Penentuan Batas Bawah pada Metode Branch and Price

PENENTUAN BATAS BAWAH PADA

METODE

BRANCH AND PRICE

SKRIPSI

MEILIANA

080803036

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

PENENTUAN BATAS BAWAH PADA METODE BRANCH AND PRICE

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar sarjana sains

MEILIANA 080803036

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2012

PERSETUJUAN

Judul : PENENTUAN BATAS BAWAH PADA METODE BRANCH AND PRICE

Kategori : SKRIPSI

Nama : MEILIANA

Nomor Induk Mahasiswa : 080803036

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Medan, April 2012 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Prof. Dr. Herman Mawengkang Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si NIP 19461128 1974031 001 NIP. 19460404 1971071 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua.

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. NIP. 196209011988031002

PERNYATAAN

PENENTUAN BATAS BAWAH PADA METODE

BRANCH AND

PRICE

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2012

Meiliana 080803036

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Penyayang, atas kemurahan dan berkat yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi dengan judul ”Penentuan Batas Bawah pada Metode Branch and Price” guna melengkapi syarat memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Sumatera Utara.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih saya sampaikan kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing I dan Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada saya sehingga skripsi ini dapat saya selesaikan.

2. Bapak Drs. Sawaluddin, M.IT dan Bapak Syahril Efendi, S.Si, MIT selaku dosen penguji saya.

3. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. dan Ibu Dra.Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika.

4. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU dan pegawai di FMIPA USU.

6. Seluruh teman di jurusan Matematika khususnya stambuk 2008, serta sahabat– sahabat penulis: Windy, Romi, Isnaini, Ningrum, Evi, Riyandi, Sherly, Alan, Lindo, Wilya, dan Indra serta teman-teman lainnya yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu.

7. Seluruh adik-adik junior stambuk 2009, stambuk 2010, stambuk 2011 serta Abang dan Kakak alumni.

8. Paman penulis Lim Chai Kiat yang berkontribusi banyak dalam pendidikan yang saya jalani.

9. Ayahanda LIM CHAI HIE, Ibunda ANG KIM TJUH serta adik-adik penulis FERRY dan MEIRIATI yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam penulisan skripsi ini. Untuk itu penulis minta maaf kepada seluruh pembaca bila ada kesalahan serta penulis mengharapkan saran dan kritikan demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Medan, Juli 2012 Penulis,

ABSTRAK

Program bilangan bulat (Integer Programming) merupakan sutau program linear khusus dimana variabel-variabel keputusannya harus merupakan bilangan bulat. Ada banyak cara untuk menyelesaikan program bilangan bulat ini, diantaranya metode

branch and price. Seperti halnya metode branch and bound, dalam penyelesaianya menggunakan metode branch and price akan memerlukan iterasi-iterasi yang panjang. Untuk memperpendek iterasi itu maka ditentukan batas bawahnya.

DETERMINE THE LOWER BOUND OF BRANCH AND PRICE METHOD

ABSTRACT

Integer Programming is a specific linear programming where the variables of decision are integer. There are so many kind of way to finish this integer programming; one of them is Branch and Price method. Like Branch and Bound method, in the step to finish the integer programming in Branch and Price method need the iterations that are too long. To make the iteration to be short then should be given the lower bound.

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman Judul i

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 2

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Kontribusi Penelitian 4

1.6 Metode Penelitian 4

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Program Linear 5

2.2 Program Bilangan Bulat (Integer Programming) 9 2.2.1 Beberapa Model Integer Programming 11 2.2.2 Metode Penyelesaian Integer Programming 12

2.3 Metode Simpleks 13

2.4 Metode Branch and Bound 17

2.5 Metode Branch and Price 19

Bab 3 Pembahasan

3.1 Penentuan Batas Bawah pada Metode Branch and Bound 21 3.2 Penentuan Batas Bawah pada Metode Branch and Price 32 Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 44

4.2 Saran 44

Daftar Pustaka Lampiran

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Tabel Simpleks 16

Tabel 3.1 Tabel Simpleks awal 22

Tabel 3.2 Tabel Simpleks untuk bagian 1 23

Tabel 3.3 Tabel Simpleks untuk bagian 2 23

Tabel 3.4 Tabel Simpleks untuk bagian 3 25

Tabel 3.5 Tabel Simpleks untuk bagian 5 26

Tabel 3.6 Tabel Simpleks untuk bagian 6 27

Tabel 3.7 Tabel Simpleks awal 28

Tabel 3.8 Tabel Simpleks untuk bagian 1 29

Tabel 3.9 Tabel Simpleks untuk bagian 2 29

Tabel 3.10 Tabel Simpleks untuk bagian 3 31

Tabel 3.11 Tabel Simpleks untuk bagian 4 31

Tabel 3.12 Tabel Simpleks awal 34

Tabel 3.13 Tabel Simpleks untuk bagian 1 35

Tabel 3.14 Tabel Simpleks untuk bagian 2 36

Tabel 3.15 Tabel Simpleks untuk bagian 4 37

Tabel 3.16 Tabel Simpleks awal 39

Tabel 3.17 Tabel Simpleks untuk bagian 1 40

Tabel 3.18 Tabel Simpleks untuk bagian 3 42

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 3.1 Percabangan untuk iterasi awal 22

Gambar 3.2 Percabangan untuk iterasi 1 24

Gambar 3.3 Percabangan untuk iterasi 2 25

Gambar 3.4 Percabangan untuk iterasi 3 27

Gambar 3.5 Percabangan untuk iterasi awal 28

Gambar 3.6 Percabangan untuk iterasi 1 30

Gambar 3.7 Percabangan untuk iterasi 2 32

Gambar 3.8 Percabangan awal 34

Gambar 3.9 Percabangan untuk iterasi 1 36

Gambar 3.10 Percabangan untuk iterasi 2 38

Gambar 3.11 Percabangan awal 39

Gambar 3.12 Percabangan untuk iterasi 1 42

ABSTRAK

Program bilangan bulat (Integer Programming) merupakan sutau program linear khusus dimana variabel-variabel keputusannya harus merupakan bilangan bulat. Ada banyak cara untuk menyelesaikan program bilangan bulat ini, diantaranya metode

branch and price. Seperti halnya metode branch and bound, dalam penyelesaianya menggunakan metode branch and price akan memerlukan iterasi-iterasi yang panjang. Untuk memperpendek iterasi itu maka ditentukan batas bawahnya.

DETERMINE THE LOWER BOUND OF BRANCH AND PRICE METHOD

ABSTRACT

Integer Programming is a specific linear programming where the variables of decision are integer. There are so many kind of way to finish this integer programming; one of them is Branch and Price method. Like Branch and Bound method, in the step to finish the integer programming in Branch and Price method need the iterations that are too long. To make the iteration to be short then should be given the lower bound.

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Program linear bilangan bulat (Integer Linear Programming) merupakan suatu model program linear khusus yang digunakan untuk menyesuaikan suatu masalah program linear Dimana nilai-nilai variabel keputusannya haruslah merupakan bilangan bulat. Persyaratan ini dilakukan mengingat ada variabel-variabel yang tidak mungkin dalam bilangan pecahan, seperti pabrik, rumah, karyawan, dan lain-lain.

Metode Branch and Bound merupakan salah satu metode dalam penyelesaian program bilangan bulat yang menggunakan percabangan dan pembatasan. Metode ini didasarkan pada penambahan baris pada saat percabangan. Penambahan baris ini tentu tidak efektif karena akan membuat proses penyelesaiannya menjadi panjang. Oleh karena itu, maka digunakanlah metode branch and price.

Metode Branch and price merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan program linear bilangan bulat. Metode Branch and Price adalah teknik dari Column Generation dalam menyelesaikan program bilangan bulat yang berskala besar. Seperti pada metode Branch and Bound, pada metode Branch and Price juga menggunakan percabangan dan pembatsan. Pada metode Branch and Price proses penyelesaian didasarkan pada penambahan kolom pada percabangan. Proses pembatasan dilakukan pada setiap iterasi dari proses percabangan. Pada percabangan akan dihasilkan nilai-nilai variabel program linear dan apabila nilai tersebut dimasukkan pada fungsi tujuan akan menghasilkan nilai yang akan dijadikan batas.

Pada metode branch and price penentuan batas bawah dilakukan agar proses penyelesaian program linear bilangan bulat menjadi lebih efisien. Oleh karena itu, pada metode branch and price batas bawah perlu diperoleh agar jumlah iterasi dapat diperpendek.

Berdasarkan hal-hal di atas maka penulis memilih judul tugas akhir sebagai berikut : “Penentuan Batas Bawah pada MetodeBranch and Price”.

1.2 PERUMUSAN MASALAH

Masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana menentukan batas bawah pada metode branch and price.

1.3 TINJAUAN PUSTAKA

Alvelos Filipe (2005) mengemukakan bahwa ketika menyelesaikan sebuah simpul dari pohon Branch and Price, batas bawah didapatkan pada setiap iterasi dari kolom generasi. Jika batas bawah lebih besar dari nilai wajib, maka simpul dapat dipotong, karena solusi bilangan bulat terbaik yang ditemukan pada batas bawah ini dan turunannya (jika ada) akan memiliki sebuah nilai yang lebih besar dari nilai calon.

Adam N. Letchford (2011) mengemukakan bahwa untuk mengerti kenapa master problem adalah sebuah formulasi yang lebih kuat dari original problem dapat dilihat pada batas bawah yang didapatkan ketika menyelesaikan Program linear relaksasi dari dua masalah.

Program linear relaksasi dari masalah asli diberikan sebagai berikut:

Dimana:

= Fungsi tujuan.

= Kendala kedua pada program linear yang telah direlaksasi.

Adam N. Letchford menunjukkan bahwa menyelesaikan Program linear relaksasi dari master problem sama dengan menyelesaikan:

Dimana:

= Fungsi tujuan.

= Convex kombinasi dari kendala pertama.

= Kendala kedua pada program linear yang telah direlaksasi.

Jadi, jika , Program linear relaksasi dari master problem akan memberikan sebuah batas yang lebih baik dari masalah aslinya.

Geoffrion (1974) juga menunjukkan bahwa menyelesaikan Program linear relaksasi dari master problem memberikan batas bawah terbaik yang mungkin didapat dengan Langrangian relaksasi. Oleh karena itu, jika menggunakan pengali yang terbaik pada langrangian relaksasi, maka akan mendapatkan batas yang sama.

Matin W.P Savelsbergh (2002) dalam jurnal yang berjudul “Branch-and-price:

Integer programming with Column Genertion, BP” mengemukakan setelah beberapa

iterasi pada kolom generasi, maka harus diputuskan untuk mengakhiri proses kolom generasi (Branch and Price) jika nilai solusi program linear pada batasan master problem saat ini telah memberikan sebuah nilai batas bawah, dan nilai batas atas yang cukup dekat pada program linear.

1.4 TUJUAN PENELITIAN

Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan batas bawah dari metode branch and price pada program bilangan bulat sehingga dapat mencapai solusi optimal.

1.5KONTRIBUSI PENELITIAN

Mamfaat dari penelitian ini adalah:

1. Menambah wawasan penulis mengenai penentuan batas bawah pada Metode

Branch and Price.

2. Dapat menjadi referensi pada mahasiswa agar dapat mengerti mengenai penggunaan Metode Branch and Price dan mampu menentukan batas bawahnya pada integer programming agar dalam proses pencarian solusi menjadi lebih efisien.

1.6 METODE PENELITIAN

Penelitian ini adalah penelitian literatur dan metode yang dilakukan adalah

1. Mengadakan studi literatur dari buku dan jurnal-jurnal mengenai penentuan batas metode branch and price .

2. Mempelajari permasalahan yang melibatkan batas bawah pada Metode Branch and Price dan menyelesaikannya menggunakan langkah-langkah yang telah dipelajari dari buku ataupun jurnal.

3. Menganalisa masalah mengenai penentuan batas bawah pada Metode Branch and Price dan kemudian dianalisa lebih lanjut untuk dikembangkan.

Bab 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program Linear

Menurut Sitorus, Parlin (1997), Program Linier merupakan suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu suatu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linear. Program Linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier yang dapat diselesaikan untuk mencapai suatu nilai optimum. Nilai optimum itu bisa meupakan nilai maksimum ataupun nilai minimum.

Metode ini paling banyak digunakan dalam bisnis dan ekonomi, namun juga dapat dimanfaatkan dalam sejumlah perhitungan ilmu teknik. Misalnya, dalam ekonomi, fungsi tujuan dapat berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber-sumber daya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal, sedangkan fungsi batasan menggambarkan batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan. Industri yang memanfaatkan pemrograman linear di antaranya ialah industri transportasi, energi, telekomunikasi, dan manufaktur. Pemrograman linear juga terbukti berguna dalam membuat model berbagai jenis masalah dalam perencanaan, perancangan rute, penjadwalan, pemberian tugas, dan desain.

Dalam program linear mengenal mengenai fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan adalah nilai f untuk tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f( ). Dalam fungsi tujuan adapun nilai fungsi tujuan

yang dikehendaki adalah kondisi yang menyebabkan maksimum atau minimum. Fungsi kendala merupakan fungsi matematika yang mengendalikan nilai variabel keputusan. Fungsi kendala terdiri dari fungsi kendala berupa pembatas yang disimbolkan , fungsi kendala berupa syarat yang disimbolkan , dan fungsi kendala berupa keharusan yang disimbolkan .

Dalam program linear terdapat beberapa karakteristik dalam menyelesaikan suaru persoalan yaitu

1. Sifat linearitas, sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar).

2. Sifat proporsional, sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Misalnya jika harga per unit produk adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi.

3. Sifat additivitas, sifat ini mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan.

4. Sifat divisibilitas, sifat ini berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

5. Sifat kepastian, sifat ini menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.

Ada beberapa syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan ke dalam suatu model matematika program linearn yakni sebagai berikut: 1. Memiliki kriteria tujuan.

2. Sumber daya yang tersedia sifatnya terbatas.

3. Semua variabel dalam model memiliki hubungan matematis bersifat linear. 4. Koefisien model diketahui dengan pasti.

5. Bilangan yang digunakan dapat bernilai bulat atau pecahan. 6. Semua variabel harus bernilai nonnegatif.

Urutan pertama dalam penyelesaian program linear adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari

satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi kendala bisa berbentuk persamaan (=) atau

pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi kendala disebut juga sebagai konstrain. Konstanta

(baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi kendala maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.

Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.

Model umum program linear dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik sebagai berikut:

Maks atau Min : ∑ , untuk Kendala:

∑ atau atau , untuk

Keterangan:

= Fungsi tujuan = Variabel keputusan

= koefisien dari variabel keputusan

= Koefisien dari variabel keputusan dalam kendala = sumber daya yang tersedia dalam kendala

ke-Ada berbagai cara dalam menyelesaikan program linear diantaranya menggunakan metode grafik, metode simpleks, metode dual simpleks, metode Teknik M. Metode grafik digunakan untuk menyelesaikan program linear dengan dua variabel. Metode simpleks, metode dual simpleks dan teknik M banyak digunakan untuk menyelesaikan program linear dengan banyak variabel.

Kasus program linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas agar dapat menyelesaikan program linear secara tepat.

2.2 Program Bilangan Bulat (Integer Programming)

Model Linear programming yang telah didiskusikan sejauh ini masih tetap berlanjut, dalam pengertian bahwa variabel keputusan diperbolehkan dalam bentuk pecahan. Sering ini sebagai asumsi realistik. Sebagai contoh sebuah perusahaan dapat memproduksi dari bahan yang dapat dibagi seperti wine dan juga masih beralasan untuk menerima sebuah solusi yang memberikan nilai perjam produksi automobile sebesar jika modelnya berdasarkan pada rata-rata waktu produksi.

Pada saat lain, bagaimanapun solusi pecahan tidaklah nyata dan harus mempertimbangkan masalah optimisasi sebagai berikut:

Maks atau Min : ∑ Kendala:

∑

bulat untuk semua Keterangan:

= Fungsi tujuan = Variabel keputusan

= koefisien dari variabel keputusan

= Koefisien dari variabel keputusan dalam kendala = sumber daya yang tersedia dalam kendala

ke-Masalah ini dikatakan sebagai ke-Masalah Linear Integer Programming. Sitorus, Parlin (1997), Integer Programming merupakan suatu model program linear yang khusus Dimana nilai variabel-variabel keputusan dalam penyelesaian optimal harus merupakan bilangan integer (bulat). Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus integer mengingat nilai (banyaknya/jumlah) tidak mungkin dalam bilangan pecahan, seperti kertas, barang produksi, tentara, dan lain sebagainya.

Terdapat 3 macam permasalahan dalam pemrograman bulat, yaitu:

1. Pemrograman bulat murni, yaitu kasus dimana semua variabel keputusan harus berupa bilangan bulat.

2. Pemrograman bulat campuran, yaitu kasus dimana beberapa, tapi tidak semua, variabel keputusan harus berupa bilangan bulat

3. Pemrograman bulat biner, kasus dengan permasalahan khusus dimana semua variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1

2.2.1 Beberapa Model Integer Programming

Thie, Paul. R. (1979) dalam bukunya memberikan beberapa persoalan yang dapat diformulasikan sebagai model integer programming. Ada dua hal yang akan dibahas yakni: modal penganggaran belanja, penjadwalan.

a. Modal Penganggaran Belanja

Pada model masalah modal penganggaran belanja, keputusan menyangkut seleksi dari sejumlah nilai dari investasi potensial. Keputusan berinvestasi mungkin untuk memilih diantara lokaso penanaman yanng mungkin, untuk memilih sebuah bentuk dari perlengkapan modal, atau untuk menyelesaikan ketika sebuah himpunan dari proyek penelitian dan pengembangan. Hal itu selalu membuat tidak mengerti untuk mempertimbangkan memilih investasi dari aktivitas ini, dan akhirnya masalahnya akan menjadi program bilangan bulat ya atau tidak, Dimana variabel keputusan yang diambil menjadi = 0 atau 1, menandakan bahwa investasi ke- diterima atau ditolak. Asumsikan bahwa adalah hasil konstribusi dari investasi ke- dan adalah jumlah sumber daya ke- , seperti uang atau tenaga kerja yang digunakan dalam investasi ke- , masalah ini dapat di formulasikan sebagai berikut:

Maksimalkan ∑ Kendala

∑

Tujuannya adala untuk memaksimalkan total kontribusi dari semua investasi tanpa melebihi ketersediaan yang terbatas dari sumber daya.

Pada umumnya, masalah ini juga disebut Knapsack problem, karena dapat disamakan pada sebuah situasi dimana pejalan kaki harus memutuskan barang-barang apa saja yang dimasukkan dalam perjalanannya. Di sini adalah nilai atau kegunaan dari barang yang di masukkan Dimana , tujuannya adalah memaksimalkan perjalanan yang menyenangkan dengan kendala berat yang dibatasi yang dapat dibawa pejalan kaki tidak lebih dari kilogram. Model ini diubah dengan membawa lebih dari sebuah dari beberapa barang yang diambil, dengan menulis dan bulat

dengan mengganti variabel pembatas 0-1. Knapsack problem penting karena sejumlah program bilangan bulat dapat ditunjukkan sama dengan masalahnya, dan lebih jauh, karena langkah penyelesaian pada model knapsack telah memotivasi langkah-langkah untuk menyelesaikan program bilangan bulat umum.

b. Penjadwalan

Segala tingkat pada masalah yang menunjuk seperti antrian, penjadwalan, dan rute adalah tidak terpisahkan dengan program bilangan bulat. Sebagai contoh, menjadwalkan siswa, fakultas, dan ruang kelas sedemikian hingga jumlah dari siswa yang tidak mengambil pilihan pertama dari kelas di minimalkan. Ada batasan pada jumlah dan ukuran dari ruangan kelas yang tersedia pada suatu waktu, ketersediaan dari jumlah fakultas pada waktu tertentu, dan pilihan dari siswa untuk waktu tertentu. Lebih jelasnya, siswa ke- dijadwalkan pada kelas ke- selam periode ke- atau tidak. Oleh karena itu, variabelnya harus nol atau satu.

2.2.2 Metode penyelesaian Integer Programming

Beberapa metode penyelesaian masalah program bilangan bulat adalah metode pembulatan (rounding method), metode grafik (graphic method), metode cabang dan batas (branch and bound method), dan metode branch and price.

Metode pembulatan sangat sederhana dan cepat dalam menyelesaikan masalah yang dihadapi. Sebelum metode ini diterapkan, maka terlebih dahulu dicari penyelesaian optimal dari problema dengan menggunakan metode program linear biasa. Selanjutnya, metode ini diterapkan dengan cara melakukan pembulatan hasil nilai variabel keputusan (bilangan pecahan) yang di peroleh dari metode program linear. Kelemahan utama metode ini ialah bahwa hasil pembulatan yang dilakukan dapat menyimpang jauh dari penyelesaian optimal integer yang sesungguhya dalam penyelesaiannya dianggap tidak layak apabila hasilnya lebih besar daripada penyelesaian optimal pecahan.

Metode grafik hanya dapat dilakukan apabila jumlah variabel keputusan adalah dua. Metode ini menggunakan pendekatan pencarian. Untuk mencari penyelesaian optimal, dilakukan dengan cara mencari titik penyelesaian optimal yang terdapat di dalam daerah kelayakandengan koordinatnya harus bilangan integer yang mendekati titik optimal yang diperoleh dengan menggunakan metode grafik biasa. Metode branch and bound dan metode branch and price lebih sering digunakan karena hasil yang diperoleh lebih baik dan lebih teliti dari kedua metode lainnya.

2.3 Metode Simpleks

Dalam penyelesaian program linear metode grafik mempunyai kelemahan yaitu variabel keputusannya harus dua. Pelu diketahui bahwa hanya sedikit masalah dalam kehidupan nyata yang mengandung dua variabel. Pada kenyataanya beberapa situasi melibatkan banyak variabel keputusan dan banyak kendala. Oleh karena itu haruslah ada metode yang dapat menyelesaikan program linear dengan banyak variabel. Metode ini dinamakan metode simpleks.

Metode simpleks sebenarnya sama saja dengan metode grafik di dalam mencari titik penyelesaian optimal di daerah kelayakan (mencari nilai titik-titik ekstrim di daerah kelayakan). Dalam pengoperasiannya, metode simpleks dimulai dari titik awal (titik 0) dan bergerak ke titik ekstrim lain yang memiliki nilai penyelesaian yang optimal.

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi

kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah

variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik

kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=).

Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik

kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).

Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik

kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal.

Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10.Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11.Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12.Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

Prosedur (tahap proses) untuk menyelesaikan program linear dengan menggunakan metode simpleks sebagai berikut:

Tahap 1 : Merumuskan problema ke dalam bentuk standar (model simpleks). Bentuk kanonik merupakan suatu bentuk Dimana bagian kanan pembatas ( ) adalah non negatif. Dengan demikian, jika salah satu dari negatif, maka diperlukan untuk mengalikannya dengan -1. Sebagai penambahan bahwa penting juga semua pembatas haruslah dalam bentuk persamaan. Agar mencapai bentuk itu maka diperlukan untuk menambah nilai non negatif yang dinamakan slack variabel . Variabel slack ini menyeimbangkan kegunaan sebenarnya dari bagian kiri pada pertidaksamaan dengan adanya bagian kanan. Dengan demikian bentuk umum persamaan linear sekarang dapat ditulis sebgai berikut:

Maksimalkan

Kendala :

Dimana

Dalam bentuk ini slack variabel tidak dimasukkan dalam fungsi tujuan karena tidak akan mempengaruhi nilai fungsi tujuan. Dengan demikian, adalah nol pada fungsi tujuan.

Tahap 2 : Menyusun tabel simpleks

Masukkan bentuk persamaan kanonik tersebur ke dalam bentuk tabel simpleks seperti berikut:

Tabel 2.1 : Tabel simpleks Basis

variabel

0 0 0 Nilai

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

Tahap 3 : Tentukan kolom pivot.

Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika tujuan minimisasi , maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

Tahap 4: Tentukan baris pivot.

Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabl keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah sau secara sembarang.

Tahap 5 : Tentukan elemen pivot.

Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

Tahap 6 : Bentuk tabel simpleks baru.

Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut.

Tahap 7 : Periksa apakah tabel sudah optimal.

Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke tahap 3 , jika sudah optimal baca solusi optimalnya.

2.4 Metode Branch and Bound

Lev, Benjamin dan Weiss, Howard J. (1982), metode Branch and Bound (cabang dan batas) adalah suatu metode umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai permasalahan optimasi, terutama untuk optimasi diskrit dan kombinatorial. Konsep dari metode branch and bound pertama sekali ditemukan oleh Land and Doig (1960). Ide dasarnya adalah membagi daerah fisible menjadi daerah yang lebih kecil. Metode branch and bound menggunakan sebuah langkah yang menempatkan batas atas dan batas bawah sebagai solusi ketika secara sistematis menyelesaikan subproblem.

Sesuai dengan namanya, metode ini terdiri dari 2 bagian yaitu Branch yang artinya membangun semua cabang tree yang mungkin menuju solusi. Bound yang artinya menghitung node mana yang merupakan active node (E-node) dan node mana yang merupakan dead node (D-node) dengan menggunakan syarat batas constraint (kendala)

Prosedur penyelesaiaan problema program linear integer dengan metode ini adalah sebagai berikut:

1. Penyelesaian optimal dengan metode program linear biasa.

Problema yang dihadapi diselesaikan terlebih dahulu dengan menggunakan metode program linear biasa (metode grafik atau metode simpleks) sampai diperoleh hasil optimal.

2. Pemeriksaan Penyelesaian Optimal

Hasil optimal pada langkah pertama diperiksa apakah variabel keputusan yang diperoleh bernilai integer atau pecahan. Apabila ternyata nilai semua variabel keputusan tersebut merupakan bilangan bulat positif (non negative integer), maka penyelesaian optimal telah tercapai. Apabila tidak, maka proses iterasi dilanjutkan.

3. Branching

Apabila penyelesaian optimal belum tercapai, maka peroblema tersebut dimodifikasi ke dalam dua sub problema (branching) dengan memasukkan kendala baru ke masing-masing subproblema tersebut. Variabel kendala baru tersebut harus bersifat saling pengecualian (mutually exclusive constraints) sehingga memenuhi persyaratan penyelesaian integer.

4. Bounding

Pada kasus memaksimalkan hasil optimal yang diperoleh dengan metode program linear biasa (noninteger) merupakan nilai batas atas (upper bound) dan pada kasus minimalkan meupakan batas bawah (lower bound) bagi setiap subproblema. Pada kasus maksimalkan hasil pembulatan ke bawah pada penyelesaian integer merupakan nilai batas bawah (lower bound) bagi masing-masing subproblema. Pada kasus minimalkan hasil pembulatan ke atas pada penyelesaian integer merupakan nilai batas atas (upper bound) bagi masing-masing subproblema. Selanjutnya, pada kasus maksimalkan apabila subproblema yang memiliki batas atas yang lebih rendah dari batas bawah yang berlaku, maka subproblema tersebut tidak perlu dianalisa lagi. Sedangkan, pada kasus minimasi apabila subproblema yang memiliki batas bawah yang lebih tinggi dari batas atas yang berlaku, maka subproblema tersebut tidak perlu dianalisa lagi. Apabila dalam penyelesaian integer menghasilkan hasil yang sama atau lebih baik daripada nilai batas atas atau

nilai batas bawah dari setiap problema, maka penyelesaian optimal integer telah tercapai. Apabila tidak, maka subproblema yang memiliki nilai batas atas dan nilai batas bawah yang terbaik dipilih selanjutnya menjadi subproblema yang baru. Proses iterasi kembali pada langkah 2, sehingga demikian terus.

Penggunaan metode branch and bound banyak sekali diantaranya knapsack problem, integer programming, travelling sales problem, cutting stock problem dan banyak lagi kegunaanya. Penggunaan metode ini tentulah untuk mencari nilai pembulatan terbaik pada masing-masing masalah.

2.5 Metode Branch and Price

Metode branch and price adalah ssuatu teknik dalam menyelesaikan program integer yang berskala besar. Dantzig dan Wolfe (1960) mengusulkan teknik column generasi sebagai sebuah skema untuk menyelesaikan masalah linear programming berskala besar yang mempunyai banyak variabel. Algoritma umum dari metode branch and price ini diperkenalkan oleh Barnhart (1998) dan Vanderbeck dan Wolsey (1996).

Berikut ini merupakan ringkasan pengertian mengenai algoritma branch and price: 1. Branch and price merupakan teknik column generation untuk menyelesaikan

program integer berskala besar.

2. Pada tiap node dari tree branch and price, kolom dapat dibangkitkan untuk memperkuat linear programming relaksasi.

3. Pada branch and price, kumpulan kolom dibuang dari linear programming relaxation sebuah program integer berskala besar karena terdapat terlalu banyak kolom yang harus ditangani secara efisien dan kebanyakan dari kolom itu menghasilkan variabel yang bernilai nol padaa solusi optimal.

4. Kemudian cek keoptimalan, sebuah subproblem yang disebut juga dengan

„pricing problem‟ diselesaikan untuk mengidentifikasi adanya kolom yang

memasuki basis. Pricing problem dilakukan untuk mengetahui adanya variabel keputusan yang memiliki reduced cost negatif.

6. Percabangan terjadi ketika tidak terdapat kolom yang melalui proses pricing dan solusi program integer tidak memenuhi batasan kondisi integral.

Column Generation menyediakan penguraian dari sebuah masalah menjadi master dan subproblem. Penguraian ini memungkinkan adanya penafsiran dan pengaturan kontektual untuk penambahan beberapa batasan penting. Dalam branch and price, kolom disisihkan dari relaksasi linear programming karena terdapat terlalu banyak kolom yang ditangani secara efisien. Kemudian untuk memeriksa keoptimalan dari sebuah solusi linear programming, subproblem yang disebut pricing problem, yang merupakan bagian permasalahan untuk dual linear programming diselesaikan untuk mencoba mengidentifikasi kolom yang akan memasuki basis. Jika terdapat kolom yang di maksud tersebut, maka solusi linear programming dioptimasi kembali. Percabangan terjadi ketika tidak terdapat kolom yang dinilai dapat memasuki basis dan solusi linear programming tidak memenuhi batasan integral.

Terdapat beberapa kesulitan dalam penggunaan teknik column generation untuk linear programming dalam solusi integer programming, yaitu:

1. Integer programming konvensional bercabang pada variabel yang mungkin tidak efektif karena memperbaiki variabel yang dapat merusak struktur pricing problem. Menyelesaikan linear programming dan subproblem menjadi optimal mungkin menjadi tidak efisien, dimana beberapa aturan berbeda akan digunakan untuk menangani pohon branch and price.

2. Linear programming relaksasi dari master problem diselesaikan yang dengan column generation integral dan menggunakan prosedur standard branch and bound untuk master problem pada kolom yang ada tidak seperti halnya mencari solusi optimal, atau yang baik atau yang mungkin fisibel terhadap permasalahan yang sebenarnya.

Perlu diperhatikan, ketika memproses suatu node tidak dibutuhkan untuk menyelesaikan LP sampai optimal. Alasan utama untuk menyelesakan LP sampai optimal adalah adanya kemungkinan untuk memotong node berdasarkan bound. Pemangkasan masih mungkin terjadi tanpa menyelesaikan LP sampai optimal jika kita dapat menghitung bound yang tepat.

Bab 3

PEMBAHASAN

3.1 Penentuan Batas Bawah pada Metode Branch and Bound

Batas bawah akan ditentukan setelah menyelesaikan bentuk umum program linear. Bentuk umum program linear diberikan sebagai berikut:

Maks atau Min : ∑ , untuk Kendala:

∑ atau atau , untuk

Setelah menyelesaikan bentuk umum di atas maka akan didapatkan nilai dari variabel dan jika nilai tersebut dimasukkan ke dalam fungsi tujuan maka akan didapatkan fungsi tujuan awal. Pada kasus minimasi fungsi tujuan awal tersebut akan menjadi batas bawah awal. Pada kasus maksimasi nilai variabel tersebut harus di bulatkan ke bawah menggunakan metode pembulatan biasa dan kemudian dimasukkan ke dalam fungsi tujuan maka akan menghasilkan fungsi tujuan baru yang akan menjadi batas bawah awal.

Selanjutnya penentuan batas bawah akan dilakukan pada percabangan. Cara menentukan batas bawah pada setiap sub problem adalah dengan melihat nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari batas awal yang telah ditentukan. Tetapi, jika nilai fungsi tujuan pada subproblem sudah bulat maka batas bawah akan sama dengan batas atas.untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh persoalan sebagai berikut :

Contoh persoalan kasus maksimasi: Maks

s.t dan integer Penyelesaian:

Selesaikan persoalan di atas menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.1 : Tabel simpleks awal Basis

variabel

5 8 0 0

Nilai

5 1 0 2,25 0,25 2,25 8 0 1 -1,25 -0,25 3,75

0 0 1,25 -0,75 41,25

Dari tabel simpleks di atas didapatkan nilai , dan

Gambar 3.1 : Percabangan untuk iterasi awal

Dapat dilihat solusi menghasilkan nilai yang merupakan batas atas. Nilai batas bawah diperoleh dengan melakukan pembulatan ke bawah pada kedua variable keputusan sehingga didapatkan nilai . Karena solusi belum bulat optimal, maka perlu dilakukan percabangan untuk menemukan solusi optimum bulat. Untuk melakukan percabangan perhatikan nilai variable keputusan yang terbesar, dalam hal ini akan menjadi suatu kendala baru yakni dan .

Iterasi 1 Bagian 1 Maks s.t Bagian 2 Maks s.t

Bagian 1 :

Selesaikan bagian 1 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.2 : Tabel simpleks untuk bagian 1 Basis

variabel

5 8 0 0 0

Nilai

5 1 0 1 0 -1 3

0 0 0 -5 1 -4 3

8 0 1 0 0 1 3

0 0 5 0 3 39

Dari tabel di atas diperoleh dan dan

Bagian 2:

Selesaikan bagian 2 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai beikut :

Tabel 3.3 : Tabel simpleks untuk bagian 2 Basis

variabel

5 8 0 0 0 0

Nilai

0 0 0 1 -0,2 0,8 -0,8 0,2

5 1 0 0 0,2 -1,8 1,8 1,8

8 0 1 0 0 1 -1 4

0 0 0 1 1 -1 41

Gambar 3.2 : Percabangan untuk iterasi 1

Karena pada bagian 1 sudah memiliki solusi bulat dan nilai dijadikan batas bawah baru dan juga dijadikan nilai calon. Selanjutnya perhatikan bagian 2, pada bagian ini masih terdapat variable keputusan yang tidak bulat dan nilai dijadikan batas atas baru. Oleh karena itu, dilakukan percabangan lagi dengan nilai

dan . Iterasi 2

Bagian 3

Maks s.t

Bagian 4

Maks s.t

Bagian 3:

Selesaikan bagian 3 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 3.4 : Tabel simpleks untuk bagian 3 Basis

variabel

5 8 0 0 0 0 0

Nilai

0 0 0 1 -0,11 0 0 0 0.56

0 0 0 0 0,11 -1 1 1 0,44

8 0 1 0 0,11 0 0 0 4,44

5 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0,88 0 0 0 40,56

Dari tabel di atas diperoleh dan dan

Bagian 4:

Pada bagian ini tidak mempunyai solusi layak.

Gambar 3.3 : Percabangan untuk iterasi 2

Perhatikan pada bagian 3 masih terdapat variable keputusan yang tidak bulat dan nilai masih memenuhi batas yang telah ditentukan yang kemudian

dijadikan batas atas. Oleh karena itu, dilakukan percabangan lagi dengan nilai dan . Pada bagian 4 solusi tidak layak dikarenakan terdapat kendala yang tidak dipenuhi. Iterasi 3 Bagian 5 Maks s.t Bagian 6 Maks s.t Bagian 5:

Selesaikan bagian 5 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.5 : Tabel simpleks untuk bagian 5 Basis

variabel

5 8 0 0 0 0 0 0

Nilai

0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 1

0 0 0 0 1 0 -5 -9 0 4

8 0 1 0 0 0 0 1 0 4

5 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 -1 0 1 1 0

0 0 0 0 0 -5 8 0 37

Bagian 6:

Selesaikan bagian 6 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 3.6 : Tabel simpleks untuk bagian 6 Basis

variabel

5 8 0 0 0 0 0 0 0

Nilai

0 0 0 1 -0,2 0 0 0,8 0 -0,8 1

0 0 0 0 0 -1 0 1 1 -1 1

8 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 5

0 0 0 0 -0,2 0 1 1,8 0 -1,8 1

5 0 0 0,2 0 0 -1,8 0 1,8 0

0 0 0 1 0 0 -1 0 1 40

Dari tabel di atas diperoleh dan dan

Perhatikan pada bagian 5 nilai sudah merupakan solusi bulat. Karena nilai lebih kecil dari nilai calon maka solusi pada bagian ini bukan merupakan solusi bulat optimum. Perhatikan bagian 6 nilai juga sudah merupakan solusi bulat dan karena lebih besar dari nilai calon maka merupakan solusi bulat optimum.

Contoh persoalan minimasi: Min Z :

s.t

dan integer Penyelesaian:

Selesaikan persoalan di atas menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 3.7 : Tabel simpleks awal Basis

variabel

4 5 0 0 0 0 Nilai

5 0 1 0,3 -0,1 -0,3 0,1 0,8 4 1 0 -0,2 0,4 0,2 0,4 1,8

0 0 0,7 1,1 -0,7 -1,1 11,2 Dari tabel simpleks di atas diperoleh nilai , , dan

Gambar 3.5 : Percabangan awal

Dapat dilihat solusi menghasilkan nilai yang merupakan batas bawah. Nilai batas atas diperoleh dengan melakukan pembulatan ke atas pada kedua variable keputusan sehingga didapatkan nilai . Karena solusi belum bulat optimal, maka perlu dilakukan percabangan untuk menemukan solusi optimum bulat.

Untuk melakukan percabangan perhatikan nilai variable keputusan yang terbesar, dalam hal ini akan menjadi suatu kendala baru yakni dan

Iterasi 1 Bagian 1

Min Z : s.t

Bagian 2

Min Z : s.t Bagian 1:

Selesaikan bagian 1 dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 3.8 : Tabel simpleks untuk bagian 1 Basis

variabel

4 5 0 0 0 0 0 Nilai

5 0 1 0 0,5 -1,5 0 -0,5 2

0 0 0 -1 2 -5 1 -2 4

4 1 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 2,5 -3,5 0 -2,5 14

Dari tabel di atas diperoleh dan dan

Bagian 2:

Selesaikan bagian 2 ini dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 3.9 : Tabel simpleks untuk bagian 2 Basis

variabel

4 5 0 0 0 0 0 0 Nilai

5 0 1 0,25 0 -0,25 0 -0,25 0,25 0,75

4 1 0 0 0 1 0 0 -1 2

0 0 0 0,5 -1 -2,5 1 -0,5 2,5 0,5

Dari tabel di atas diperoleh dan dan

Gambar 3.6 : Percabangan untuk iterasi 1

Karena pada bagian 1 memiliki nilai yang lebih besar dari batas yang telah ditentukan maka dikatakan inferior. Selanjutnya perhatikan bagian 2, pada bagian ini masih terdapat variable keputusan dan nilai fungsi tujuan yang tidak bulat. Nilai

ini akan dijadikan batas bawah baru. Oleh karena itu, dilakukan percabangan lagi dengan nilai dan .

Iterasi 2 Bagian 3

Min Z : s.t

Bagian 4

Min Z : s.t

Bagian 3:

Selesaikan bagian 3 ini dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 3.10 : Tabel simpleks untuk bagian 3 Basis

variabel

4 5 0 0 0 0 0 0 0

Nilai

0 0 0 3 -1 0 -10 -3 1 0 8 0 0 0 1 0 -1 -4 -1 0 1 3

4 1 0 1 0 0 -4 -1 0 0 5

5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 4 0 0 -11 -4 0 0 20

Dari tabel di atas diperoleh dan dan

Bagian 4:

Selesaikan bagian 4 ini dengan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 3.11 : Tabel simpleks untuk bagian 4 Basis

variabel

4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 Nilai

4 1 0 1 0 0 -4 -1 0 0 4 1

0 0 0 -3 1 0 10 3 -1 0 -10 2 0 0 0 -1 0 1 4 1 0 -1 -4 1

5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 1

0 0 -5 0 0 13 5 0 0 -13 13

Gambar 3.7 : Percabangan untuk iterasi 2

Perhatikan pada bagian 3 nilai melebihi batas yang telah ditentukan maka dikatakan inferior. Pada bagian 4 nilai batas atas sudah sama dengan batas bawah maka nilai sudah optimum dan karena tidak ada percabangan lagi maka nilai

sudah merupakan nilai optimum.

3.1 Penentuan Batas Bawah pada Metode Branch and Price

Penyelesaian program integer dengan metode Branch and Price adalah dengan cara mendualkan bentuk primal program linear. Bentuk umum program linear sebagai berikut:

Maks atau Min : ∑ , untuk Kendala:

∑ atau atau , untuk

Untuk menyelesaikan dengan metode branch and price maka terlebih dahulu harus didualkan. Pada bentuk dual koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta

ruas kanan bagi dual, tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya, fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya), setiap kolom pada primal berubah menjadi baris (pembatas) pada dual. Bentuk umum di atas akan didualkan menjadi:

Min atau Maks : ∑ , untuk Kendala:

∑ atau atau , untuk

Selanjutnya untuk menentukan batas bawah dimulai dari menyelesaikan bentuk dual di atas. Setelah menyelesaikan bentuk dual tersebut akan didapatkan nilai dan nilai tersebut akan dimasukkan ke dalam fungsi tujuan untuk menghasilkan nilai fungsi tujuan. Pada kasus minimasi dalam bentuk dual tersebut nilai fungsi tujuan tersebut akan menjadi batas bawah awal. Untuk kasus maksimasi maka nilai akan dibulatkan ke bawah terlebih dahulu dengan metode pembulatan yang untuk selanjutnya nilai tersebut dimasukkan ke dalam fungsi tujuannya, maka fungsi tujuan tersebut akan menjadi batas bawah awal.

Selanjutnya penentuan batas bawah dilakukan pada setiap percabangan (subproblem). Pada setiap subproblem akan menghasilkan nilai baru. Nilai tersebut dimasukkan ke dalam fungsi tujuan untuk menghasilkan fungsi tujuan yang yang terkecil yang selanjutnya dijadikan batas bawah. Begitu selanjutnya sampai menghasilkan solusi optimum bulat. Untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh persoalan sebagai berikut :

Contoh persoalan kasus maksimasi : Maks

s.t dan integer

Penyelesaian :

Selesaikan persoalan di atas menggunakan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.12 : Tabel simpleks awal Basis

variabel

6 45 0 0 Nilai

3 0 1 0,75 -0,25 4,5

2 1 0 -0,5 0,5 7

0 0 1,25 0,25 27,5

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah , , dan dan nilai untuk dual adalah dan , dan

Gambar 3.8 : Percabangan awal

Dapat dilihat solusi menghasilkan nilai yang merupakan batas bawah. Nilai batas atas diperoleh dengan melakukan pembulatan ke atas pada kedua variable keputusan sehingga didapatkan nilai . Karena solusi belum bulat optimal, maka perlu dilakukan percabangan untuk menemukan solusi optimum bulat. Untuk melakukan percabangan perhatikan nilai variable keputusan yang terbesar, dalam hal ini akan menjadi suatu kendala baru yakni dan

Iterasi 1 Bagian 1

Min

s.t

Bagian 2

Min

s.t

Bagian 1:

Bentuk dual dari bagian 1 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Maks s.t

Kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks diperoleh:

Tabel 3.13 : Tabel simpleks untuk bagian 1 Basis

variabel

2 3 -1 0 0 Nilai

3 1,5 1 0 0 0,5 15

-1 2 0 1 -1 1 14

-0,5 0 0 1 0,5 31

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah sebagai berikut dan

, dan dan nilai untuk dual adalah , dan

Bagian 2:

Bentuk dual dari bagian 2 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Maks s.t

Tabel 3.14 : Tabel simpleks untuk bagiann 2 Basis

variabel

2 3 2 0 0 Nilai

2 0 1,33 1 1 -0,33 6 2 1 0,67 0 0 0,33 10

0 1 0 2 0 32

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah , , dan

dan nilai untuk dual adalah , , dan

Gambar 3.9 : Percabangan untuk iterasi 1

Pada bagian 1 pada bagian dual masih terdapat nilai variabel keputusan yang belum bulat. Nilai pada bagian 1 akan dijadikan batas bawah baru. Selanjutnya perhatikan bagian 2, pada bagian dual sudah memiliki nilai variabel keputusan yang bulat dan begitu juga pada bagian primal. Oleh karena itu, tidak akan dilakukan percabangan dan nilai akan dijadikan nilai calon dan juga sebagai batas atas baru. Selanjutnya percabangan akan dilakukan dengan melakukan percabangan untuk dan

Iterasi 2 Bagian 3

Min

s.t

Bagian 4

Min

s.t Bagian 3:

pada bagian ini tidak mempunyai solusi layak.

Bagian 4:

Bentuk dual dari bagian 4 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Maks s.t

Kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks diperoleh : Tabel 3.15 : Tabel simpleks untuk bagian 4

Basis variabel

2 3 -1 1 0 0 Nilai

3 0,5 1 -0,5 0 0,5 0 8

1 2 0 1 0 -1 1 14

1,5 0 0,5 1 0,5 1 38

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah , , , dan dan nilai untuk dual adalah , , dan

Gambar 3.10 : Percabangan untuk iterasi 2

Pada bagian 3 percabangan dihentikan karena tidak memiliki solusi layak. Perhatikan pada bagian 4 nilai sudah melewati batas yang telah ditentukan. Oleh karena itu, pada bagian 4 dikatakan inferior. Karena tidak bisa melakukan percabangan lagi maka nilai dikatakan optimal dengan , . Contoh kasus minimasi

Min

s.t dan integer Penyelesaian :

Selesaikan persoalan di atas menggunakan menggunakan metode simpleks sehingga diperoleh tabel simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.16 : Tabel simpleks awal

Basis variabel

6 45 0 0 0 0 Nilai

5 0 1 0,375 -0,25 -0,375 0,25 0,25 3 1 0 -0,25 0,5 0,25 -0,5 1,5

0 0 1,125 0,25 -1,125 -0,25 5,75

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah , , dan

dan nilai untuk dual adalah , , dan .

Gambar 3.11 : gambar percabangan awal

Dapat dilihat solusi menghasilkan nilai yang merupakan batas atas. Nilai batas bawah diperoleh dengan melakukan pembulatan ke bawah pada kedua variable keputusan sehingga didapatkan nilai . Karena solusi belum bulat optimal, maka perlu dilakukan percabangan untuk menemukan solusi optimum bulat. Untuk melakukan percabangan perhatikan nilai variable keputusan yang terbesar, dalam hal ini akan menjadi suatu kendala baru yakni dan

Iterasi 1

Bagian 1

Maks s.t

Bagian 2

Maks s.t

Bagian 1:

Bentuk dual dari bagian 1 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Min

s.t

Kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks diperoleh :

Tabel 3.17 : Tabel simpleks untuk bagian 1 Basis

variabel

2 3 -1 0 0 0 0 Nilai

1 0 2,67 1 1 -0,67 -1 0,67 0,67 3 1 0,67 0 0 0,33 0 -0,33 1,67

0 0,33 0 0 0,33 -1 -0,33 5,67 Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah sebagai berikut dan

, dan dan nilai untuk dual adalah , dan

.

Bagian 2:

Gambar 3.12 : Percabangan untuk iterasi 1

Pada bagian 1 pada bagian dual masih terdapat nilai variabel keputusan yang belum bulat. Oleh karena itu, akan dilanjutkan dengan melakukan percabangan yakni untuk

dan dan nilai dijadikan batas atas baru. Selanjutnya perhatikan bagian 2, pada bagian ini tidak memiliki solusi yang layak.

Iterasi 2

Bagian 3

Maks s.t

Bagian 4

Maks s.t

Bagian 3:

Bentuk dual dari bagian 3 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Min s.t

Kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks diperoleh :

Tabel 3.18 : Tabel simpleks untuk bagian 3 Basis

variabel

2 3 -1 0 0 0 0 0 Nilai

1 2 4 1 0 1 0 -1 0 4

0 3 2 0 1 0 1 0 -1 5

1 1 0 0 1 0 -1 0 4

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah sebagai berikut dan

, , dan dan nilai untuk dual adalah , dan

Bagian 4:

Bentuk dual dari bagian 4 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Min

s.t

Tabel 3.19 : Tabel simpleks untuk bagian 4 Basis

variabel

2 3 -1 -1 0 0 0 0 Nilai

-1 0 4 1,5 1 1,5 -1 -1,5 1 1

3 1 2 0,5 0 0,5 0 -0,5 0 2

0 -1 1 0 0 1 0 -1 5

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah , , , dan dan nilai untuk dual adalah , , dan

Gambar 3.13 : Percabangan untuk iterasi 2

Perhatikan pada bagian 3 nilai sudah merupakan solusi bulat pada bentuk dual dan primal. Nilai pada bagian ini sama dengan nilai calon. Perhatikan bagian 4 nilai juga sudah merupakan solusi bulat pada bagian dual dan primal dan karena lebih besar dari nilai calon maka maka solusi pada bagian ini merupakan solusi bulat optimum.

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1Kesimpulan

Dari hasil uraian dan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Seperti halnya pada metode Branch and Bound, penentuan batas bawah perlu dilakukan agar iterasi-iterasi pada metode branch and price dapat diperpendek.

2. Nilai batas bawah pada setiap percabangan semakin lama akan semakin mendekati batas atas yang pada akhirnya mungkin akan menjadi solusi optimum.

4.2Saran

Penelitian yang dilakukan hanya sebatas penentuan batas bawah saja pada metode branch and price, akan lebih baik jika dibahas juga mengenai penentuan batas atasnya juga

DAFTAR PUSTAKA

Alvelos, Filipe.P.P. 2005. Branch-and-Price and Multicommodity Flows. Thesis. Portugal:University of Minho

Barnhart, C., Johnson, E.L., Nemhauser, G.L., Savelsbergh, M.W.P., and Vance, P.H. 1998.

Branch-and-Price: Column Generation for SolvingInteger Programs. Operations Research ,hal:316–329.

Geoffrion, A.M. 1974. Lagrangean Relaxation for Integer Programming. Dalam Geoffrion.

Mathematical Programming Study. Vol 2: hal:82-114.

Letchford, Adam N. 2011. An introduction to Branch-and-price. Department of Management Science Lancaster University, UK

Lev, Benjamin dan Weiss, Howard J. 1982. Introduction to Mathematical Programming.

New York : Elsevier North Holland.

Savelsbergh, Martin W.P. 2002. Branch-and-price: Integer programming with Column Generation, BP”. Encyclopedia of Optimization. Vol : 2 : hal : 218-221

Siswanto. 2007. Operation Research. Jilid 1. Yogyakarta : Erlangga

Sitorus, Parlin. 1997. Program Linear. Jakarta : Universitas Trisakti

Thie, Paul. R. 1979. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. Canada : John Wiley and Sons

Bagian 1:

Bentuk dual dari bagian 1 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Min s.t

Kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks diperoleh : Tabel 3.17 : Tabel simpleks untuk bagian 1

Basis variabel

2 3 -1 0 0 0 0 Nilai

1 0 2,67 1 1 -0,67 -1 0,67 0,67

3 1 0,67 0 0 0,33 0 -0,33 1,67

0 0,33 0 0 0,33 -1 -0,33 5,67

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah sebagai berikut dan , dan dan nilai untuk dual adalah , dan .

Bagian 2:

Gambar 3.12 : Percabangan untuk iterasi 1

Pada bagian 1 pada bagian dual masih terdapat nilai variabel keputusan yang belum bulat. Oleh karena itu, akan dilanjutkan dengan melakukan percabangan yakni untuk dan dan nilai dijadikan batas atas baru. Selanjutnya perhatikan bagian 2, pada bagian ini tidak memiliki solusi yang layak.

Iterasi 2

Bagian 3

Maks s.t

Bagian 4

Maks s.t

Bagian 3:

Bentuk dual dari bagian 3 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Min s.t

Kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks diperoleh : Tabel 3.18 : Tabel simpleks untuk bagian 3

Basis variabel

2 3 -1 0 0 0 0 0 Nilai

1 2 4 1 0 1 0 -1 0 4

0 3 2 0 1 0 1 0 -1 5

1 1 0 0 1 0 -1 0 4

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah sebagai berikut dan , , dan dan nilai untuk dual adalah , dan

Bagian 4:

Bentuk dual dari bagian 4 ini akan diubah kembali menjadi bentuk primal sebagai berikut :

Min s.t

Tabel 3.19 : Tabel simpleks untuk bagian 4

Basis variabel

2 3 -1 -1 0 0 0 0 Nilai

-1 0 4 1,5 1 1,5 -1 -1,5 1 1

3 1 2 0,5 0 0,5 0 -0,5 0 2

0 -1 1 0 0 1 0 -1 5

Dari tabel di atas diperoleh nilai untuk primal adalah , , , dan dan nilai untuk dual adalah , , dan

Gambar 3.13 : Percabangan untuk iterasi 2

Perhatikan pada bagian 3 nilai sudah merupakan solusi bulat pada bentuk dual dan primal. Nilai pada bagian ini sama dengan nilai calon. Perhatikan bagian 4 nilai juga sudah merupakan solusi bulat pada bagian dual dan primal dan karena lebih besar dari nilai calon maka maka solusi pada bagian ini merupakan solusi bulat optimum.

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1Kesimpulan

Dari hasil uraian dan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Seperti halnya pada metode Branch and Bound, penentuan batas bawah perlu dilakukan agar iterasi-iterasi pada metode branch and price dapat diperpendek.

2. Nilai batas bawah pada setiap percabangan semakin lama akan semakin mendekati batas atas yang pada akhirnya mungkin akan menjadi solusi optimum.

4.2Saran

Penelitian yang dilakukan hanya sebatas penentuan batas bawah saja pada metode branch and price, akan lebih baik jika dibahas juga mengenai penentuan batas atasnya juga

DAFTAR PUSTAKA

Alvelos, Filipe.P.P. 2005. Branch-and-Price and Multicommodity Flows. Thesis. Portugal:University of Minho

Barnhart, C., Johnson, E.L., Nemhauser, G.L., Savelsbergh, M.W.P., and Vance, P.H. 1998. Branch-and-Price: Column Generation for SolvingInteger Programs. Operations Research , hal:316–329.

Geoffrion, A.M. 1974. Lagrangean Relaxation for Integer Programming. Dalam Geoffrion. Mathematical Programming Study. Vol 2: hal:82-114.

Letchford, Adam N. 2011. An introduction to Branch-and-price. Department of Management Science Lancaster University, UK

Lev, Benjamin dan Weiss, Howard J. 1982. Introduction to Mathematical Programming. New York : Elsevier North Holland.

Savelsbergh, Martin W.P. 2002. Branch-and-price: Integer programming with Column Generation, BP”. Encyclopedia of Optimization. Vol : 2: hal : 218-221

Siswanto. 2007. Operation Research. Jilid 1. Yogyakarta : Erlangga Sitorus, Parlin. 1997. Program Linear. Jakarta : Universitas Trisakti

Thie, Paul. R. 1979. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. Canada : John Wiley and Sons