Fungsi dan Turunan Definisi 2.6

untuk 2  x  5 1 2 2    y maka dua pasangan terurut dalam fungsi itu adalah 1,3 dan 2,5. Definisi 2.8 Diberikan fungsi  E f : ℝ dengan  E ℝ dan  c ℝ titik limit E . Bilangan L dikatakan limit   x f untuk x mendekati c , jika untuk setiap  ε yang diberikan, terdapat  δ sedemikian sehingga untuk setiap E x  dengan δ    x x , maka ε   L x f . Dinotasikan L x f c x   lim Contoh 2.8 Diberikan fungsi konstan k x f  , dimana k suatu bilangan, untuk setiap  x ℝ . Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan real c maka   k x f c x   lim . Penyelesaian Diberikan  ε . Maka, untuk sembarang bilangan real c yang ditentukan, c adalah titik limit dari ℝ. Karena k x f  untuk semua  x ℝ , maka untuk  δ yang manapun,  x ℝ dengan δ    c x pasti berlaku ε      k k k x f . Jadi, menurut definisi terbukti bahwa   k x f c x   lim . Definisi 2.9 Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c , maka f kontinu di c jika   x f c x lim =   c f Dari definisi tersebut, mengisaratkan tiga hal agar fungsi f dikatakan kontinu di c , yaitu: Fungsi f terdefinisi di c , yaitu   c f ada.   x f c x lim ada   x f c x lim =   c f . Contoh 2.9 Misalkan   2 4 2    x x x f , 2  x . Bagaimana seharusnya f didefinisikan di 2  x agar kontinu di titik 2  x ? Penyelesaian     2 4 lim 2 2 x x x      2 2 2 lim 2 x x x x   4 2 lim 2    x x Agar f kontinu di 2  x , maka   2 f haruslah   4 2  f . Definisi 2.10 Fungsi f kontinu pada selang terbuka, jika f kontinu di setiap titik selang tersebut. Fungsi f kontinu pada selang tertutup   b a , jika f kontinu pada   b a , , kontinu kanan di a , dan kontinu kiri di b . Contoh 2.10 Misalkan x x f  , buktikan x f kontinu   2 , 1 . Bukti: 1 lim 1    x f x Misalkan ambil  ε , ada  δ ,  x ℝ dengan δ    1 x berlaku ε  1 x f . Karena δ  1 x , maka pilih ε δ  , sehingga ε     1 1 x x f . Jadi terbukti bahwa   1 lim   x f c x . 2 lim 2    x f x Misalkan ambil  ε , ada  δ ,  x ℝ dengan δ    x 2 berlaku ε   2 x f . Karena δ   x 2 , maka pilih ε δ  , dan karena x x    2 2 , sehingga ε     2 2 x x f . Jadi terbukti bahwa   2 lim   x f c x . Jadi f kontinu kanan di 1 , dan kontinu kiri di 2 . Definisi 2.11 Turunan fungsi f adalah fungsi lain f yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah h c f h c f c f h lim     asalkan limit ini ada. Contoh 2.11 Misalkan 6 13   x x f . Carilah 4 f . Penyelesaian h f h f f h 4 4 lim 4     h h h ] 6 4 13 [ ] 6 4 13 [ lim       h h h 13 lim   13 13 lim    h Definisi 2.12 Misalkan  A ℝ dan misalkan  A f : ℝ , f mempunyai maksimum mutlak pada A jika ada titik A x  sedemikian sehingga x f x f  A x   . Definisi 2.13 Misalkan  A ℝ dan misalkan  A f : ℝ , f mempunyai minimum mutlak pada A jika ada titik A x  sedemikian sehingga x f x f  A x   . Teorema 2.1 Teorema Rolle Misalkan   b a C f ,  dan f terdeferensial pada   b a , . Jika b f a f  , maka ada paling sedikit satu bilangan   b a c ,  sedemikian sehingga  c f . Bukti: Karena x f kontinu pada selang b x a   , berarti x f mempunyai nilai maksimum M dan nilai minimum m dalam   b a , , jadi M x f m   dalam   b a , . Bila M m  , maka x f = konstan, berarti  x f . Karena M m  dan b f a f  , maka paling sedikit salah satu m atau M tidak sama dengan b f a f  , misalnya a f M  . Maka nilai maksimum M tidak pada titik akhir dari   b a , , melainkan terletak di c x  , b c a   dan berarti  c f █ Teorema 2.2 Teorema Nilai Rata-Rata Jika   b a C f ,  dan f terdeferensial pada   b a , , maka ada bilangan   b a c ,  sedemikian sehingga a b a f b f c f    . 2.1 Bukti: Gambar grafik f sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis lurus dari titik , a f a A dan , b f b B , lihat gambar 2.1, maka fungsinya a x a b a f b f a f x g      2.2 Selisih antara grafik f dan g pada x adalah a x a b a f b f a f x f x g x f x h         2.3 Dari persamaan 2.3, maka   b h a h . Oleh karena fungsi-fungsi x f dan a x  adalah kontinu dalam b x a   dan terdeferensial dalam b x a   , maka menurut Teorema 2.1 ada nilai x yang turunannya sama dengan dan misalkan untuk c x  , b c a   berlaku  c h . Gambar 2.1 Teorema Nilai Rata-Rata Dari persamaan 2.3 diperoleh a b a f b f x f x h     2.4 Untuk persamaan c x  , persamaan 2.4 menjadi a b a f b f c f c h     a b a f b f c f     a b a f b f c f    █ Teorema 2.3 Teorema Nilai Antara Jika f kontinu pada ] , [ b a dan jika W sebuah bilangan antara a f dan b f , maka terdapat sebuah bilangan c diantara a dan b sedemikian sehingga W c f  . Bukti : Dimisalkan a f b f , m dan M berturut-turut nilai minimum dan maksimum mutlak dari ] , [ b a f . Karena m nilai minimum mutlak, maka   b a x x f m , ,    . Demikian juga M nilai maksimum mutlak, maka x f M  ,   b a x ,   . Karena f kontinu pada   b a , , maka ] , [ ] , [ M m b a f  . Misalkan ] , [ M m c f  untuk suatu   b a c ,  . Karena m adalah minimum mutlak dan M adalah maksimum mutlak, maka M b f c f a f m     . Jadi, karena fungsi f mencapai semua nilai mutlak dari m sampai dengan M pada ] , [ b a , maka terdapat , b a c  sehingga W c f  .█

C. Barisan

Sifat Archimedes Untuk setiap bilangan real x dan y dengan  x , terdapat suatu bilangan asli n sedemikian sehingga y nx  . Akibat Sifat Archimedes Dengan mengganti x dengan 1 dan y dengan x , maka untuk setiap bilangan real x terdapat suatu bilangan asli n sehingga x n  . Definisi 2.14 Diberikan    1 n n x barisan tak berhingga dari bilangan real atau kompleks. Barisan    1 n n x mempunyai limit x konvergen ke x , jika untuk setiap  ε , ada bilangan bulat positif ε N sedemikian sehingga ε   x x n , bila  n ε N . Dinotasikan x x n n    lim . Contoh 2.12 Diberikan barisan    1 n n s dengan n s n 1 1   . Buktikan    1 n n s konvergen ke 1. Penyelesaian Diberikan  ε , menurut sifat Archimedes,  N ℕ dan ε  N 1 , sehingga untuk  n ℕ dengan   n berlaku ε  1 n s ε        N n n s n 1 1 1 1 1 1 Jadi, 1 lim    n n S .

D. Metode Biseksi

Diasumsikan bahwa f adalah fungsi kontinu dalam interval ] , [ b a , dengan ,  b f a f dimana dimisalkan bahwa  a f dan  b f . Dengan teorema nilai antara, jika f kontinu pada ] , [ b a dan bahwa a f dan b f berbeda tanda, maka ada nilai   b a p ,  dengan  p f . Meskipun prosedur akan bekerja ketika ada lebih dari satu akar dalam interval   b a , , diasumsikan untuk kesederhanaan, bahwa akar dalam interval ini adalah tunggal. Cara kerja metode ini adalah membagi dua subinterval ] , [ b a secara berulang, dan pada setiap langkah menempatkan titik p pada tengah subinterval tersebut. Misalkan a a  1 dan b b  1 , dan misalkan 1 p adalah titik tengah dari ] , [ b a , maka 2 2 1 1 1 1 1 1 b a a b a p      Jika 1  p f , maka 1 p p  dan proses dihentikan. Jika 1  p f , maka 1 p f memiliki tanda yang sama dengan salah satu dari 1 a f atau 1 b f . Ketika 1 p f dan 1 a f mampunyai tanda yang sama, maka , 1 1 b p p  , dan menetapkan 1 2 p a  dan 1 2 b b  . Ketika 1 p f dan 1 a f berlawanan tanda , maka , 1 1 p a p  , dan menetapkan 1 2 a a  dan 1 2 p b  . Kemudian prosesnya diulang kembali untuk interval ] , [ 2 2 b a . Cara kerja metode biseksi bila diilustrasikan secara geometris tampak seperti pada Gambar 2.2 berikut ini. Gambar 2.2 Metode Biseksi Definisi 2.15 Misalkan    1 n n β adalah suatu barisan yang diketahui konvergen ke nol, dan    1 n n α konvergen ke α . Jika ada K konstanta positif dengan