Fungsi dan Turunan Definisi 2.6
untuk
2
x
5 1
2 2
y
maka dua pasangan terurut dalam fungsi itu adalah 1,3 dan 2,5.
Definisi 2.8
Diberikan fungsi
E
f :
ℝ dengan
E
ℝ dan
c
ℝ titik limit
E
. Bilangan
L
dikatakan limit
x f
untuk x mendekati c , jika untuk setiap
ε
yang diberikan, terdapat
δ
sedemikian sehingga untuk setiap
E x
dengan δ
x
x , maka
ε
L x
f . Dinotasikan
L x
f
c x
lim
Contoh 2.8
Diberikan fungsi konstan
k x
f
, dimana
k
suatu bilangan, untuk setiap
x
ℝ . Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan real c maka
k x
f
c x
lim
.
Penyelesaian
Diberikan
ε
. Maka, untuk sembarang bilangan real c yang ditentukan, c adalah titik limit dari ℝ. Karena
k x
f
untuk semua
x ℝ
, maka untuk
δ
yang manapun,
x
ℝ dengan
δ
c x
pasti berlaku ε
k
k k
x f
. Jadi, menurut definisi terbukti bahwa
k x
f
c x
lim
.
Definisi 2.9
Andaikan
f
terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c , maka
f
kontinu di c jika
x f
c x
lim
=
c f
Dari definisi tersebut, mengisaratkan tiga hal agar fungsi
f
dikatakan kontinu di c , yaitu: Fungsi
f
terdefinisi di c , yaitu
c f
ada.
x f
c x
lim
ada
x f
c x
lim
=
c f
.
Contoh 2.9
Misalkan
2 4
2
x
x x
f ,
2
x
. Bagaimana seharusnya
f
didefinisikan di
2
x
agar kontinu di titik
2
x
?
Penyelesaian
2 4
lim
2 2
x x
x
2 2
2 lim
2
x x
x
x
4 2
lim
2
x
x
Agar
f
kontinu di
2
x
, maka
2 f
haruslah
4 2
f .
Definisi 2.10
Fungsi
f
kontinu pada selang terbuka, jika
f
kontinu di setiap titik selang tersebut. Fungsi
f
kontinu pada selang tertutup
b a
, jika
f
kontinu pada
b a
, , kontinu kanan di a , dan kontinu kiri di
b
.
Contoh 2.10
Misalkan
x x
f
, buktikan
x f
kontinu
2 ,
1 . Bukti:
1 lim
1
x f
x
Misalkan ambil
ε
, ada
δ
,
x
ℝ dengan
δ
1 x
berlaku ε
1
x f
. Karena
δ
1 x
, maka pilih
ε δ
, sehingga ε
1 1
x x
f . Jadi terbukti bahwa
1 lim
x f
c x
.
2 lim
2
x f
x
Misalkan ambil
ε
, ada
δ
,
x
ℝ dengan
δ
x 2
berlaku ε
2
x f
. Karena
δ
x 2
, maka pilih
ε δ
, dan karena x
x
2 2
, sehingga ε
2 2
x x
f . Jadi terbukti bahwa
2 lim
x f
c x
. Jadi
f
kontinu kanan di
1
, dan kontinu kiri di
2
.
Definisi 2.11 Turunan fungsi
f
adalah fungsi lain f
yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah
h c
f h
c f
c f
h
lim
asalkan limit ini ada.
Contoh 2.11
Misalkan
6 13
x x
f
. Carilah 4
f .
Penyelesaian
h f
h f
f
h
4 4
lim 4
h h
h
] 6
4 13
[ ]
6 4
13 [
lim
h h
h
13 lim
13
13 lim
h
Definisi 2.12
Misalkan
A ℝ
dan misalkan
A
f :
ℝ ,
f
mempunyai maksimum mutlak pada
A
jika ada titik
A x
sedemikian sehingga x
f x
f
A x
.
Definisi 2.13
Misalkan
A ℝ
dan misalkan
A
f :
ℝ ,
f
mempunyai minimum mutlak pada
A
jika ada titik
A x
sedemikian sehingga x
f x
f
A x
.
Teorema 2.1 Teorema Rolle
Misalkan
b a
C f
,
dan
f
terdeferensial pada
b a
, . Jika
b f
a f
, maka ada paling sedikit satu bilangan
b a
c ,
sedemikian sehingga
c
f .
Bukti:
Karena
x f
kontinu pada selang
b x
a
, berarti
x f
mempunyai nilai maksimum
M
dan nilai minimum m dalam
b a
, , jadi
M x
f m
dalam
b a
, . Bila
M m
, maka
x f
= konstan, berarti
x
f
. Karena
M m
dan
b f
a f
, maka paling sedikit salah satu m atau
M
tidak sama dengan
b f
a f
, misalnya
a f
M
. Maka nilai maksimum
M
tidak pada titik akhir dari
b a
, , melainkan terletak di c
x ,
b c
a
dan berarti
c f
█
Teorema 2.2 Teorema Nilai Rata-Rata
Jika
b a
C f
,
dan
f
terdeferensial pada
b a
, , maka ada bilangan
b a
c ,
sedemikian sehingga
a b
a f
b f
c f
. 2.1
Bukti:
Gambar grafik
f
sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis lurus dari titik
, a
f a
A
dan
, b
f b
B
, lihat gambar 2.1, maka fungsinya
a x
a b
a f
b f
a f
x g
2.2 Selisih antara grafik
f
dan
g
pada x adalah
a x
a b
a f
b f
a f
x f
x g
x f
x h
2.3 Dari persamaan 2.3, maka
b
h a
h
. Oleh karena fungsi-fungsi
x f
dan
a x
adalah kontinu dalam
b x
a
dan terdeferensial dalam
b x
a
, maka menurut Teorema 2.1 ada nilai x yang
turunannya sama dengan dan misalkan untuk
c x
,
b c
a
berlaku
c h
.
Gambar 2.1 Teorema Nilai Rata-Rata
Dari persamaan 2.3 diperoleh
a b
a f
b f
x f
x h
2.4 Untuk persamaan
c x
, persamaan 2.4 menjadi
a b
a f
b f
c f
c h
a b
a f
b f
c f
a b
a f
b f
c f
█
Teorema 2.3 Teorema Nilai Antara
Jika
f
kontinu pada
] ,
[ b a
dan jika
W
sebuah bilangan antara
a f
dan
b f
, maka terdapat sebuah bilangan c diantara a dan
b
sedemikian sehingga
W c
f
.
Bukti :
Dimisalkan
a f
b f
, m dan
M
berturut-turut nilai minimum dan maksimum mutlak dari
] ,
[ b
a f
. Karena m nilai minimum mutlak, maka
b a
x x
f m
, ,
. Demikian juga
M
nilai maksimum mutlak, maka
x f
M
,
b a
x ,
. Karena
f
kontinu pada
b a
, , maka
] ,
[ ]
, [
M m
b a
f
. Misalkan
] ,
[ M
m c
f
untuk suatu
b a
c ,
.
Karena m
adalah minimum mutlak dan
M
adalah maksimum mutlak, maka
M b
f c
f a
f m
. Jadi, karena fungsi
f
mencapai semua nilai
mutlak dari m sampai dengan
M
pada
] ,
[ b a
, maka terdapat
, b
a c
sehingga
W c
f
.█