Bab 3
PEMBAHASAN
3.1 Penentuan Batas Bawah pada Metode Branch and Bound
Batas bawah akan ditentukan setelah menyelesaikan bentuk umum program linear. Bentuk umum program linear diberikan sebagai berikut:
Maks atau Min : ∑
, untuk Kendala:
∑ atau
atau , untuk
Setelah menyelesaikan bentuk umum di atas maka akan didapatkan nilai dari variabel
dan jika nilai tersebut dimasukkan ke dalam fungsi tujuan maka akan didapatkan fungsi tujuan awal. Pada kasus minimasi fungsi tujuan awal tersebut akan
menjadi batas bawah awal. Pada kasus maksimasi nilai variabel tersebut harus di bulatkan ke bawah menggunakan metode pembulatan biasa dan kemudian dimasukkan
ke dalam fungsi tujuan maka akan menghasilkan fungsi tujuan baru yang akan menjadi batas bawah awal.
Selanjutnya penentuan batas bawah akan dilakukan pada percabangan. Cara menentukan batas bawah pada setiap sub problem adalah dengan melihat nilai fungsi
tujuan yang lebih besar dari batas awal yang telah ditentukan. Tetapi, jika nilai fungsi tujuan pada subproblem sudah bulat maka batas bawah akan sama dengan batas
atas.untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh persoalan sebagai berikut :
Contoh persoalan kasus maksimasi: Maks
s.t dan integer
Penyelesaian: Selesaikan persoalan di atas menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel
simpleks sebagai berikut: Tabel 3.1 : Tabel simpleks awal
Basis variabel
5 8
Nilai 5
1 2,25
0,25 2,25
8 1
-1,25 -0,25
3,75 1,25
-0,75 41,25
Dari tabel simpleks di atas didapatkan nilai ,
dan
Gambar 3.1 : Percabangan untuk iterasi awal
Dapat dilihat solusi menghasilkan nilai yang merupakan batas atas. Nilai
batas bawah diperoleh dengan melakukan pembulatan ke bawah pada kedua variable keputusan sehingga didapatkan nilai
. Karena solusi belum bulat optimal, maka perlu dilakukan percabangan untuk menemukan solusi optimum bulat. Untuk
melakukan percabangan perhatikan nilai variable keputusan yang terbesar, dalam hal ini
akan menjadi suatu kendala baru yakni dan
.
Iterasi 1
Bagian 1 Maks
s.t Bagian 2
Maks s.t
Bagian 1 : Selesaikan bagian 1 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks
sebagai berikut: Tabel 3.2 : Tabel simpleks untuk bagian 1
Basis variabel
5 8
Nilai 5
1 1
-1 3
-5 1
-4 3
8 1
1 3
5 3
39
Dari tabel di atas diperoleh
dan dan
Bagian 2: Selesaikan bagian 2 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks
sebagai beikut : Tabel 3.3 : Tabel simpleks untuk bagian 2
Basis variabel
5 8
Nilai 1
-0,2 0,8
-0,8 0,2
5 1
0,2 -1,8
1,8 1,8
8 1
1
-1 4
1 1
-1 41
Dari tabel di atas diperoleh
dan dan
Gambar 3.2 : Percabangan untuk iterasi 1
Karena pada bagian 1 sudah memiliki solusi bulat dan nilai dijadikan
batas bawah baru dan juga dijadikan nilai calon. Selanjutnya perhatikan bagian 2, pada bagian ini masih terdapat variable keputusan yang tidak bulat dan nilai
dijadikan batas atas baru. Oleh karena itu, dilakukan percabangan lagi dengan nilai dan
.
Iterasi 2
Bagian 3 Maks
s.t Bagian 4
Maks s.t
Bagian 3: Selesaikan bagian 3 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel
simpleks sebagai berikut :
Tabel 3.4 : Tabel simpleks untuk bagian 3
Basis variabel
5 8
Nilai 1
-0,11 0.56
0,11 -1
1 1
0,44 8
1 0,11
4,44 5
1 1
0,88 40,56
Dari tabel di atas diperoleh
dan dan
Bagian 4:
Pada bagian ini tidak mempunyai solusi layak.
Gambar 3.3 : Percabangan untuk iterasi 2
Perhatikan pada bagian 3 masih terdapat variable keputusan yang tidak bulat dan nilai
masih memenuhi batas yang telah ditentukan yang kemudian
dijadikan batas atas. Oleh karena itu, dilakukan percabangan lagi dengan nilai dan
. Pada bagian 4 solusi tidak layak dikarenakan terdapat kendala yang tidak dipenuhi.
Iterasi 3
Bagian 5 Maks
s.t Bagian 6
Maks s.t
Bagian 5: Selesaikan bagian 5 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks
sebagai berikut: Tabel 3.5 : Tabel simpleks untuk bagian 5
Basis variabel
5 8
Nilai 1
-1 -1
1 1
-5 -9
4 8
1 1
4 5
1 1
1 -1
1 1
-5 8
37
Dari tabel di atas diperoleh
dan dan
Bagian 6: Selesaikan bagian 6 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks
sebagai berikut : Tabel 3.6 : Tabel simpleks untuk bagian 6
Basis variabel
5 8
Nilai 1
-0,2
0,8 -0,8
1
-1
1 1
-1 1
8 1
1 -1
5
-0,2
1 1,8
-1,8 1
5
0,2
-1,8 1,8
1 -1
1 40
Dari tabel di atas diperoleh
dan dan
Gambar 3.4 : Percabangan untuk iterasi 3
Perhatikan pada bagian 5 nilai sudah merupakan solusi bulat. Karena
nilai lebih kecil dari nilai calon maka solusi pada bagian ini bukan merupakan
solusi bulat optimum. Perhatikan bagian 6 nilai juga sudah merupakan solusi
bulat dan karena lebih besar dari nilai calon maka merupakan solusi
bulat optimum. Contoh persoalan minimasi:
Min Z : s.t
dan integer
Penyelesaian: Selesaikan persoalan di atas menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel
simpleks sebagai berikut : Tabel 3.7 : Tabel simpleks awal
Basis variabel
4 5
Nilai
5 1
0,3 -0,1
-0,3 0,1
0,8 4
1 -0,2
0,4 0,2
0,4 1,8
0,7 1,1
-0,7 -1,1
11,2
Dari tabel simpleks di atas diperoleh nilai ,
, dan
Gambar 3.5 : Percabangan awal
Dapat dilihat solusi menghasilkan nilai yang merupakan batas
bawah. Nilai batas atas diperoleh dengan melakukan pembulatan ke atas pada kedua variable keputusan sehingga didapatkan nilai
. Karena solusi belum bulat optimal, maka perlu dilakukan percabangan untuk menemukan solusi optimum bulat.
Untuk melakukan percabangan perhatikan nilai variable keputusan yang terbesar, dalam hal ini
akan menjadi suatu kendala baru yakni dan
Iterasi 1
Bagian 1 Min Z :
s.t Bagian 2
Min Z : s.t
Bagian 1: Selesaikan bagian 1 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks
sebagai berikut : Tabel 3.8 : Tabel simpleks untuk bagian 1
Basis variabel
4 5
Nilai
5 1
0,5 -1,5
-0,5 2
-1 2
-5 1
-2 4
4 1
1 1
2,5 -3,5
-2,5 14
Dari tabel di atas diperoleh
dan dan
Bagian 2: Selesaikan bagian 2 ini dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel
simpleks sebagai berikut : Tabel 3.9 : Tabel simpleks untuk bagian 2
Basis variabel
4 5
Nilai
5 1
0,25 -0,25
-0,25 0,25
0,75 4
1 1
-1 2
0,5 -1
-2,5 1
-0,5 2,5
0,5 1,25
2,75 -1,25
-2,75 11,75
Dari tabel di atas diperoleh
dan dan
Gambar 3.6 : Percabangan untuk iterasi 1
Karena pada bagian 1 memiliki nilai yang lebih besar dari batas yang telah
ditentukan maka dikatakan inferior. Selanjutnya perhatikan bagian 2, pada bagian ini masih terdapat variable keputusan dan nilai fungsi tujuan yang tidak bulat. Nilai
ini akan dijadikan batas bawah baru. Oleh karena itu, dilakukan percabangan lagi dengan nilai
dan .
Iterasi 2
Bagian 3 Min Z :
s.t Bagian 4
Min Z : s.t
Bagian 3: Selesaikan bagian 3 ini dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel
simpleks sebagai berikut : Tabel 3.10 : Tabel simpleks untuk bagian 3
Basis variabel
4 5
Nilai 3
-1 -10
-3 1
8 1
-1 -4
-1 1
3 4
1 1
-4 -1
5 5
1 1
4 -11
-4 20
Dari tabel di atas diperoleh
dan dan
Bagian 4: Selesaikan bagian 4 ini dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel
simpleks sebagai berikut :
Tabel 3.11 : Tabel simpleks untuk bagian 4 Basis
variabel 4
5 Nilai
4 1
1 -4
-1 4
1 -3
1 10
3 -1
-10 2
-1 1
4 1
-1 -4
1 5
1 1
-1 1
-5 13
5 -13
13
Dari tabel di atas diperoleh nilai , dan
, dan
Gambar 3.7 : Percabangan untuk iterasi 2
Perhatikan pada bagian 3 nilai melebihi batas yang telah ditentukan maka
dikatakan inferior. Pada bagian 4 nilai batas atas sudah sama dengan batas bawah maka nilai
sudah optimum dan karena tidak ada percabangan lagi maka nilai sudah merupakan nilai optimum.
3.1 Penentuan Batas Bawah pada Metode Branch and Price
Kategori