ALGORITMA METODE MÜLLER

jika nilai D b D b    , maka D b c x x     2 2 3 7. Menghitung galatnya dengan rumus: 100 1 1     i i i a x x x ε Jika 3 x dan galatnya telah diperoleh 100 1 1     i i i a x x x ε toleransi , maka iterasinya berhenti. Namun bila 100 1 1     i i i a x x x ε toleransi, maka iterasinya diulangi lagi. Contoh 3.1 Gunakan metode Müller dengan tebakan awal 5 . 4  x , 5 . 5 1  x , dan 5 2  x dan toleransi galatnya adalah 0.0001 atau 0.01 , untuk menentukan akar dari persamaan 12 13 3    x x x f Penyelesaian Iterasi 1 Pertama, mencari nilai fungsi tebakan awal 625 . 20 5 . 4  f 875 . 82 5 . 5  f 48 5  f Dari ketiga nilai fungsi di atas, dapat digunakan untuk menghitung: 1 5 . 4 5 . 5    h 5 . 5 . 5 5 1     h 25 . 62 5 . 4 5 . 5 625 . 20 875 . 82      74 . 69 5 . 5 5 875 . 82 48 1      Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 15 1 5 . 25 . 62 75 . 69      a 25 . 62 75 . 69 5 . 15     b 48  c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu      54461 . 31 48 15 4 25 . 62 2   Kemudian, karena 54461 . 31 25 . 62 54461 . 31 25 . 62    , maka yang digunakan adalah tanda positif pada angka pecahan dari persamaan 3.25, sehingga akan menghasilkan hampiran akar yang baru, yaitu 976487 . 3 54451 . 31 25 . 62 48 2 5 3      x dan taksiran galatnya 74 . 25 100 976487 . 3 023513 . 1    a ε Karena 01 . 74 . 25   a ε , maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru, yaitu 1 x menggantikan x , 2 x mengantikan 1 x , dan 3 x menggantikan 2 x . Iterasi 2 5 . 5 1  x 5 2  x 976487 . 3 3  x 875 . 82 5 . 5  f 48 5  f 8163337 . 976487 . 3   f 5 . 5 . 5 5 1     h 023513 . 1 5 976487 . 3 2     h 75 . 69 5 . 5 5 875 . 82 48 1      6948839 . 47 023313 . 1 816332 . 2      Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 47648704 . 14 5 . 023513 . 1 75 . 69 6948839 . 47      a 8780087 . 32 6948839 . 47 023513 . 1 47648704 . 14     b 8163337 .   c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu 58919518 . 33 8163337 . 47648704 . 14 4 8780087 . 32 2     D Karena 589 . 33 879 . 32 589 . 33 879 . 32    , maka yang digunakan adalah tanda positif . 00105 . 4 589 . 33 879 . 32 816 . 2 976487 . 3 4       x dan taksiran galatnya 6137 . 100 00104 . 4 976487 . 3 00104 . 4    a ε Karena 01 . 6137 .   a ε , maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru. Iterasi 3 5 2  x 976487 . 3 3  x 00104 . 4 4  x 48 5  f 8163337 . 976487 . 3   f 03678 . 00104 . 4  f 023513 . 1 5 976487 . 3 2     h 0245 . 976487 . 3 00104 . 4 3    h 69488 . 47 023313 . 1 816332 . 2      735 . 34 0245 . 816 . 03678 . 3     Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 979 . 12 0235 . 1 0245 . 695 . 47 735 . 34     a 1099 . 35 792 . 34 0245 . 979 . 12    b 0364 .  c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu 082 . 35 0364 . 979 . 12 4 1099 . 35 2    D Karena 082 . 35 1099 . 35 082 . 35 1099 . 35    , maka yang digunakan adalah tanda positif . 0000028 . 4 082 . 35 1099 . 35 0364 . 2 00104 . 4 5      x dan taksiran galatnya 026137 . 100 0000028 . 4 00104 . 4 0000028 . 4    a ε Karena 01 . 026137 .   a ε , maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru. Iterasi 4 976487 . 3 3  x 00104 . 4 4  x 0000028 . 4 5  x 8163337 . 976487 . 3   f 0364 . 00104 . 4  f 000098 . 0000028 . 4  f 0245 . 976487 . 3 00104 . 4 3    h 001037 . 00104 . 4 0000028 . 4 4     h 792 . 34 0245 . 816 . 0364 . 3     0067 . 35 001037 . 0364 . 000098 . 4      Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 1506 . 9 0245 . 001037 . 792 . 34 0067 . 35      a 997 . 34 0067 . 35 001037 . 1506 . 9     b 000098 .  c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu 996 . 34 000098 . 1506 . 9 4 997 . 34 2    D Karena 996 . 34 997 . 34 996 . 34 997 . 34    , maka yang digunakan adalah tanda positif . 4 996 . 34 997 . 34 000098 . 2 0000028 . 4 6      x dan taksiran galatnya 00007 . 100 4 0000028 . 4 4    a ε Karena 01 . 00007 .   a ε , maka perhitungan dihentikan. Jadi akar dari persamaan 12 13 3    x x x f adalah 4  x . Hasil dalam perhitungan MATLAB i x0 x1 x2 x e 1 4.50000 5.50000 5.00000 3.97649 0.20470 2 5.50000 5.00000 3.97649 4.00105 0.00618 3 5.00000 3.97649 4.00105 4.00000 0.00026 4 3.97649 4.00105 4.00000 4.00000 0.00000 Contoh 3.2 Gunakan metode Müller dengan tebakan awal 1  x , 2 1  x , dan 4 2  x dan toleransi galatnya adalah 0.0001 atau 0.01 , untuk menentukan akar dari persamaan 10 4 2 3    x x x f Penyelesaian Iterasi 1 Pertama, mencari nilai fungsi tebakan awal 5 1   f 14 2  f 118 4  f Dari ketiga nilai fungsi di atas, dapat digunakan untuk menghitung: 1 1 2    h 2 2 4 1    h 19 1 5 14     52 2 14 118 1     Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 11 3 19 52    a 74 52 2 11    b 118  c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu      8523 . 16 118 11 4 74 2    D Kemudian, karena 8523 . 16 74 8523 . 16 74    , maka yang digunakan adalah tanda positif pada angka pecahan dari persamaan 3.25, sehingga akan menghasilkan hampiran akar yang baru, yaitu 40238 . 1 8523 . 16 74 118 2 4 3      x dan taksiran galatnya 5 , 18 100 40238 . 1 4 40238 . 1    a ε Karena 01 . 0185 .   a ε , maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru, yaitu 1 x menggantikan x , 2 x mengantikan 1 x , dan 3 x menggantikan 2 x . Iterasi 2 2 1  x 4 2  x 40238 . 1 3  x 14 2  f 118 4  f 75301 . 40238 . 1  f 2 2 4 1    h 59762 . 2 4 40238 . 1 2     h 52 2 14 118 1     13631 . 45 59762 . 2 118 75301 . 2      Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 48503 . 11 59762 . 52 18573 . 45     a 30255 . 15 13631 . 45 59762 . 2 48503 . 11     b 75301 .  c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu 12709 . 14 75301 . 48503 . 11 4 30255 . 15 2    D Karena 127099 . 14 30255 . 15 12709 . 14 30255 . 15    , maka yang digunakan adalah tanda positif . 3612 . 1 12709 . 14 30255 . 15 75301 . 2 40238 . 1 4       x dan taksiran galatnya 02 . 3 100 3612 . 1 40238 . 1 3612 . 1    a ε Karena 01 . 02 . 3   a ε , maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru. Iterasi 3 4 2  x 40238 . 1 3  x 3612 . 1 4  x 118 4  f 75301 . 40238 . 1  f 06641 . 3612 . 1   f 023513 . 1 5 976487 . 3 2     h 04118 . 40238 . 1 3612 . 1 3     h 13631 . 45 59762 . 2 118 75301 . 2      67914 . 16 04118 . 75301 . 06641 . 3       Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 7864 . 10 04118 . 59762 . 2 13631 . 45 67314 . 16      a 22895 . 16 67314 . 16 04118 . 7864 . 10     b 06641 .   c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu 31699 . 16 06641 . 7864 . 10 4 22895 . 16 2     D Karena 31699 . 16 2895 . 16 31699 . 16 2895 . 16    , maka yang digunakan adalah tanda positif . 36528 . 1 31699 . 16 2895 . 16 06641 . 2 3612 . 1 5       x dan taksiran galatnya 298 . 100 36528 . 1 3612 . 1 36528 . 1    a ε Karena 01 . 298 .   a ε , maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru. Iterasi 4 40238 . 1 3  x 3612 . 1 4  x 36528 . 1 5  x 75301 . 40238 . 1  f 06641 . 3612 . 1   f 000825 . 36528 . 1  f 04118 . 40238 . 1 3612 . 1 3     h 00408 . 3612 . 1 36528 . 1 4    h 67914 . 16 04118 . 75301 . 06641 . 3       47916 . 16 00408 . 06641 . 000825 . 4     Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 39029 . 5 04118 . 00408 . 67914 . 16 47916 . 16     a 50115 . 16 47916 . 16 00408 . 39029 . 5    b 000825 .  c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu 50061 . 16 000825 . 39029 . 5 4 50115 . 16 2    D Karena 50061 . 16 50115 . 16 50061 . 16 50115 . 16    , maka yang digunakan adalah tanda positif . 36523 . 1 50061 . 16 50115 . 16 000825 . 2 36528 . 1 6      x dan taksiran galatnya 0036 . 100 36523 . 1 36528 . 1 36523 . 1    a ε Karena 01 . 0036 .   a ε , maka perhitungan dihentikan. Jadi akar dari persamaan 10 4 2 3    x x x f adalah 36523 . 1  x . Hasil dalam perhitungan MATLAB i x0 x1 x2 x e 1 1.00000 2.00000 4.00000 1.40238 1.85230 2 2.00000 4.00000 1.40238 1.36100 0.03041 3 4.00000 1.40238 1.36100 1.36526 0.00312 4 1.40238 1.36100 1.36526 1.36523 0.00002 Contoh 3.3 Gunakan metode Müller dengan tebakan awal  x , 1 1  x , dan 5 . 2  x dan batas galatnya adalah 0.0001 , untuk menentukan akar dari persamaan 2 2 2    x x x f Penyelesaian Iterasi 1 Pertama, mencari nilai fungsi tebakan awal 2  f 1 1  f 25 . 1 5 .  f Dari ketiga nilai fungsi di atas, dapat digunakan untuk menghitung: 1 1    h 5 . 1 5 . 1     h 1 1 2 1      5 . 5 . 1 25 . 1 1       Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan: 1 5 . 1 1 5 .      a 1 5 . 5 . 1       b 25 . 1  c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu      i D 2 25 . 1 1 4 1 2     i i x        1 2 1 25 . 1 2 5 . 3      100 1 1 1 i i a ε    100 1 5 . i i    100 2 1 25 . 79.05 Karena 01 . 05 . 79   a ε , maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru. Iterasi 2 1 1  x 5 . 2  x i x   1 3 1 1  f 25 . 1 5 .  f 1   i f 5 . 1 5 . 1     h i i h      5 . 5 . 1 2 5 . 5 . 1 25 . 1 1       i i        5 . 5 . 25 . 1 2 1 5 . 5 . 5 . 5 .           i i a i i b 2 5 . 5 . 1         c i i D 2 1 4 2 2      i i i x        1 4 2 1 4 100 1 1 1       i i i a ε Karena 01 .   a ε , maka perhitungan dihentikan. Jadi akar dari persamaan 2 2 2    x x x f adalah i x   1 . Hasil dalam perhitungan MATLAB i x0 x1 x2 realx imx px e 1 0.00000 1.00000 0.50000 1.00000 -1.00000 0.00000 0.79057 2 1.00000 0.50000 1.00000 1.00000 -1.00000 0.00000 0.00000 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1.00000 + -1.00000 i Contoh lain metode Müller dengan penyelesaiannya bilangan kompleks. No Persamaan Akar Banyak Iterasi 1 10 5 2    x x x f i 93649 . 1 5 . 2  2 2 5 4 3 2    x x x f i 10554 . 1 66667 .  2 3 4 3 2    x x x f i 32288 . 1 5 . 1  2 4 9 5 2 2    x x x f i 71391 . 1 25 . 1  2 Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa, dalam mencari akar kompleks, banyaknya iterasi yang dibutuhkan selalu dua iterasi. Kesimpulan ini didukung pada langkah ke 5, yaitu mencari koefisien a, b, c , dimana nilai dari koefisien c pada iterasi kedua akan selalu mendekati nol, sehingga bila dimasukkan ke dalam rumus metode Müller persamaan 3.24, nilai x pada iterasi kedua akan sama dengan nilai x pada iterasi pertama.

C. METODE MÜLLER-BISEKSI

Pada bagian sebelumnya sudah dijelaskan tentang metode Müller dan metode biseksi. Dalam metode biseksi, diasumsikan bahwa f adalah fungsi kontinu dalam interval ] , [ 1 x x , dengan , 1  x f x f dimana dimisalkan bahwa  x f dan 1  x f sehingga f memotong sumbu x , maka secara umum metode biseksi akan selalu konvergen ke solusi real, meskipun sangat lambat dalam konvergensi. Metode Müller merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan polinomial yang penyelesaiannya tidak hanya berupa akar-akar real tetapi juga akar-akar kompleks. Dari uraian di atas, menyebabkan kedua metode tersebut dapat digunakan untuk membangun sebuah versi baru dari metode Müller dan metode biseksi, sehingga diharapkan metode baru ini akan lebih efektif dibandingkan dengan metode Müller atau metode biseksi. Namun, metode Müller-Biseksi hanya mampu mencari akar real saja, tetapi lebih cepat mencapai konvergensi dibandingkan metode Müller maupun metode biseksi. Prinsip metode Müller-Biseksi, misalnya terdapat subinterval ] , [ 1 x x dengan 1  x f x f . Untuk mendapatkan titik ketiga, maka dapat digunakan metode biseksi, sehingga diperoleh 2 1 2 x x x   , 1 x x  . Setelah ketemu nilai 2 x , maka diperoleh tiga titik, yakni , , , 1 1 x f x x f x dan , 2 2 x f x . Dari ketiga titik tersebut dapat digunakan metode Müller untuk menyelesaikan persamaan. Gambar 3.2 Metode Müller-Biseksi

D. ALGORITMA METODE MÜLLER BISEKSI

Berdasarkan uraian pada bagian sebelumnya, maka algoritma metode Müller-biseksi dapat dirangkum sebagai berikut: 1. Menentukan x dan 1 x dimana 1  x f x f , toleransi. 2. Menghitung 2 1 2 x x x   . Jika 2  x f , maka iterasi dihentikan. Jika 2  x f lanjutkan ke langkah 3. 3. Menggunakan metode Müller dengan titik , x f x , , 1 1 x f x dan , 2 2 x f x untuk mempeoleh pendekatan 3 x yang baru. i. Menghitung jarak antara nilai tebakan awal, yaitu antara 1 x dengan x dan 2 x dengan 1 x . 1 x x h   dan 1 2 1 x x h   ii. Kemudian menghitung jarak antara nilai fungsi, yaitu 1 1 x x x f x f     dan 1 2 1 2 1 x x x f x f     iii. Menghitung nilai koefisien-koefisien yang terdapat dalam rumus kuadratis. 1 1 h h a      1 1    ah b 2 x f c  iv. Menghitung nilai diskriminan dari polinomial yang diberikan, yaitu ac b D 4 2   dan menghitung nilai D b  dan D b  . Jila nilai D b D b    , maka nilai D b  yang dipilih. v. Menghitung nilai 3 x dengan rumus kuadratis: c b b c x x 42 2 2 2 3     