ALGORITMA METODE MÜLLER
jika nilai D
b D
b
, maka
D b
c x
x
2
2 3
7. Menghitung galatnya dengan rumus: 100
1 1
i i
i a
x x
x
ε
Jika
3
x dan galatnya telah diperoleh
100
1 1
i i
i a
x x
x
ε
toleransi ,
maka iterasinya berhenti. Namun bila 100
1 1
i i
i a
x x
x
ε
toleransi,
maka iterasinya diulangi lagi.
Contoh 3.1
Gunakan metode Müller dengan tebakan awal 5
. 4
x
, 5
. 5
1
x
, dan 5
2
x
dan toleransi galatnya adalah 0.0001 atau 0.01 , untuk menentukan akar dari persamaan
12 13
3
x
x x
f
Penyelesaian Iterasi 1
Pertama, mencari nilai fungsi tebakan awal
625 .
20 5
. 4
f
875 .
82 5
. 5
f
48 5
f
Dari ketiga nilai fungsi di atas, dapat digunakan untuk menghitung: 1
5 .
4 5
. 5
h
5 .
5 .
5 5
1
h
25 .
62 5
. 4
5 .
5 625
. 20
875 .
82
74 .
69 5
. 5
5 875
. 82
48
1
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
15 1
5 .
25 .
62 75
. 69
a
25 .
62 75
. 69
5 .
15
b
48
c
Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
54461 .
31 48
15 4
25 .
62
2
Kemudian, karena 54461
. 31
25 .
62 54461
. 31
25 .
62
, maka yang digunakan adalah tanda positif pada angka pecahan dari persamaan
3.25, sehingga akan menghasilkan hampiran akar yang baru, yaitu
976487 .
3 54451
. 31
25 .
62 48
2 5
3
x
dan taksiran galatnya
74 .
25 100
976487 .
3 023513
. 1
a
ε
Karena 01
. 74
. 25
a
ε
, maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru, yaitu
1
x menggantikan x
,
2
x mengantikan
1
x , dan
3
x menggantikan
2
x .
Iterasi 2
5 .
5
1
x
5
2
x
976487 .
3
3
x
875 .
82 5
. 5
f
48 5
f
8163337 .
976487 .
3
f
5 .
5 .
5 5
1
h 023513
. 1
5 976487
. 3
2
h
75 .
69 5
. 5
5 875
. 82
48
1
6948839
. 47
023313 .
1 816332
.
2
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
47648704 .
14 5
. 023513
. 1
75 .
69 6948839
. 47
a
8780087 .
32 6948839
. 47
023513 .
1 47648704
. 14
b 8163337
.
c
Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
58919518 .
33 8163337
. 47648704
. 14
4 8780087
. 32
2
D
Karena 589
. 33
879 .
32 589
. 33
879 .
32
, maka yang digunakan adalah tanda positif .
00105 .
4 589
. 33
879 .
32 816
. 2
976487 .
3
4
x
dan taksiran galatnya
6137 .
100 00104
. 4
976487 .
3 00104
. 4
a
ε
Karena 01
. 6137
.
a
ε
, maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru.
Iterasi 3
5
2
x
976487 .
3
3
x
00104 .
4
4
x
48 5
f
8163337 .
976487 .
3
f
03678 .
00104 .
4
f
023513 .
1 5
976487 .
3
2
h 0245
. 976487
. 3
00104 .
4
3
h
69488 .
47 023313
. 1
816332 .
2
735
. 34
0245 .
816 .
03678 .
3
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
979 .
12 0235
. 1
0245 .
695 .
47 735
. 34
a 1099
. 35
792 .
34 0245
. 979
. 12
b
0364 .
c
Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
082 .
35 0364
. 979
. 12
4 1099
. 35
2
D
Karena 082
. 35
1099 .
35 082
. 35
1099 .
35
, maka yang digunakan adalah tanda positif .
0000028 .
4 082
. 35
1099 .
35 0364
. 2
00104 .
4
5
x
dan taksiran galatnya
026137 .
100 0000028
. 4
00104 .
4 0000028
. 4
a
ε
Karena 01
. 026137
.
a
ε
, maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru.
Iterasi 4
976487 .
3
3
x
00104 .
4
4
x
0000028 .
4
5
x
8163337 .
976487 .
3
f
0364 .
00104 .
4
f 000098
. 0000028
. 4
f
0245 .
976487 .
3 00104
. 4
3
h
001037 .
00104 .
4 0000028
. 4
4
h
792 .
34 0245
. 816
. 0364
.
3
0067 .
35 001037
. 0364
. 000098
.
4
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
1506 .
9 0245
. 001037
. 792
. 34
0067 .
35
a 997
. 34
0067 .
35 001037
. 1506
. 9
b 000098
.
c
Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
996 .
34 000098
. 1506
. 9
4 997
. 34
2
D
Karena 996
. 34
997 .
34 996
. 34
997 .
34
, maka yang digunakan adalah tanda positif .
4 996
. 34
997 .
34 000098
. 2
0000028 .
4
6
x
dan taksiran galatnya
00007 .
100 4
0000028 .
4 4
a
ε
Karena 01
. 00007
.
a
ε
, maka perhitungan dihentikan. Jadi akar dari persamaan
12 13
3
x
x x
f adalah
4
x
.
Hasil dalam perhitungan MATLAB i x0 x1 x2 x e
1 4.50000 5.50000 5.00000 3.97649 0.20470 2 5.50000 5.00000 3.97649 4.00105 0.00618
3 5.00000 3.97649 4.00105 4.00000 0.00026 4 3.97649 4.00105 4.00000 4.00000 0.00000
Contoh 3.2
Gunakan metode Müller dengan tebakan awal 1
x
, 2
1
x
, dan 4
2
x
dan toleransi galatnya adalah 0.0001 atau 0.01 , untuk menentukan akar dari persamaan
10 4
2 3
x
x x
f
Penyelesaian Iterasi 1
Pertama, mencari nilai fungsi tebakan awal
5 1
f 14
2
f 118
4
f
Dari ketiga nilai fungsi di atas, dapat digunakan untuk menghitung: 1
1 2
h
2 2
4
1
h
19 1
5 14
52 2
14 118
1
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
11 3
19 52
a
74 52
2 11
b
118
c
Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
8523 .
16 118
11 4
74
2
D
Kemudian, karena 8523
. 16
74 8523
. 16
74
, maka yang digunakan adalah tanda positif pada angka pecahan dari persamaan 3.25, sehingga
akan menghasilkan hampiran akar yang baru, yaitu 40238
. 1
8523 .
16 74
118 2
4
3
x
dan taksiran galatnya
5 ,
18 100
40238 .
1 4
40238 .
1
a
ε
Karena 01
. 0185
.
a
ε
, maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru, yaitu
1
x menggantikan x
,
2
x mengantikan
1
x , dan
3
x menggantikan
2
x .
Iterasi 2
2
1
x
4
2
x
40238 .
1
3
x
14 2
f
118 4
f
75301 .
40238 .
1
f
2 2
4
1
h
59762 .
2 4
40238 .
1
2
h
52 2
14 118
1
13631 .
45 59762
. 2
118 75301
.
2
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
48503 .
11 59762
. 52
18573 .
45
a
30255 .
15 13631
. 45
59762 .
2 48503
. 11
b 75301
.
c
Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
12709 .
14 75301
. 48503
. 11
4 30255
. 15
2
D
Karena 127099
. 14
30255 .
15 12709
. 14
30255 .
15
, maka
yang digunakan adalah tanda positif .
3612 .
1 12709
. 14
30255 .
15 75301
. 2
40238 .
1
4
x
dan taksiran galatnya
02 .
3 100
3612 .
1 40238
. 1
3612 .
1
a
ε
Karena 01
. 02
. 3
a
ε
, maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru.
Iterasi 3
4
2
x
40238 .
1
3
x
3612 .
1
4
x
118 4
f
75301 .
40238 .
1
f 06641
. 3612
. 1
f
023513 .
1 5
976487 .
3
2
h 04118
. 40238
. 1
3612 .
1
3
h
13631 .
45 59762
. 2
118 75301
.
2
67914
. 16
04118 .
75301 .
06641 .
3
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
7864 .
10 04118
. 59762
. 2
13631 .
45 67314
. 16
a
22895 .
16 67314
. 16
04118 .
7864 .
10
b
06641 .
c
Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
31699 .
16 06641
. 7864
. 10
4 22895
. 16
2
D
Karena 31699
. 16
2895 .
16 31699
. 16
2895 .
16
, maka yang digunakan adalah tanda positif .
36528 .
1 31699
. 16
2895 .
16 06641
. 2
3612 .
1
5
x
dan taksiran galatnya
298 .
100 36528
. 1
3612 .
1 36528
. 1
a
ε
Karena 01
. 298
.
a
ε
, maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru.
Iterasi 4
40238 .
1
3
x
3612 .
1
4
x
36528 .
1
5
x
75301 .
40238 .
1
f 06641
. 3612
. 1
f 000825
. 36528
. 1
f
04118 .
40238 .
1 3612
. 1
3
h 00408
. 3612
. 1
36528 .
1
4
h
67914 .
16 04118
. 75301
. 06641
.
3
47916 .
16 00408
. 06641
. 000825
.
4
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
39029 .
5 04118
. 00408
. 67914
. 16
47916 .
16
a
50115 .
16 47916
. 16
00408 .
39029 .
5
b 000825
.
c
Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
50061 .
16 000825
. 39029
. 5
4 50115
. 16
2
D
Karena 50061
. 16
50115 .
16 50061
. 16
50115 .
16
, maka
yang digunakan adalah tanda positif .
36523 .
1 50061
. 16
50115 .
16 000825
. 2
36528 .
1
6
x
dan taksiran galatnya
0036 .
100 36523
. 1
36528 .
1 36523
. 1
a
ε
Karena 01
. 0036
.
a
ε
, maka perhitungan dihentikan. Jadi akar dari persamaan
10 4
2 3
x
x x
f adalah
36523 .
1
x
. Hasil dalam perhitungan MATLAB
i x0 x1 x2 x e
1 1.00000 2.00000 4.00000 1.40238 1.85230
2 2.00000 4.00000 1.40238 1.36100 0.03041 3 4.00000 1.40238 1.36100 1.36526 0.00312
4 1.40238 1.36100 1.36526 1.36523 0.00002
Contoh 3.3
Gunakan metode Müller dengan tebakan awal
x ,
1
1
x
, dan 5
.
2
x
dan batas galatnya adalah 0.0001 , untuk menentukan akar dari persamaan
2 2
2
x
x x
f
Penyelesaian Iterasi 1
Pertama, mencari nilai fungsi tebakan awal
2
f 1
1
f 25
. 1
5 .
f
Dari ketiga nilai fungsi di atas, dapat digunakan untuk menghitung: 1
1
h 5
. 1
5 .
1
h
1 1
2 1
5 .
5 .
1 25
. 1
1
Nilai-nilai tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan 3.4, 3.19, dan 3.20 untuk menghasilkan:
1 5
. 1
1 5
.
a 1
5 .
5 .
1
b
25 .
1
c Selanjutnya akar kuadrat dari diskriminan dapat dicari, yaitu
i D
2 25
. 1
1 4
1
2
i i
x
1 2
1 25
. 1
2 5
.
3
100
1 1
1 i
i
a
ε
100 1
5 .
i i
100
2 1
25 .
79.05 Karena
01 .
05 .
79
a
ε
, maka dilakukan iterasi kembali dengan nilai tebakan baru.
Iterasi 2
1
1
x
5 .
2
x
i x
1
3
1 1
f
25 .
1 5
.
f 1
i
f
5 .
1 5
.
1
h i
i h
5
. 5
. 1
2
5 .
5 .
1 25
. 1
1
i i
5
. 5
. 25
. 1
2
1 5
. 5
. 5
. 5
.
i
i a
i i
b 2
5 .
5 .
1
c
i i
D 2
1 4
2
2
i
i i
x
1 4
2 1
4
100 1
1 1
i i
i
a
ε
Karena 01
.
a
ε
, maka perhitungan dihentikan. Jadi akar dari persamaan
2 2
2
x
x x
f adalah
i x
1
.
Hasil dalam perhitungan MATLAB i x0 x1 x2
realx imx px
e 1 0.00000 1.00000 0.50000 1.00000 -1.00000 0.00000 0.79057
2 1.00000 0.50000 1.00000 1.00000 -1.00000 0.00000 0.00000 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1.00000 + -1.00000 i
Contoh lain metode Müller dengan penyelesaiannya bilangan kompleks.
No Persamaan
Akar Banyak Iterasi
1 10
5
2
x
x x
f
i 93649
. 1
5 .
2
2 2
5 4
3
2
x
x x
f
i 10554
. 1
66667 .
2 3
4 3
2
x
x x
f
i 32288
. 1
5 .
1
2 4
9 5
2
2
x
x x
f
i 71391
. 1
25 .
1
2
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa, dalam mencari akar kompleks, banyaknya iterasi yang dibutuhkan selalu dua iterasi. Kesimpulan ini
didukung pada langkah ke 5, yaitu mencari koefisien a, b, c , dimana nilai dari koefisien c pada iterasi kedua akan selalu mendekati nol, sehingga bila
dimasukkan ke dalam rumus metode Müller persamaan 3.24, nilai x pada iterasi kedua akan sama dengan nilai x pada iterasi pertama.