BAB 3 PEMBAHASAN
3.1 Contoh Perjalanan Seorang Salesman Seorang salesman akan melakukan perjalanan dari kota a yang harus melalui
seluruh kota dan kembali lagi ke kota a.Artinya setelah salesman tersebut melalui seluruh kota ia harus kembali lagi ke kota awal keberangkatan yaitu kota a.Dimana
kota yang satu terhubung dengan kota yang lainnya.Adapun jarak kota-kota tersebut diberikan sbb satuan dalam km :
5 5
9 6
6 5
7 4
10 4
5 7
5 8
3 9
4 5
3 7
6 10
8 3
5 6
4 3
7 5
f e
d c
b a
f e
d c
b a
Kota
a
b
c
d e
f 5
7 3
4 6
3
8 10
6
5 4
9
7 5
5
Gambar 3.1 Graf Lengkap 6 Simpul
Universitas Sumatera Utara
Carilah jalur terpendek yang harus ditempuh salesman tersebut dengan menggunakan metode program dinamik.
Penyelesaian: Dari contoh soal dapat diketahui bahwa kota awal adalah kota a.Dari kota a, salesman
tersebut akan mencoba mendatangi kota selanjutnya yang terhubung dengan kota a.Dengan begitu, inilah yang menjadi tahap pertama.Setelah dari kota a kemungkinan
salesman tersebut sekarang berada di kota b, c , d , e , ataupun di kota f. Dari kota tersebut ia harus melanjutkan perjalanan kembali ke kota berikutnya dengan melewati
jalur yang ada.Maka inilah yang akan menjadi tahap kedua.Dan begitu seterusnya hingga semua kota dilewati dan kembali ke kota a.
Tahap I :
1 ,
,
i
c a
i f
=
, i= nama kota Maka didapat:
fb,a = 5 fc,a = 7
fd,a = 3 fe,a = 4
ff,a = 6 Tahap pertama ada 5 alternatif jalan yang dapat dilalui, dengan kota a sebagai
statusnya.
Universitas Sumatera Utara
Tahap II :
}} {
, {
min ,
j S
j f
c S
i f
ij S
j
− +
=
∈
untuk S = 1
Maka diperoleh:
fb,c = min
bc
C +fc,a = 3+7 = 10 fb,d = min
bd
C +fd,a = 8+3 = 11 fb,e = min
be
C +fe,a = 10+4 = 14 fb,f = min
bf
C
+ff,a = 6+6 = 12 fc,b =min
cb
C +fb,a = 3+5 = 8 fc,d = min
cd
C +fd,a = 5+3 = 8 fc,e = min
ce
C +fe,a = 4+4 = 8 fc,f = min
cf
C
+ff,a = 9+6 = 15 fd,b = min
db
C +fb,a = 8+5 = 13 fd,c = min
dc
C +fc,a = 5+7 =12 fd,e = min
de
C +fe,a = 7+4 =11 fd,f = min
df
C
+ff,a = 5+6 =11 fe,b = min
eb
C + fb,a = 10+5 =15 fe,c = min
ec
C +fc,a = 4+7 = 11
Universitas Sumatera Utara
fe,d = min
ed
C +fd,a = 3+4 = 7 fe,f = min
ef
C +ff,a = 5+6 = 11 ff,b = min
fb
C +fb,a = 6+5 = 11 ff,c = min
fc
C +fc,a = 9+7 = 16 ff,d = min
fd
C
+fd,a = 5+3 =8 ff,e = min
fe
C
+fe,a = 5+4 = 9 Tahap kedua ada 20 alternatif jalan yang dapat dilalui dengan kota b,c,d,e,f sebagai
statusnya.
Tahap III :
}} {
, {
min ,
j S
j f
c S
i f
ij S
j
− +
=
∈
untuk S = 2 dan i ≠ a, a ∉ S dan a ∉ S.
maka diperoleh: fb,{c,d} = min[
bc
C +fc,d ;
bd
C +fd,c] = min [3+11 ; 8+12] = 14
fb,{c,e} = min[
bc
C +fc,e ;
be
C +fe,c] = min [3+8 ; 10+11] = 11
fb,{c,f} = min [
bc
C +fc,f ;
bf
C
+ff,c] = min [3+15 ; 6+16] = 18
fb,{d,e} = min[
bd
C +fd,e ;
be
C +fe,d]
Universitas Sumatera Utara
= min [8+11 ; 10+7] = 17 fb,{d,f} = min [
bd
C +fd,f ;
bf
C
+ff,d] = min [8+11 ; 6+8] = 14
fb,{e,f} = min[
be
C +fe,f ;
bf
C +ff,e] = min [10+11 ; 6+9] = 15
fc,{b,d} = min[
cb
C +fb,d ;
cd
C +fd,b] = min [3+11 ; 5+13] = 14
fc,{b,e} = min[
cb
C +fb,e ;
ce
C +fe,b] = min [3+14 ; 4+15] = 17
fc,{b,f} = min[
cb
C +fb,f ;
cf
C
+ff,b] = min[3+12 ; 9+11] s= 15
fc,{d,e} = min[
cd
C +fd,e ;
ce
C +fe,d] = min[5+11 ; 4+7] = 11
fc,{d,f} = min[
cd
C +fd,f ;
cf
C
+ff,d] = min[5+11 ; 9+8] = 16
fc,{e,f} = min[
ce
C +fe,f ;
cf
C
+ff,e] = min[4+15 ; 9+9] = 18
fd,{b,c} = min[
db
C +fb,c ;
dc
C +fc,b] = min[ 8+10 ; 5+8] = 13
fd,{b,e} = min[
db
C +fb,e ;
de
C +fe,b] = min[8+14 ; 7+15] = 22
Universitas Sumatera Utara
fd,{b,f} = min[
db
C +fb,f ;
df
C +ff,b] = min[8+12 ; 5+11] = 16
fd,{c,e} = min[
dc
C +fc,e ;
de
C +fe,c] = min[5+8 ; 3+11] = 13
fd,{c,f} = min[
dc
C +fc,f ;
df
C
+ff,c] = min[5+15 ; 7+16] = 20
fd,{e,f} = min[
de
C +fe,f ;
df
C
+ff,e] = min[7+15 ; 5+9] = 14
fe,{b,c} = min[
eb
C +fb,c ;
ec
C +fc,b] = min[ 10+10 ; 4+8] = 12
fe,{b,d} = min[
eb
C +fb,d ;
ed
C +fd,b] = min[10+11 ; 7+13] = 20
fe,{b,f} = min[
eb
C +fb,f ;
ef
C
+ff,b] = min[10+12 ; 5+11] = 16
fe,{c,d} = min[
ec
C +fc,d ;
ed
C +fd,c] = min[4+11 ; 7+12] = 15
fe,{c,f} = min[
ec
C +fc,f ;
ef
C
+ff,c] = min[4+15 ; 5+16] = 19
fe,{d,f} = min[
ed
C +fd,f ;
ef
C
+ff,d] = min[7+11 ; 5+8] = 13
ff,{b,c} = min[
fb
C
+fb,c ;
fc
C
+fc,b]
Universitas Sumatera Utara
= min[ 6+10 ; 9+8] = 16 ff,{b,d} = min[
fb
C
+fb,d ;
fd
C
+fd,b] = min[6+11 ; 5+13] = 17
ff,{b,e} = min[
fb
C +fb,e ;
fe
C +fe,b] = min[6+14 ; 5+15] = 20
ff,{c,d} = min[
fc
C
+fc,d ;
fd
C
+fd,c] = min[9+11 ; 5+12] = 17
ff,{c,e} = min[
fc
C +fc,e ;
fe
C +fe,c = min[9+8 ; 5+11] = 16
ff,{d,e} = min[
fd
C
+fd,e ;
fe
C
+fe,d] = min[5+11 ; 5+7] = 12
Tahap ketiga ada 30 alternatif jalan yang dapat dilalui dengan kota b,c,d,e,f sebagai statusnya.
Tahap IV
}} {
, {
min ,
j S
j f
c S
i f
ij S
j
− +
=
∈
untuk S = 3 dan i ≠ a, a ∉ S dan a ∉ S.
maka diperoleh: fb,{c,d,e} = min[
bc
C +fc,d,e ;
bd
C +fd,c,e ;
be
C +fe,c,d] = min[3+11 ; 8+13 ; 10+15] = 14
Universitas Sumatera Utara
fb,{c,d,f} = min[
bc
C +fc,d,f ;
bd
C +fd,c,f ;
bf
C +ff,c,d] = min[3+16 ; 8+20 ; 6+17] = 19
fb,{c,e,f} = min[
bc
C +fc,e,f ;
be
C +fe,c,f ;
bf
C
+ff,c,e] = min[3+18 ; 10+19 ; 6+16] = 21
fb,{d,e,f} = min[
bd
C +fd,e,f ;
be
C +fe,d,f ;
bf
C +ff,d,e] = min[8+14 ; 10+13 ; 6+12] = 18
fc,{b,d,e} = min[
cb
C +fb,d,e ;
cd
C +fd,b,e ;
ce
C +fe,b,d] = min[3+17 ; 5+22 ; 4+20] = 20
fc,{b,d,f} = min[
cb
C +fb,d,f ;
cd
C +fd,b,f ;
cf
C
+ff,b,d] = min[3+14 ; 5+16 ; 9+17] = 17
fc,{b,e,f} = min[
cb
C +fb,e,f ;
ce
C +fe,b,f ;
cf
C
+ff,b,e] = min[3+15 ; 4+16 ; 9+20] = 18
fc,{d,e,f} = min[
cd
C +fd,e,f ;
ce
C +fe,d,f ;
cf
C
+ff,d,e] = min[5+14 ; 4+13 ; 9+12] = 17
fd,{b,c,e} = min[
db
C +fb,c,e ;
dc
C +fc,b,e ;
de
C +fe,b,c] = min[8+11 ; 5+17 ; 7+12] = 19
fd,{b,c,f} = min[
db
C +fb,c,f ;
dc
C +fc,b,f ;
df
C
+ff,b,c] = min[8+18 ; 5+15 ; 5+16] = 20
fd,{b,e,f} = min[
db
C +fb,e,f ;
de
C +fe,b,f ;
df
C
+ff,b,e] = min[8+15 ; 7+16 ; 5+20] = 23
fd,{c,e,f} = min[
dc
C +fc,e,f ;
de
C +fe,c,f ;
df
C
+ff,c,e]
Universitas Sumatera Utara
= min[5+18 ; 7+19 ; 5+16] = 21 fe,{b,c,d} = min[
eb
C +fb,c,d ;
ec
C +fc,b,d ;
ed
C +fd,b,c] = min[10+14 ; 4+14 ; 7+13] = 18
fe,{b,c,f} = min[
eb
C +fb,c,f ;
ec
C +fc,b,f ;
ef
C
+ff,b,c] = min[10+18 ; 4+15 ; 5+16] = 19
fe,{b,d,f} = min[
eb
C +fb,d,f ;
ec
C +fd,b,f ;
ef
C
+ff,b,d] = min[10+14 ; 4+16 ; 5+17] = 20
fe,{c,d,f} = min[
ec
C +fc,d,f ;
ec
C +fd,c,f ;
ef
C
+ff,c,d] = min[4+16 ; 4+20 ; 5+17] = 20
ff,{b,c,d} = min[
fb
C
+fb,c,d ;
fc
C
+fc,b,d ;
fd
C
+fd,b,c] = min[6+14 ; 9+14 ; 5+13] = 18
ff,{b,c,e} = min[
fb
C
+fb,c,e ;
fc
C
+fc,b,e ;
fe
C
+fe,b,c] = min[6+11 ; 9+17 ; 5+12] = 17
ff,{b,d,e} = min[
fb
C
+fb,d,e ;
fd
C
+fd,b,e ;
fe
C
+fe,b,d] = min[6+17 ; 5+22 ; 5+20] = 23
ff,{c,d,e} = min[
fc
C
+fc,d,e ;
fd
C
+fd,c,e ;
fe
C
+fe,c,d] = min[9+11 ; 5+13 ; 5+15] = 18
Tahap keempat ada 20 alternatif jalan yang dapat dilalui dengan kota b,c,d,e,f sebagai statusnya.
Universitas Sumatera Utara
Tahap V
}} {
, {
min ,
j S
j f
c S
i f
ij S
j
− +
=
∈
untuk S = 3 dan i ≠ a, a ∉ S dan a ∉ S.
maka diperoleh: fb,{c,d,e,f} = min[
bc
C +fc,d,e,f ;
bd
C +fd,c,e,f ;
be
C +fe,c,d,f ;
bf
C
+ff,c,d,e] = min[3+17 ; 8+20 ; 10+21 ; 6+18] = 20
fc,{b,d,e,f} = min[
cb
C +fb,d,e,f ;
cd
C +fd,b,e,f ;
ce
C +fe,b,d,f ;
cf
C
+ff,b,d,e] = min[3+18 ; 5+23 ; 4+20 ; 9+23] = 21
fd,{b,c,e,f} = min[
db
C +fb,c,e,f ;
dc
C +fc,b,e,f ;
de
C +fe,b,c,f ;
df
C
+ff,b,c,e] = min[8+21 ; 5+18 ; 7+19 ; 5+17] = 22
fe,{b,c,d,f} = min[
eb
C +fb,c,d,f ;
ec
C +fc,b,d,f ;
ed
C +fd,b,c,f ;
ef
C
+ff,b,c,d] = min[10+19 ; 4+17 ; 7+20 ; 5+18] = 22
ff,{b,c,d,e}= min[
fb
C
+fb,c,d,e ;
fc
C
+fc,b,d,e ;
fd
C
+fd,b,c,e ;
fe
C
+fe,b,c,d] = min[6+14 ; 6+19 ; 9+20 ; 5+18] = 20
Tahap kelima ada 5 alternatif jalan yang dapat dilaluinya dengan kota b,c,d,e,f sebagai statusnya.
Dengan menggunakan persamaan 1 diperoleh : fa,{b,c,d,e,f} = min [
ab
C +fb,c,d,e,f ;
ac
C +fb,c,d,e,f ;
ad
C +fd,b,c,d,e,f ;
ae
C +fe,b,c,d,f ;
af
C
+ff,b,c,d,e] = min [5+20 ; 7+21 :3 +22 ; 4+22 ; 6+20]
= 25
Universitas Sumatera Utara
Jadi, bobot perjalanan yang berawal dari kota a dan berakhir di kota a adalah 25 kmada 2 lintasan yang dapat dilalui.Lintasan yang dilalui di dalam tur tersebut dapat
direkonstruksi jika ada disimpan pada setiap fi, S nilai j yang meminimumkan ruas kanan persamaan 2. Misalkan Ji, S adalah nilai yang dimaksudkan tersebut. Maka,
Ja, {b, c,d,e,f} = b dan d. Jadi, tur mulai dari simpul a selanjutnya ke kota b atau d. jika pilihan perjalanan yang diinginkan kota b maka perjalanan akan diteruskan ke
kota selanjutnya yang diperoleh dari fb,{c,d,e,f} yang mana Jb,{c,d,e,f} = c.
Kota berikutnya diperoleh dari fc,{d,e,f} yang mana Jc,{d,e,f} = e.Dari kota e akan diperoleh perjalanan berikutnya dari fe,{d,f}, dimana Je,{d,f} = f.Dan kota
terakhir yang dikunjungi akan diperoleh dari ff,d, dimana Jf,d = d.Sehingga,perjalanan yang optimal adalah a
→b →c →e →f →d →a dengan panjang perjalanan 25 km.
Dengan cara yang sama lintasan kedua yang dapat dipilih dengan panjang perjalanan sama seperti lintasan pertama adalah a
→d →f →b →c →e →a.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Kategori