditelusuri dari
1
v dan
2
v . Jika ada
l
buah edge dalam lintasan itu , maka ada
l
+1 verteks di dalam barisan verteks tersebut. Agar
l
lebih besar daripada n-1, harus ada verteks
k
v yang muncul lebih dari sekali di dalam barisan itu. Dengan kata lain, barisan verteks itu mempunyai bentuk umum
1
v , … ,
,...
k
v ,
,...
k
v ,
2
v . Jika edge di dalam lintasan yang membawa
k
v kembali ke
k
v itu dibuang, maka akan diperoleh suatu lintasan dari
1
v ke
2
v yang memiliki lebih sedikit rusuk daripada jumlah rusuk semula.Argumentasi dapat diulang sampai ada
lintasan dengan n-1 edge atau lebih sedikit lagi.
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2.6 Sebuah graf dikatakan tersambung conected jika diketahui sembarang verteks v dan
w di G, maka terdapat sebuah lintasan dari v ke w.
a b
Gambar 2.9 Graf terhubung dan Graf tidak terhubung
Definisi 2.7 Misalkan
v dan
n
v adalah verteks-verteks dalam sebuah graf. Sebuah sirkuit dari v
ke
n
v dengan panjang n adalah sebuah barisan berselang seling dari
1 +
n
verteks n dan n edge yang berawal dengan verteks
v dan berakhir dengan verteks
n
v ,lalu kembali lagi ke
v ,
, ,
, ,
,... ,
, ,
,
1 2
2 1
1
v e
v e
v v
e v
e v
n n
n −
dengan edge
1
e insiden pada verteks
i i
v dan
v
1 −
untuk I = 1,2, …,n.
Lintasan dan Sirkuit Hamilton
Lintasan Hamilton Sirkuit Hamilton didefinisikan sebagai suatu lintasan rangkaian yang melalui setiap verteks tepat satu kali. Sir Wiliam Hamilton menciptakan
permainan “all around the world”. Di dalam permainan ini pemain diharuskan
Universitas Sumatera Utara
mencari rute pada dodecahedron yang melalui setiap titik sudut sekali dan hanya sekali.
Gambar 2.10 Dodecahedron
Teorema 2.3 Misalkan G sebuah graf linear dengan n verteks.Jika jumlah derajat semua pasangan
verteks di dalam G lebih kecil atau sama dengan n-1, maka ada lintasan Hamilton di dalam G.
Bukti: Pertama tama akan ditunjukkan bahwa G sebuah graf terhubung.Misalkan G
mempunyai dua atau lebih komponen yang tidak terhubungkan.Misalkan
1
v sebuah vertks di dalam satu komponen yang mempunyai
1
n verteks dan
2
v adalah sebuah verteks di dalam komponen lain yang mempunyai
2
n verteks. Karena derajat
1
v tidak lebih besar dari
1
n - 1 dan derajat
2
v tidak lebih dari
2
n -1, maka jumlah derajatnya
Universitas Sumatera Utara
tidak lebih dari
1
n
+ 2
n -2, yang masih lebih kecil dari n-1, dan ini berarti sebuah kontradiksi.
Sekarang akan ditunjukkan bagaimana lintasan Hamilton dapat dibuat setahap demi setahap , mulai dengan lintasan yang terdiri dari satu rusuk.Misalkan ada
lintasan dengan p-1 edge, p n, di dalam G yang bertemu dengan barisan verteks- verteks
..., ,
,
2 1
p
v v
v
.Jika
1
v atau
p
v
berdekatan dengan sebuah verteks yang tidak berada pada lintasan ini, dengan mudah lintasan ini dapat diperluas agar mencakup
verteks tadi sehingga memperoleh lintasan dengan p edge. Jika tidak demikian, berarti
1
v dan
p
v
keduanya hanya berdekatan dengan verteks verteks pada lintasan. Dalam hal demikian, akan ditunjukkan bahwa ada suatu rangkaian yang hanya mengandung
verteks verteks
p
v v
v ...,
, ,
2 1
. Jika
1
v berdekatan dengan
p
v
, maka sirkuit
, ...,
, ,
1 2
1
v v
v v
p
sudah mencukupi.
Lalu misalkan
1
v hanya berdekatan dengan
k
i i
i
v v
v ,
... ,
,
2 1
, dengan
1 2
− ≤
≤ p
i
j
. Jika
p
v
berdekatan dengan salah satu dari
, ,
,
1 1
1
2 1
− −
−
k
i i
i
v v
v
katakanlah dengan
1 −
j
v
maka sebagaimana ditunjukkan dalam gambar, sirkuit
1 1
3 2
1
, ,
..., ,
, ,
− −
p p
j
v v
v v
v v
,
1 ,
..., v
v
j
mengandung tepat verteks verteks
p
v v
v ...,
, ,
2 1
. Jika
p
v
tidak berdekatan dengan salah satu dari
, ,
,
1 1
1
2 1
− −
−
k
i i
i
v v
v
maka
p
v
berdekatan dengan tidak lebih dari
1 −
− k p
buah verteks.Akibatnya, jumlah derajat
1
v dan
p
v
tidak lebih dari n-2, suatu kontradiksi.
Universitas Sumatera Utara
v1 v2
v3 Vj-1
vj vp
Gambar 2.11 Lintasan
Kemudian ambil sebuah verteks
x
v yang tidak berada dalam rangkaian ini.Karena graf G terhubungkan , berarti ada verteks
k
v yang tidak berada pada rangkaian ini dengan sebuah edge antara
x
v dan
k
v untuk suatu verteks tertentu di dalam
p
v v
v ...,
, ,
2 1
, sebagaimana ditunjukkan dalam gambar. Sekarang telah diperoleh lintasan
1 1
1
, ,
..., ,
, ,
− −
+ p
p j
k k
x
v v
v v
v v
,
,..., ,
...,
1 2
1 ,
− k
j
v v
v v
, yang mengandung p edge, sebagaimana ditunjukkan dalam gambar.
v1 v2
vx Vk-1
vk Vj-1
vj vp
v1 v2
vx Vk-1
vk Vj-1
vj vp
Gambar 2.12 Lintasan
1 1
1
, ,
..., ,
, ,
− −
+ p
p j
k k
x
v v
v v
v v
,
,..., ,
...,
1 2
1 ,
− k
j
v v
v v
Universitas Sumatera Utara
Langkah langkah pembuatan ini dapat diulangi sampai diperoleh sebuah lintasan dengan n-1 edge.
2.1.8 Matriks dan Graf
